f(x) : x ∈ A

AlgTM
Zestaw 3
Def. Obrazem zbioru A ⊆ X wyznaczonym przez funkcję f : X → Y nazywamy zbiór
f (A) = {f (x) : x ∈ A}. Przeciwobrazem zbioru B ⊆ Y wyznaczonym przez funkcję f : X → Y
nazywamy zbiór f −1 (B) = {x : f (x) ∈ B}.
1. Wyznaczyć podane obrazy i przeciwobrazy zbiorów.
1.1. f : R → R, x 7→ x2 − 4x + 3
f ([1, 4)), f ((0, 4)), f (R), f −1 (R− ), f −1 (f ((2, 4]))
1.2. f : R → R, f (x) = min{|x|, 2}
f ((−1, 3]), f −1 ({−1, 1, 2}), f −1 (f ({0, 1, 5}))
1.3. f : R2 → R, f (x, y) = (y + 2) · sin x
f ((0, π] × {2π}), f ((−2, 2] × (−2, 2]), f −1 ({0})
Czy (1, −1) ∈ f −1 ((0, 1))?
1.4. f : R2 → R, (x, y) 7→ (x + 3)(x + y + 1)
f ({−2} × (2, 7]), f ((−3, 0) × {2}), f −1 (f ({−3}2 ))
1.5. f : R2 → R, f (x, y) = max{|x + y|, 1}
f ({1} × (−2, 1]), f −1 ({−2, 1, 4})
2. Sprawdzić, czy podane relacje są zwrotne, symetryczne, przechodnie.
2.1. X = R, xρy ⇔ 2y < x2 + 1
2.2. X = Z, xρy ⇔ y ¬ 2x2
3. Czy podana relacja jest relacją równoważności w zbiorze X?
Jeśli tak, to wyznaczyć przynajmniej jedną klasę abstrakcji.
3.1. X = Z, kρm ⇔ 3|km
3.2. X = Z, kρm ⇔ 4|k 3 − m3
3.3. X = Z, kρm ⇔ k + m 6= 7
3.4. X = 2N , A ∼ B ⇔ A ∪ B 0 = N.
3.5. X = R, xρy ⇔ sin x − sin y ∈ Z
3.6. X = N, k ∼ m ⇔ (k | m ∨ m | k)
3.7. X = R × R, (x1 , y1 )ρ(x2 , y2 ) ⇔ y1 = y2
3.8. X = R × R, (x1 , y1 )ρ(x2 , y2 ) ⇔ x1 · x2 ­ 0.
4. Na zbiorze X = [−5, 5], określamy relację ρ: xρy ⇔ |x + 2| = |y + 2|
Sprawdzić, że jest ona relacją równoważności i podać przykłady jednoelementowych
i dwuelementowych klas abstrakcji.
5. Na zbiorze A = {k ∈ Z : −4 ¬ k ¬ 53} określamy relację R:
mR n ⇔ sin(
nπ
mπ
) = sin( )
6
6
Sprawdzić, że jest ona relacją równoważności i podać liczbę jej klas abstrakcji.