6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.
Transkrypt
6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.
6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R oraz niech a, x0 ∈ R. Mówimy, że liczba a ∈ R jest granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x0, gdy zachodzą dwa warunki: (i) x0 jest punktem skupienia zbioru X, (ii) ∀ (xn)n∈N ⊂ X takiego, że xn ≠ x0 dla n ∈ N oraz limn→∞ xn = x0 zachodzi limn→∞ f(xn) = a. Fakt ten zapisujemy limx→x0 f(x) = a. 6.2. Sformułować definicję w sensie Cauchy’ego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R oraz niech a, x0 ∈ R. Mówimy, że liczba a ∈ R jest granicą w sensie Cauchy’ego funkcji f w punkcie x0, gdy zachodzą dwa warunki: (i) x0 jest punktem skupienia zbioru X, ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X (0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − a| < ε) (ii) Fakt ten zapisujemy limx→x0 f(x) = a lub f(x) → a, gdy x → x0. 6.3. Sformułować definicję w sensie Heinego i Cauchy’ego granicy właściwej w punkcie niewłaściwym, niewłaściwej w punkcie właściwym i niewłaściwej w punkcie niewłaściwym. Granica właściwa w punkcie niewłaściwym (Cauchy’ego). Niech f : X → R, X ⊂ R, oraz niech a ∈ R. Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w +∞, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z góry, (b) ∀ ε > 0 ∃ δ ∈ R ∀ x ∈ X, ( x > δ ⇒ |f(x) − a| < ε ). Fakt ten zapisujemy limx→+∞ f(x) = a. Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w -∞, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z dołu, (b) ∀ ε > 0 ∃ δ ∈ R ∀ x ∈ X, ( x < δ ⇒ |f(x) − a| < ε ). Fakt ten zapisujemy limx→-∞ f(x) = a. Granica właściwa w punkcie niewłaściwym (Heinego) Niech f : X → R, X ⊂ R, oraz niech a ∈ R. Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w +∞, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z góry, (b) ∀ (xn)n∈N ⊂ X takiego, że lim n->∞ xn = +∞ zachodzi lim n->∞ f(xn) = a. Fakt ten zapisujemy limx→+∞ f(x) = a. Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w -∞, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z dołu, (b) ∀ (xn)n∈N ⊂ X takiego, że lim n->∞ xn = -∞ zachodzi lim n->∞ f(xn) = a. Fakt ten zapisujemy limx→-∞ f(x) = a. Granica niewłaściwa w punkcie właściwym (Cauchy’ego). Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R, oraz niech x0 ∈ R. Mówimy, że +∞ jest granicą funkcji f w punkcie x0, gdy zachodzą dwa warunki: (a) x0 jest punktem skupienia zbioru X, (b) ∀A ∃δ>0 ∀x∈X (0 < |x − x0| < δ ⇒ f(x) > A) Fakt ten zapisujemy limx→x0 f(x) = +∞. Mówimy, że -∞ jest granicą funkcji f w punkcie x0, gdy zachodzą dwa warunki: (a) x0 jest punktem skupienia zbioru X, (b) ∀A ∃δ>0 ∀x∈X (0 < |x − x0| < δ ⇒ f(x) < A) Fakt ten zapisujemy limx→x0 f(x) = -∞. Granica niewłaściwa w punkcie właściwym (Heinego). Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R, niech x0 będzie punktem skupienia zbioru X oraz a ∈ {−∞, +∞}. Mówimy, że a jest granicą funkcji f w punkcie x0, co zapisujemy limx→x0 f(x) = a wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ (xn)n∈N ⊂ X takiego, że xn ≠x0 ∀n ∈ N oraz limn→∞ xn = x0 zachodzi lim n→ ∞ f(xn) = a . Granica niewłaściwa w punkcie niewłaściwym (Cauchy’ego). Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R. Mówimy, że +∞ jest granicą funkcji f w +∞, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z góry, (b) ∀ A ∈ R ∃δ ∈ R ∀ x ∈ X, x > δ ⇒ f(x) > A. Fakt ten zapisujemy limx→+∞ f(x) = +∞. Mówimy, że -∞ jest granicą funkcji f w +∞, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z góry, (b) ∀ A ∈ R ∃δ ∈ R ∀ x ∈ X, x > δ ⇒ f(x) < A. Fakt ten zapisujemy limx→+∞ f(x) = -∞. Mówimy, że +∞ jest granicą funkcji f w −∞, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z dołu, (b) ∀A ∈ R ∃ δ ∈ R ∀ x ∈ X x < δ ⇒ f(x) > A. Fakt ten zapisujemy limx→−∞ f(x) = +∞. Mówimy, że -∞ jest granicą funkcji f w −∞, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z dołu, (b) ∀A ∈ R ∃ δ ∈ R ∀ x ∈ X x < δ ⇒ f(x) < A. Fakt ten zapisujemy limx→−∞ f(x) = -∞. Granica niewłaściwa w punkcie niewłaściwym (Heinego) Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R, a ∈ {−∞, +∞}. Mówimy, że a jest granicą funkcji f w +∞, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z góry, (b) ∀ (xn)n∈N ⊂ X takiego, że lim n->∞ xn =∞ zachodzi lim n->∞ f(xn) =a. Fakt ten zapisujemy: limx→+∞ f(x) = a. Mówimy, że a jest granicą funkcji f w -∞, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z dołu, (b) ∀ (xn)n∈N ⊂ X takiego, że lim n->∞ xn =-∞ zachodzi lim n->∞ f(xn) =a. Fakt ten zapisujemy: limx→-∞ f(x) = a. 6.4. Jak zmodyfikować odpowiednie definicje granic, aby otrzymać definicję granicy jednostronnej? Jaki jest związek pomiędzy granicami jednostronnymi i obustronną? Omówić ten związek również na przykładach. Definicja . Dla zbioru X ⊂ R oraz liczby x0 ∈ R określamy zbiory X- X = {x ∈ X : x < x0}, X+x = {x ∈ X : x > x0}. 0 0 Definicja granicy lewostronnej i prawostronnej funkcji w punkcie. Niech X ⊂ R, f : X → R, x0 ∈ R, oraz niech a ∈R∪ {−∞, +∞}. Mówimy, że liczba a jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0, gdy a jest granicą funkcji f | X-x w punkcie x0. Fakt ten zapisujemy a = limx→x − f(x). 0 0 Mówimy, że liczba a jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0, gdy a jest granicą funkcji f | X+x w punkcie x0. Fakt ten zapisujemy a = limx→x+ f(x). 0 0 Uwaga. Niech f : X → R będzie funkcją oraz x0 ∈ R. Wprost z powyższej definicji dostajemy: Jeśli x0 jest punktem skupienia zbioru X-x , to fakt, że liczba a ∈ R jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0 można zapisać w notacji Cauchy’ego: ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X (x < x0 ∧ |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − a| < ε) lub równoważnie w notacji Heinego: ∀(x )n∈N⊂X−x ( limn→∞xn = x0 ⇒ limn→∞ f(xn) = a). (b) Jeśli x0 jest punktem skupienia zbioru X+x , to fakt, że liczba a ∈ R jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0 można zapisać w notacji Cauchy’ego: ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X (x0 < x ∧ |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − a| < ε) lub równoważnie w notacji Heinego: ∀(xn)n∈N⊂X+x (limn→∞xn = x0 ⇒ limn→∞f(xn) = a). (a) 0 n 0 0 0 Związek granicy funkcji z granicami jednostronnymi Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R, będzie funkcją, x0 ∈ R będzie punktem skupienia zbiorów X-x i X+x oraz a∈R∪ {−∞, +∞}. Wówczas: limx→x f(x) = a limx→x− f(x) = a oraz limx→x+ f(x) = a. 0 0 0 0 0 6.5. Sformułować definicję Heinego i Cauchy’ego funkcji ciągłej w punkcie. Co to jest funkcja ciągła? Definicja funkcji ciągłej. (Cauchy’ego) Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R oraz x0 ∈ X. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0, gdy: ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X (|x − x0| < δ ⇒ |f(x) − f(x0)| < ε). Mówimy, że funkcja f jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru X. Definicja Heinego ciągłości funkcji w punkcie) Niech f : X → R, X ⊂ R, oraz x0 ∈ X. Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie x0, kiedy ∀ (xn)n∈N ⊂ X ( limn→∞xn = x0 => limn→∞f(xn) = f(x0) ) Mówimy, że funkcja f jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie dziedziny. Ciągłe są wszystkie funkcje elementarne, np. logarytmiczne, wykładnicze, wielomiany, funkcje potęgowe, trygonometryczne, itd. 6.6. Sformułować i zilustrować graficznie własność Darboux. Własność Darboux: Niech : [ , ] → będzie funkcją ciągłą oraz c ∈ R. (a) Jeśli f(a) < c < f(b), to istnieje ∈ [ , ] taki, że a < x < b oraz f(x) = c. (b) Jeśli f(b) < c < f(a), to istnieje ∈ [ , ] taki, że a < x < b oraz f(x) = c. 6.7. Podać definicję funkcji jednostajnie ciągłej. Jaka jest intuicyjna charakteryzacja funkcji jednostajnie ciągłej? Definicja funkcji jednostajnie ciągłej. Mówimy, że funkcja f jest jednostajnie ciągła, kiedy ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x1,x2∈X (|x1 − x2| < δ => |f(x1) − f(x2)| < ε). Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła. Definicja Heinego ciągłości jednostajnej. Mówimy, że funkcja f jest jednostajnie ciągła, kiedy ∀ (xn)⊂ X, (x’n)⊂ X (limn→∞(xn –x’n) = 0 => limn→∞ (f(xn) − f(x’n)) = 0). Z definicji Heinego wynika następująca charakteryzacja funkcji jednostajnie ciągłej: jest to taka funkcja dla której dla „coraz bliższych sobie argumentów” wartości również są „coraz bliższe”. = Zauważmy, że funkcja ′ = dla ∈ mamy, że | | , ∈ − ′ |= − tej własności nie posiada. Np. dla → 0, gdy → ∞, ale ′ | = "# + $ − "=2+ Twierdzenie Każda funkcja ciągła na [ , ] jest jednostajnie ciągła na [ , ]. & . = + oraz