Porządki częściowe I
Transkrypt
Porządki częściowe I
MFI Metody Formalne Informatyki: Zestaw 9 Semestr zimowy 2016/2017 Kraków 13 grudnia 2016 Porządki częściowe I Porządkiem częściowym (posetem) nazywamy parę (X, R) gdzie X jest zbiorem, a R ⊂ X 2 jest relacją zwrotną, przechodnią oraz antysymetryczną, tzn. jeżeli (x, y) ∈ R oraz (y, x) ∈ R, to x = y. Jeżeli dodatkowo relacja R jest spójna, tj. ∀x,y∈X (x, y) ∈ R lub (y, x) ∈ R, to porządek nazywamy liniowym. Element a nazywamy maksymalnym w porządku (X, ¬), gdy ∀x∈X a ¬ x ⇒ a = x. Element a nazywamy największym w porządku (X, ¬), gdy ∀x∈X x ¬ a. Elementy minimalne i najmniejsze definiujemy analogicznie. Element a0 ∈ X nazywamy supremum zbioru A (kresem górnym), gdy: (i) ∀a∈A a ¬ a0 , (ii) (∀a∈A a ¬ b) ⇒ a0 ¬ b. Infimum zbioru A (kres dolny) definiujemy analogicznie. Zbiór A ⊆ X nazywamy łańcuchem, gdy ∀a,b∈A (a ¬ b) ∨ (b ¬ a). Zbiór A ⊆ X nazywamy antyłańcuchem, gdy ∀a,b∈A (a 6= b) ⇒ ¬(a ¬ b ∨ b ¬ a). Zadanie 1. Sprawdź, czy poniższe pary tworzą częściowe porządki: (i) (NN , R) taka, że f Rg ↔ ∃h∈NN h ◦ f = g ◦ h. (ii) ([0, 1][0,1] , R) taka, że f Rg ↔ ∃x∈[0,1] f (x) 6 g(x). Zadanie 2. Niech R i S będą relacjami częściowego porządku na X. Pokaż, że relacja R ∪ S częściowo porządkuje X wtedy i tylko wtedy, gdy (R ◦ S) ∪ (S ◦ R) ⊆ R ∪ S oraz R ∩ S −1 = 1X . Zadanie 3. Rozważmy poset (N+ , |) oraz zbiór A = {8, 28, 32}. Wyznacz zbiór jego ograniczeń dolnych i górnych oraz znajdź sup A i inf A. Zadanie 4. Niech A = {y ∈ R : ∃x∈R y = sin x + cos x}. (i) Pokaż, że zbiór A jest ograniczony, (ii) Znajdź supremum A w (R, 6). Zadanie 5. Pokaż, że w dowolnym częściowym porządku (X, 6): (i) istnieje inf ∅ wtedy i tylko wtedy, gdy w (X, 6) istnieje element największy, (ii) istnieje sup ∅ wtedy i tylko wtedy, gdy w (X, 6) istnieje element najmniejszy, (iii) jeśli każdy podzbiór X ma supremum, to każdy podzbiór X ma infimum. Zadanie 6. Podaj przykład porządku (X, 6) takiego, że A ⊆ X ma supremum wtedy i tylko wtedy, gdy A jest skończony. Zadanie 7. Podaj przykład porządku z jednym elementem maksymalnym i bez elementu największego. Zadanie 8. Podaj przykład zbioru częściowo uporządkowanego, z dwoma elementami maksymalnymi i jednym minimalnym, bez elementu najmniejszego i z takim czteroelementowym antyłańcuchem, który jest ograniczony z góry ale nie ma kresu górnego. Strona 1/2 Metody Formalne Informatyki: Zestaw 9 Semestr zimowy 2016/2017 MFI Kraków 13 grudnia 2016 Zadanie 9. Podaj przykład zbioru liniowo uporządkowanego, w którym istnieje podzbiór niemający supremum. Zadanie 10. Pokaż, że jeśli x i y elementami maksymalnymi w częściowym porządku (X, 6), to sup{x, y} istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy x = y. Zadanie 11. Czy dla każdej antysymetrycznej relacji R na zbiorze X istnieje relacja S częściowo porządkująca X taka, że R ⊆ S? Zadanie 12. Niech R i S będą relacjami liniowego porządku na X. Czy następujące relacje liniowo porządkują X: (i) R ∪ S, (ii) R ∩ S, (iii) R \ S, (iv) R ÷ S? Zadanie 13. Czy antyłańcuch może być łańcuchem? Zadanie 14. (?) Ile elementów posiada największy, pod względem mocy, łańcuch w (P(N), ⊆)? Wskazówka: Zbiór A ⊂ Q nazywamy wypukłym, jeśli dla dowolnych a, b ∈ A, jeśli c ∈ Q i a < c < b, to c ∈ A. Sprawdź ile jest zbiorów wypukłych w Q. Zadanie 15. (?) Pokaż, że każda relacja częściowego porządku na zbiorze skończonym A może zostać rozszerzona do relacji liniowego porządku na A. Zadanie 16. (?) Skonstruuj relacje liniowego porządku na zbiorach: (i) N2 , (ii) S i∈N+ Ni , (iii) C. Strona 2/2