Wartość bezwzględna liczby i problemy z nią związane

Wartość bezwzględna i problemy z nią związane.
Na początek warto przypomnieć kiedy w czasie nauki matematyki pojawiło się pojęcie
wartości bezwzględnej – lub dokładniej wartości bezwzględnej liczby względnej. Liczby
względne to liczby ze znakiem plus (+) lub minus (-).
Wartością bezwzględną liczby względnej nazywamy tą liczbę bez znaku .
Z założenie przyjmuje się, że liczby bez znaku są dodatnie lub równe zero.
Wiec wartość bezwzględną liczby względnej „x” można zdefiniować jak poniżej:
| |=
Lub
⇔
| |=− ⇔
≥0
<0
Często zamiast mówić wartość bezwzględna liczby mówimy: „moduł z
liczby”. W językach programowania funkcja ta jest oznaczana symbolem:
abs(x)
Funkcja y=|x| ma wykres jak poniżej. Warto tu zaznaczyć ze funkcja ta nie
ma pochodnej dla x=0, ponieważ pochodna lewostronna nie jest równa
pochodnej prawostronnej.
Bardzo często problem wartości bezwzględnej występuje razem z
pierwiastkiem z kwadratu liczby. Wartość arytmetycznego pierwiastka
kwadratowego nie może być nigdy ujemna wiec należy pamiętać że:
Pokażę teraz zastosowanie w/w reguły.
Zadanie wykaż że:
Należy tutaj zastosować wzór skróconego mnożenie:
i analogicznie:
Podstawię do wyjściowego wzoru, wtedy mamy:
1 − √5
−
1 + √5
=
1 − √5 − |1 + √5| = √5 − 1 − √5 − 1 = −2
Należy tu zauważyć że 1-sze wyrażenie jest ujemne dlatego zgodnie z
definicją został zmieniony znak , drugie wyrażenie jest dodatnie wiec został
uwzględniony tylko znak przed modułem.
Niezastosowanie tutaj wzoru na pierwiastek z kwadratu liczby byłoby
poważnym błędem i nie dałoby oczekiwanego rezultatu.
Inny przykład wykorzystujący wzór na pierwiastek z kwadratu liczby:
Zadanie: Czy funkcje : ( ) = log
są tożsame , równoważne ?
( ) = 2 ⋅ log (x)
Na pierwszy rzut oka wygląda, że tak bo jest zastosowany wzór na logarytm
potęgi. Wystarczy jednak zrobić wykresy wyżej wymienionych funkcji aby
się przekonać , że tak nie jest.
Należy wyjaśnić że poprawny wzór to:
log
= 2 ⋅ log | |
Nierówność z bezwzględną wartością.
Jeżeli dana jest nierówność typu |x|>a lub |x|<a należy zastosować rozwiązania
pokazane na poniższych wykresach dla a=6.
Pokazane rozwiązania można uogólnić i w miejsce x można podstawić
dowolną funkcję f(x).
Przykład: Rozwiąż nierówność:
|2-|x-1||<3
zgodnie z wyżej wymienionym mamy:
2 − | − 1| > −3 ∧ 2 − | − 1| < 3
| − 1| < 5 ∧ | − 1| > −1 ⇒
− 1 > −5 ∧
> −4 ∧
ODP:
−1<5∧(
<6⇒
|2-|x-1||<3
∈ )
∈ (−4, 6)
Nierówność można rozwiązać robiąc kolejne wykresy tak jak pokazano na
powyższym wykresie.
Funkcja kwadratowa i wartość bezwzględna.
Jeżeli dana jest funkcja kwadratowa ( ) = ⋅ + ⋅ + to wartość bezwzględną
można „nałożyć” na całość funkcji lub tylko na niektóre składniki .
Jeżeli nałożymy na całość to wykres funkcji poniżej osi „zawija” się symetrycznie ponad
oś tak jak pokazuje to poniższy 1-szy wykres.
Interesujący jest przypadek gdy to wartość bezwzględną nałożymy na składnik 1-go
stopnia tak jak pokazano na obrazku po prawej stronie. Funkcja wtedy jest parzysta i
wykres jest symetryczny względem osi rzędnych.
Przypadek ten często jest wykorzystywany w równaniu kwadratowym z parametrem
gdy szukana jest ilość pierwiastków zależna od parametru.
Zadanie: Dane jest równanie kwadratowe z parametrem . Zrobić wykres ilości
pierwiastków w funkcji parametru k.
Najlepiej jest przenieść wyraz wolny na prawą stronę i wprowadzić nowy parametr
= 2 − 1 . Wtedy :
Teraz należy zrobić wykres funkcji po lewej stronie i sprawdzić ilość punktów
wspólnych z prostą :
Wykres poniżej:
Korzystając z parzystości funkcji policzę współrzędne wierzchołka po prawej stronie:
Miejsca zerowe to :
m=
+1
=
=
2
Ilość pierwiastków
=0
m < -4
k<
0
=4⇒
m =-4
k=
2
=
=2
-4< m<0
<k<
4
= (2) = 4 − 8 = −4
m =0
k=
3
m>0
k>
2