1 Wprowadzenie

WFiIS
LABORATORIUM
Z ELEKTRONIKI
Imię i nazwisko:
1.
2.
TEMAT:
Data wykonania: Data oddania:
ROK
GRUPA
ZESPÓŁ
NR ĆWICZENIA
Zwrot do poprawy:
Data oddania:
Data zliczenia:
OCENA
CEL ĆWICZENIA:
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z filtrami aktywnymi oraz wyznaczenie charakterystyki
częstotliwościowej następujących filtrów:
-filtr dolnoprzepustowy rzędu II;
-filtr dolnoprzepustowy Butterworth’a rzędu IV;
-filtr pasmowoprzepustowy;
1 Wprowadzenie
Filtrem nazywamy układ elektroniczny, którego zadaniem jest przepuszczanie sygnału
wydzielonego z sygnału wejściowego o określonych częstotliwościach. Rozróżniamy filtry
górno i dolnoprzepustowe oraz pasmowe.
Filtr dolnoprzepustowy (całkujący);
Filtr dolnoprzepustowy bazuje na układzie z dodatnią pętlą sprzężenia zwrotnego o
dwubiegunowej transmitancji z biegunami zespolonymi
Na rysunku został pokazany filtr dolnoprzepustowy rzędu II. Taki filtr posiada nachylenie
. Pasmo przewodzenia powinno mieć w przybliżeniu
pasma zaporowego równe −40 dB
dek
taką samą wartość wzmocnienia k . Pasmo przewodzenia ma swoja częstotliwość graniczną,
położoną ok. 3dB poniżej wartości liniowej pasma przewodzenia.
Filtry aktywne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
1
Funkcja przenoszenia przyjmuje następującą postać:
k
K ( s) =
,
2
⎛ s ⎞
s
+1
⎜⎜ ⎟⎟ + ( 3 − k )
ω
ω
g
g
⎝ ⎠
gdzie:
1
ωg =
RC
Częstotliwość graniczna dla powyższego filtru dolnoprzepustowego wynosi:
1
1
⋅
R ⋅C 2 ⋅π
Dla wartości R = 10k Ω oraz C = 16nf otrzymano:
1
1
fg =
⋅
= 995 [ Hz ]
10k ⋅ 16n 2 ⋅ π
Nachylenie asymptotyczne dla filtra rzędu II teoretycznie powinno się równać −40 dB
fg =
Filtry aktywne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
dek
.
2
Filtr górnoprzepustowy (różniczkujący);
Filtr górnoprzepustowy powstaje podobnie jak dolnoprzepustowy, ale zostają
zamienione miejscami rezystory z kondensatorami. Na rysunku został pokazany filtr
górnoprzepustowy rzędu II. Taki filtr posiada nachylenie pasma zaporowego
równe 40 dB
. Pasmo przewodzenia powinno mieć w przybliżeniu taką samą wartość
dek
wzmocnienia k . Pasmo przewodzenia ma swoja częstotliwość graniczną, położoną ok. 3dB
poniżej wartości liniowej pasma przewodzenia
Zmiana funkcji K ( s ) polega na transformacji:
ω
s
→ d ’
s
ωg
gdzie:
1
ωd =
RC
Funkcja przenoszenia po powyższej transformacji przyjmuje następującą postać:
k
K ( s) =
,
2
ωd
⎛ ωd ⎞
⎜ s ⎟ + (3 − k ) s + 1
⎝ ⎠
Filtry aktywne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
3
Częstotliwość graniczna dla powyższego filtru dolnoprzepustowego wynosi:
1
1
⋅
R ⋅C 2 ⋅π
Dla wartości R = 10k Ω oraz C = 160nf otrzymano:
1
1
fg =
⋅
= 99,5 [ Hz ]
10k ⋅160n 2 ⋅ π
Nachylenie asymptotyczne dla filtra rzędu II teoretycznie powinno się równać 40 dB
fg =
dek
.
2 Filtr o tłumieniu krytycznym, rzędu II
Rysunek 1
f [Hz]
100
200
300
500
1k
2k
3k
5k
7k
8k
10k
20k
50k
70k
100k
U1 [V]
4,80
4,80
4,80
4,80
4,26
4,24
4,24
4,24
4,16
4,00
4,00
4,00
4,00
4,00
4,00
U2 [V]
9,400
9,600
10,200
11,100
13,000
3,040
1,200
0,400
0,212
0,152
0,096
0,025
0,005
0,003
0,002
k=U2/U1 [V/V]
1,96
2,00
2,13
2,31
3,05
0,72
0,28
0,09
0,05
0,04
0,02
0,01
0,00
0,00
0,00
K=20log(k) [dB]
5,8
6,0
6,5
7,3
9,7
-2,9
-11,0
-20,5
-25,9
-28,4
-32,4
-44,1
-58,1
-62,5
-66,0
Powyższa tabela jest zestawieniem pomiarów wykonanych w trakcie ćwiczenia oraz
obliczonych wartości wzmocnienia i tłumienia układu.
Filtry aktywne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
4
Charakterystyka częstotliwościowa
20,0
10,0
0,0
-10,0 1
10
100
1000
10000
100000
K [dB]
-20,0
-30,0
-40,0
-50,0
-60,0
-70,0
-80,0
f [Hz]
Powyższy wykres przedstawia zależność tłumienia od częstotliwości. Można z niego odczytać
, co zgadza się dokładnie z przewidywaniami
tłumienie filtru, które wynosi −40 dB
dek
teoretycznymi.
Obliczono teoretyczną wartość częstotliwości tłumienia ze wzoru:
f g (n) = f g
n
2 −1 ,
gdzie n – rząd filtru, f g częstotliwość graniczna filtru rzędu I.
Po podstawieniu do wzoru danych otrzymano następujący wynik:
f g (2) ≈ 640 Hz
Z powodu niedotłumienia filtru nie można odczytać z wykresu częstotliwości granicznej dla
filtru, na którym przeprowadzano pomiary.
Filtry aktywne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
5
Odpowiedź układu na skok napięcia
Powyższy wykres przedstawia odpowiedź filtru dolnoprzepustowego rzędu II na skok
napięcia. Oś pionowa jest osią amplitudy o jednostce wyrażonej w mV , a oś pozioma jest
osią czasu o jednostce wyrażonej w ms .
Czas narastania jest to czas, którym napięcie narasta od 0,1 do 0,9 wartości ustalonej.
Z powyższego wykresu można odczytać, że czas narastania wynosi około:
tr = 240 μ s
3 Filtr Butterworth’a rzędu IV, dolnoprzepustowy
Rysunek 2
Tłumienie dla filtru dolnoprzepustowego rzędu IV teoretycznie powinno się równać
−80 dB
, czyli po −20 dB
na jeden układ całkujący, których w omawianym układzie
dek
dek
jest cztery.
Filtry aktywne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
6
f [Hz]
100
200
300
500
1k
2k
3k
5k
7k
8k
10k
20k
50k
70k
100k
U1 [V]
4,80
4,80
4,80
4,80
4,26
4,24
4,24
4,24
4,16
4,00
4,00
4,00
4,00
4,00
4,00
U2 [V]
9,400
9,600
10,200
11,100
13,000
3,040
1,200
0,400
0,212
0,152
0,096
0,025
0,005
0,003
0,002
U3 [V]
10,800
10,800
10,800
10,600
7,800
0,664
0,128
0,017
0,005
0,003
0,001
20log(U3/U1) [dB]
7,04
7,04
7,04
6,88
5,25
-16,10
-30,40
-47,94
-58,40
-62,50
-72,04
20log(U2/U1) [dB]
5,8
6,0
6,5
7,3
9,7
-2,9
-11,0
-20,5
-25,9
-28,4
-32,4
-44,1
-58,1
-62,5
-66,0
20log(U3/U2) [dB]
1,21
1,02
0,50
-0,40
-4,44
-13,21
-19,44
-27,43
-32,55
-34,09
-39,65
Powyższa tabela przedstawia zestawienie wyników pomiarów oraz obliczone wartości
tłumienia, dla poszczególnych części układu.
Charakterystyka częstotliwościowa
U2/U1
20,0
10,0
0,0
-10,0 1
10
100
1000
10000
100000
K [dB]
-20,0
-30,0
-40,0
-50,0
-60,0
-70,0
-80,0
f [Hz]
Powyższy wykres przedstawia charakterystykę częstotliwościową wyznaczoną z napięć U1 i
U 2 (patrz: rysunek 2). Spadek wzmocnienia dla tego filtru wynosi −40 dB
, co potwierdza
dek
przewidywania teoretyczne.
Z powodu niedotłumienia filtru nie można odczytać z wykresu częstotliwości granicznej dla
filtru, na którym przeprowadzano pomiary.
Filtry aktywne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
7
Charakterystyka częstotliwościowa
U3/U2
5,00
0,00
-5,00
1
10
100
1000
10000
-10,00
K [dB]
-15,00
-20,00
-25,00
-30,00
-35,00
-40,00
-45,00
f [Hz]
Powyższy wykres przedstawia charakterystykę częstotliwościową wyznaczoną z napięć U 2 i
U 3 (patrz: rysunek 2). Spadek wzmocnienia dla tego filtru wynosi około −40 dB
, co
dek
potwierdza przewidywania teoretyczne.
Częstotliwość graniczna dla tego filtru wynosi f g = 900 Hz .
Charakterystyka częstotliwościowa
U3/U1
20,00
10,00
0,00
K [dB]
-10,00 1
10
100
1000
10000
-20,00
-30,00
-40,00
-50,00
-60,00
-70,00
-80,00
f [Hz]
Powyższy wykres przedstawia charakterystykę częstotliwościową wyznaczoną z napięć U1 i
Filtry aktywne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
8
U 3 (patrz: rysunek 2). Spadek wzmocnienia dla tego filtru wynosi około −80 dB
dek
, co
potwierdza przewidywania teoretyczne.
Częstotliwość graniczna dla tego filtru wynosi f g ≈ 1000 Hz .
Odpowiedź układu na skok napięcia
Powyższy wykres przedstawia odpowiedź filtru dolnoprzepustowego rzędu IV na skok
napięcia (patrz: rysunek 2). Oś pionowa jest osią amplitudy o jednostce wyrażonej w mV , a
oś pozioma jest osią czasu o jednostce wyrażonej w ms .
Z powyższego wykresu można odczytać, że czas narastania wynosi około:
tr = 402 μ s
Filtry aktywne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
9
4 Filtr Butterworth’a rzędu IV, pasmowoprzepustowy
Rysunek 3
Filtr pasmowy filtra Butterworth’a rzędu IV składa się z dwóch części: pierwsza to
omawiany układ dolnoprzepustowy, natomiast druga część to układ górnoprzepustowy
(różniczkujący) zbudowana analogicznie do pierwszej tylko, że z przestawionymi
kondensatorami i rezystorami. Razem te dwa układy tworzą filtr pasmowy.
W filtrze wykorzystane są następujące elementy:
R = 10k Ω
C1 = 16nF
k1 = 2, 235
C2 = 160nF
k2 = 1,152
Obliczono częstotliwości graniczne: górną ( f gor ) i dolną ( f dol ) korzystając ze wzorów:
f gor =
1
1
1
1
⋅
=
⋅
= 995 [ Hz ] ≈ 1000[ Hz ]
R ⋅ C1 2 ⋅ π 10k ⋅16n 2 ⋅ π
f dol =
1
1
1
1
⋅
=
⋅
= 99,5 [ Hz ] ≈ 100[ Hz ]
R ⋅ C2 2 ⋅ π 10k ⋅160n 2 ⋅ π
Filtry aktywne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
10
f [Hz]
20
30
50
70
100
200
300
500
1k
1,2k
1,3k
1,4k
1,5k
1,7k
1,9k
2k
3k
5k
7k
8k
10k
U1 [V]
4,16
4,16
4,16
4,16
4,16
4,16
4,16
4,16
4,16
4,16
4,16
4,16
4,16
4,16
4,16
4,16
4,16
4,00
4,00
4,00
4,00
U5 [V]
0,009
0,204
2,32
8,89
20,000
25,200
25,000
24,800
19,200
12,000
9,200
6,800
5,600
3,200
2,100
1,700
0,332
0,043
0,011
0,007
0,003
k=U5/U1 [V/V]
0,002
0,049
0,558
2,137
4,808
6,058
6,010
5,962
4,615
2,885
2,212
1,635
1,346
0,769
0,505
0,409
0,080
0,011
0,003
0,002
0,001
K=20log(k) [dB]
-53,30
-26,19
-5,07
6,60
13,64
15,65
15,58
15,51
13,28
9,20
6,89
4,27
2,58
-2,28
-5,94
-7,77
-21,96
-39,37
-51,21
-55,14
-62,50
Powyższa tabela zawiera zestawienie wyników pomiarów oraz wielkości wzmocnienia i
tłumienia układu z rysunku 3.
Charakterystyka częstotliwościowa
U5/U1
40,00
30,00
20,00
10,00
K [dB]
0,00
-10,00
1
10
100
1000
10000
100000
-20,00
-30,00
-40,00
-50,00
-60,00
-70,00
f [Hz]
Filtry aktywne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
11
Z wykresu na poprzedniej stronie można odczytać wzmocnienie sygnału dla filtru
, a tłumienie sygnału
opisywanego w tym podpunkcie. Wzmocnienie wynosi około 74 dB
dek
około −81 dB
. Wartości te zgadzają się z przewidywaniami teorii.
dek
Ponad to na podstawie odczytanych z wykresu wartości można stwierdzić, że omawiany filtr
pasmowy przenosi sygnał w przedziale częstotliwości 90 − 1000 Hz , co także zgadza się z
przewidywaniami teorii.
5 Uwagi
Filtr Butterworth’a zbudowany jest z dwóch różnych stopni mających różne
charakterystyki,
a co za tym idzie różne częstotliwości graniczne. Transmitancję poszczególnych stopni tego
filtru możemy określić na podstawie wzorów:
k ( s) =
α=
1
⎛
s
⎜⎜ 1 + α
ωg
⎝
n
⎞
⎟⎟
⎠
n
2 −1
Jeżeli porówna się częstotliwości graniczne filtrów o różnych k to uzyska się następujące
spostrzeżenie:
„Im większa transmitancja, tym większa częstotliwość graniczna filtru”
Powyższy wniosek wynika z prostego rozumowania. Jeżeli k zwiększa się to oznacza, że
s
mianownik musi maleć, a to nastąpi w momencie, kiedy zmaleje czynnik
, czyli
ωg
częstotliwość graniczna musi się zwiększyć. Czynnik α jest stały, ponieważ nie zmienia się
rząd filtru.
Filtry aktywne – Agata Rachwał i Jacek Mostowicz
12