1)Obliczyć częstość drgań własnych 2)Narysować pierwsze trzy

Dynamika Ram- Wersja Komputerowa
POLITECHNIKA POZNAŃSKA
INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI
I1=I220
A=39,6cm2=0,00396m2
µ=31,1 kg/m
I=3060cm4=0,0000306m4
EI=6273000Nm2
EA=811800000N
Projekt wykonał: Krzysztof Wójtowicz
Sprawdził: dr inŜ. Przemysław Litewka
I1=I240
A=46,1cm2=0,00461m2
µ=36,2 kg/m
I=4250cm4=0,000042m4
EI=8712500Nm2
EA=945050000N
1)Obliczyć częstość drgań własnych
2)Narysować pierwsze trzy postacie drgań własnych
Ogólna postać ruchu przyjmuje postać:
K ⋅ q + C ⋅ q& + M ⋅ q&& = P
(1)
PoniewaŜ nie uwzględniamy tłumienia oraz sił wymuszających nasze równanie przyjmuje
postać:
K ⋅ q + M ⋅ q&& = 0
Krzysztof Wójtowicz gr.3
-1-
(2)
Dynamika Ram- Wersja Komputerowa
Przyjęcie układu globalnego oraz przemieszczeń węzłowych
Przyjęcie układów lokalnych oraz przemieszczeń węzłowych
Krzysztof Wójtowicz gr.3
-2-
Dynamika Ram- Wersja Komputerowa
Tabela Powiązań
Nr pręta
1
2
3
4
1
1
4
7
4
2
2
5
8
5
3
3
6
9
6
4
4
7
10
13
5
5
8
11
14
6
6
9
12
15
Budowa macierzy sztywności
Dla prętów nr 1,2,4 korzystamy z macierzy sztywności z obustronnym utwierdzeniem
~
K( e )
 EAl 2

 0
1  0
= 3
l − EAl 2
 0

 0
0
0
− EAl 2
0
− 12 EI
12 EI
6 EIl
0
6 EIl
4 EIl 2
0
0
0
− 12 EI
− 6 EIl
6 EIl
EAl
2 EIl
2
− 6 EIl
2


6 EIl 
2 EIl 2 

0 
− 6 EIl 

4 EIl 2 
0
0
0
12 EI
0
− 6 EIl
(3)
Dla pręta nr 3 korzystamy z macierzy sztywności z przegubem na prawym końcu
~
K( e )
 EAl 2

 0
1  0
= 3
l − EAl 2
 0

 0
0
0
− EAl 2
3EI
3EIl
0
3EIl
3EIl 2
0
0
0
EAl 2
− 3EI
− 3EIl
0
0
0
0
0

− 3EI 0
− 3EIl 0

0
0
3EI
0

0
0
0
Po podstawieniu danych otrzymujemy
~
K(1 )
0
0
- 126844000
0
0
 126844000



0
287155
918896
0
287155
918896



0
918896 3920620
0
- 918896 1960310 
=

0
0
126844000
0
0
- 126844000


0
- 287155 - 918896 l
0
287155 - 918896 


0
918896 1960310
0
- 918896 3920620 

~
K( 2 )
0
0
- 189010000
0
0
 189010000



0
836400
2091000
0
836400
2091000



0
2091000 6970000
0
- 2091000 3485000 
=

0
0
189010000
0
0
- 189010000


0
- 836400 - 2091000
0
836400 - 2091000 


0
2091000 3485000
0
- 2091000 6970000 

Krzysztof Wójtowicz gr.3
-3-
(4)
Dynamika Ram- Wersja Komputerowa
~
K( 3 )
0
0
- 202950000
0
 202950000

0
294047 1176190
0
- 294047


0
1176190 4704750
0
- 1176190
=
202950000
0
0
202950000
0


0
- 294047 - 1176190
0
294047

0
0
0
0
0

0
0
0

0
0

0
~
K( 4 )
0
0
- 202950000
0
0
 202950000


0
1176190 2352380
0
- 1176190 2352380 


0
2352380 6273000
0
- 2352380 3136500 
=

0
0
202950000
0
0
- 202950000


0
- 1176190 - 2352380
0
1176190 - 2352380 


0
2352380 3136500
0
- 2352380 6273000 

Następnie transformujemy macierze sztywności z układu lokalnego do globalnego według wzoru
~
K ( e ) = T T K ( e )T
 cos α
− sin α

 0
T =
 0
 0

 0
sin α
cos α
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0 cos α
0 − sin α
0
0
(5)
0
0
0
sin α
cos α
0
0
0
0

0
0

1
Dla pręta nr 1 kąt α= -38,66 0 , stąd macierz transformacji przyjmuje postać
0,781 - 0,625
0,625 0,781

 0
0
T =
0
 0
 0
0

0
0

0
0
0
0
0
0
1
0
0
0 0,781 - 0,625
0 0,625 0,781
0
0
0
0
0
0

0
0

1
Dla pręta nr 3,4 kąt α= 90 0 , stąd macierz transformacji przyjmuje postać
1,0 0
0
0 0
 0
- 1,0 0 0
0
0 0

 0
0 1
0
0 0
T =

0 0
0
1,0 0
 0
 0
0 0 - 1,0 0 0


0 0
0
0 1
 0
Macierz sztywności pręta nr 2 nie ulega zmianie poniewaŜ kąt α= 0 0
Krzysztof Wójtowicz gr.3
-4-
(6)
Dynamika Ram- Wersja Komputerowa
Po transformacji macierze przyjmują postać
K(1)
 77455400 - 61735000
- 61735000 49675500

 574032
717536
=
- 77455400 61735000
 61735000 - 49675500

717536
 574032
K( 2 )
0
0
- 189010000
0
0
 189010000


0
836400 2091000
0
- 836400 2091000 


0
2091000 6970000
0
- 2091000 3485000 
=

0
0
189010000
0
0
- 189010000


0
- 836400 - 2091000
0
836400 - 2091000 


0
2091000 3485000
0
- 2091000 6970000 

K( 3 )
K( 4 )
574032 - 77455400 61735000
717536
61735000 - 49675500
3920620 - 574032
- 717536
- 574032 77455400 - 61735000
- 717536 - 61735000 49675500
1960310 - 574032
− 717536
574032 
717536 
1960310 

- 574032
- 717536 

3920620 
0
- 1176190 - 294047
0
 294047

0
202950000
0
0
- 202950000

- 1176190
0
4704750 1176190
0
=
1176190
294047
0
0
 - 294047

- 202950000
202950000
0
0
0

0
0
0
0
0

0
0
0

0
0

0
0
- 2352370 - 1 176190
0
- 2352370 
 1176190


0
0
0
202950000
0
- 202950000


- 2352370
0
6273000
2352370
0
3136500 
=

0
2352370
1176190
0
2352370 
- 1176190


0
- 202950000
0
0
202950000
0


0
3136500
2352370
0
6273000 
- 2352370
Agragacja macierzy sztywności
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
1
2
2
3
3
4
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Krzysztof Wójtowicz gr.3
-5-
Dynamika Ram- Wersja Komputerowa
Podczas agregacji macierzy sztywności pola, które się nakładały zostały do siebie dodane.
W macierzy sztywności naleŜy uwzględnić warunki podparcia ramy. W tym celu zerujemy kolumny
oraz wiersze 1,2,3,10,11,13,14,15 poniewaŜ przemieszczenia w tych kierunkach wynoszą 0. Ze
względu na redukcję statyczną kąta obrotu w pręcie nr 3 zerujemy kolumnę i wiersz 12.
Ostatecznie macierz sztywności przyjmuje postać:
0
0
 267 641 590 - 61 735 0000 - 2 926 402 - 189010000

 - 61 735 000 253 461 900 1 373 464
0
- 836400
2091000 

 - 2 926 402
1 373 464
17 163 620
0
- 2091000 3485000 
K =

0
0
189304047
0
- 1176190 
- 189010000

0
- 836400
- 2091000
0
203786400 - 2091000 


0
2091000
3485000
- 1176190
- 2091000 11674750 

Budowa macierzy mas
Dla prętów nr 1,2,4 korzystamy z macierzy sztywności z obustronnym utwierdzeniem
~
M(e)
0
0
70
0
0 
140
 0
156
22
l
0
54
−
13
l 

22l
4l 2
0
13l − 3l 2 
µl  0
=


0
0
140
0
0 
420  70
 0
54
13l
0
156 − 22l 


2
0 − 22l 4l 2 
 0 − 13l − 3l
(7)
Dla pręta nr 3 korzystamy z macierzy sztywności z przegubem na prawym końcu
~
M(e)
0
70
0
140 0
 0 204 36l
,5
0
58

2
0 16 ,5l
µl  0 36l 8l
=

0
0
140
0
420  70
 0 58,5 16,5l 0
99

0
0
0
0
 0
0
0
0

0
0

0
Po podstawieniu wartości otrzymujemy
~
M (1)
0
0
33
0
0 
66
0
74
67
0
26 − 39 

0
67
78
0
39 − 58
=

0
0
66
0
0 
33
0
26
39
0
74 − 67 


 0 − 39 − 58 0 − 67 78 
~
M(2)
0
0
30
0
0 
60
0
67
47
0
23 − 28

0
47
43
0
28 − 32 
=

0
0
60
0
0 
30
0
23
28
0
67 − 47 


 0 − 28 − 32 0 − 47 43 
Krzysztof Wójtowicz gr.3
-6-
(8)
Dynamika Ram- Wersja Komputerowa
~
M(3)
~
M(4)
41 0 0 21 0 0
 0 60 43 0 17 0


 0 43 38 0 20 0
=

21 0 0 41 0 0
 0 17 20 0 29 0


 0 0 0 0 0 0
0
21 0
0 
41 0
 0 46
26 0 16 − 15 

 0 26
19
0 15 − 14 
=

0
41 0
0 
21 0
 0 16
15
0
46 − 26


 0 − 15 − 14 0 − 26 19 
Następnie transformujemy macierze sztywności z układu lokalnego do globalnego według wzoru
~
M ( e ) = T T M ( e )T
(9)
Macierz transformacji „T” przyjmuje postać (6)
Po transformacji otrzymujemy
M (1)
4
42
30
−4
 69
 4
71
52
−4
29

 42
52
78
25
31
=
30
−
4
25
69
4

 − 4 29
31
4
71

− 25 − 31 − 58 − 42 − 52
M(2)
0
0
30
0
0 
60
0
67
47
0
23 − 28

0
47
43
0
28 − 32 
=

0
0
60
0
0 
30
0
23
28
0
67 − 47 


 0 − 28 − 32 0 − 47 43 
M(3)
M(4)
Krzysztof Wójtowicz gr.3
− 25
− 31
− 58

− 42
− 52 

78 
0 − 43 17
0 0
 60
 0
41
0
0
21
0

− 43 0
38 − 20 0 0
=

0 − 20 29
0 0
 17
 0
21 0
0
41 0


0
0
0
0 0
 0
0 − 26 16
0 15 
 46
 0
41
0
0
21
0 

− 26 0 19 − 15 0 − 14
=

0 − 15 46 0 26 
 16
 0
21 0
0
41 0 


0 − 14 26 0 19 
 15
-7-
Dynamika Ram- Wersja Komputerowa
Agregacja macierzy mas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
1
2
2
3
4
5
3
M
4
M
M
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Podczas agregacji macierzy mas pola, które się nakładały zostały do siebie dodane.
W macierzy mas naleŜy uwzględnić warunki podparcia ramy w tym celu zerujemy kolumny oraz
wiersze 1,2,3,10,11,13,14,15 poniewaŜ przemieszczenia w tych kierunkach wynoszą 0. Ze względu na
redukcję statyczną kąta obrotu w pręcie nr 3 zerujemy kolumnę i wiersz 12. Dodatkowo
uwzględniliśmy masę skupioną dodając jej wartość w komórkach M44 oraz M55, poniewaŜ generuje
ona siły bezwładności po kierunku 4 oraz 5.
Ostatecznie macierz mas przyjmuje postać:
0
30
0
171 45
 45 180 37
0
23

 0
37 162
0
28
M =
0
0
121
0
 30
 0
23
28
0
109

 0 − 28 − 32 − 43 − 47
0 
− 28
− 32 

− 43
− 47 

81 
Obliczenie częstości drgań własnych oraz wektorów przemieszczeń dla poszczególnych
postaci drgań
Mając dane wektory sztywności oraz mas moŜemy rozwiązać równanie (2) przyjmując za rozwiązanie
q = q 0 sin ωt
(10)
Po dwukrotnym zróŜniczkowaniu otrzymujemy
q = −ω 2 q 0 sin ωt
(11)
Po podstawieniu do równania (2) i przekształceniu otrzymujemy
( K − λM )q0 = 0
λ =ω
2
Otrzymaliśmy zagadnienie problemu własnego, które rozwiąŜemy przy pomocy programu UPW
Krzysztof Wójtowicz gr.3
-8-
(12)
(13)
Dynamika Ram- Wersja Komputerowa
 rad 
:
 s 
 rad 2 
:
2 
 s 
Wartości własne 
Częstości drgań własnych 
λ1 = 67210
λ 2 = 156217
λ3 = 247803
λ4 = 1454170
λ5 = 2618960
λ6 = 5611080
ω1 = 259
ω 2 = 395
ω 3 = 498
ω 4 = 1206
ω 5 = 1618
ω 6 = 2369
Wektory własne
q 01
 - 0,131
- 0,052 


- 0,802 
=

- 0,145 
 - 0,021


 0,802 
q 02
- 0,837 
 - 0,251


 0,849 
=

- 0,967 
 0,012 


 0,403 
q 03
- 0,346 
 - 0,088 


 - 0,540 
=

- 0,356 
 0,034 


- 1,197 
q 04
 0,010 
 1,111 


- 0,290 
=

- 0,604 
 0,326 


 0,169 
q 05
 - 0,201
 0,262 


 0,012 
=

- 0,042 
 - 1,011


- 0,535 
q 06
 0,705 
- 0,409 


- 0,024 
=

- 1,000 
- 0,503 


- 0,995 
Wyznaczenie pierwszych trzech postaci drgań własnych
Pierwsza postać drgań własnych (ω
ω=259rad/s)
Wektor własny dla pierwszej postaci drgań własnych
q 01
 - 0,131
- 0,052 


- 0,802 
=

- 0,145 
 - 0,021


 0,802 
Wektory przemieszczeń (amplitud) węzłowych dla pieszej postaci w układzie globalnym
 0 
 0 


 0 
q 11 = 

 - 0,131
- 0,052 


- 0,802 
q 12
 - 0,131
- 0,052 


- 0,802 
=

- 0,145 
 - 0,021


 0,802 
q 13
- 0,145 
 - 0,021


 0,802 
=

 0 
 0 


 1 
q14
 - 0,131
- 0,052 


- 0,802 
=

 0 
 0 


 0 
Uwaga!
Dla pręta nr 3 w miejscu wyeliminowanego kąta obrotu przy przegubie wstawiamy wartość 1
Następnie transformujemy wektory przemieszczeń do układów lokalnych według wzoru
q~ = T ⋅ q
(14)
T- macierz transformacji przyjmuje postać (6)
Krzysztof Wójtowicz gr.3
-9-
Dynamika Ram- Wersja Komputerowa
Po transformacji wektory przemieszczeń przyjmują postać:
q~ 11
 0 
 0 


 0 
=

- 0,069 
- 0,122 


- 0,802 
q~ 12
 - 0,131
- 0,052


- 0,802
=

- 0,145
 - 0,021


 0,802 
q~ 13
- 0,021
 0,145 


 0,802 
=

 0 
 0 


 1 
q~ 14
- 0,052
 0,131 


- 0,802
=

 0 
 0 


 0 
Do wyznaczenia przemieszczeń poszczególnych prętów posłuŜą nam funkcje kształtu, które przyjmują
postać.
Pręt obustronnie utwierdzony
~
x
N1 ( ~
x ) = 1−
l
2
3
x
x
~
~
~
N 2 ( x ) = 1 − 3  + 2 
l
l
2
~
~

x x 
N3( ~
x)= ~
x 1 − 2 +   
l  l  

~
x
N4( ~
x)=
l
2
3
x
x
~
~
N5( ~
x ) = 3  − 2 
l
l
2
 ~
x ~
x 
~
~
N 6 ( x ) = x − +   
 l  l  
Pręt z przegubem na prawym końcu
~
x
N1 ( ~
x ) = 1−
l
2
3
3~
x
1~
x
~
N2( x ) = 1−   +  
2 l 
2 l 
2
~
 3 x 1~
x 
N3( ~
x)= ~
x 1 −
+   
 2 l 2  l  
~
x
N4( ~
x)=
l
2
3
3~
x
1~
x
N5( ~
x)=   −  
2 l 
2 l 
Przemieszczenie kaŜdego punktu opisuje zaleŜność
U ( 2 x1 ) = N ( 2 x 6 ) ⋅ q~( 6 x1 )
u 
U( ~
x ,t ) =  
v 
~
0
0
N4( ~
x)
0
0 
N ( x )
N( ~
x)= 1
~
~
~
N2( x ) N3( x )
0
N5( x ) N6( ~
x )
 0
Po podstawieniu danych macierze funkcji kształtu dla wybranych punków przyjmują postać
Dla elementu 1
0
0
0,2344
0
0 
0,7656
1
N ( 1,5 ) = 
0,8610 0,8793
0
0,1390 - 0,2692 
 0
0
0
0,4688
0
0 
0,5313
1
N (3) = 
0,5468 0,8467
0
0,4532 - 0,7471
 0
0
0
0,7031
0
0 
0,2969
N 1 ( 4 ,5 ) = 
0
0,2121 0,3966
0,7879 - 0,9393
 0
Krzysztof Wójtowicz gr.3
- 10 -
(15)
(16)
(17)
Dynamika Ram- Wersja Komputerowa
Dla elementu 2
0
0
0,2000
0
0 
0,8000
2
N (1 ) = 
0,8960 0,6400
0
0,1040 - 0,1600 
 0
0
0
0,4000
0
0 
0,6000
N 2( 2 ) = 
0,6480 0,7200
0
0,3520 - 0,4800 
 0
0
0
0,7000
0
0 
0,3000
N 2 ( 3,5 ) = 

0
0,2160
0,3150
0
0,7840
0,7350


Dla elementu 3
0
0
0,2500
0
0
0,7500
N 4 (1 ) = 
0,9141 0,6563
0
0,0859 0 
 0
0
0
0,5000
0
0
0,5000
4
N (2)= 
0
0,6875
0,7500
0
0,3125
0

0
0
0,7500
0
0
0,2500
4
N (3) = 
0,3672 0,4688
0
0,6328 0
 0
Dla elementu 4
0
0
0,2500
0
0 
0,7500
3
N (1 ) = 

0
0,8438
0,5625
0
0,1563
0,1875


0,5000
0
0
0,5000
0
0


N 3( 2 ) = 

0
0,5000
0,5000
0
0,5000
0,5000


0,2500
0
0
0,7500
0
0


3
N (3) = 
0,1563 0,1875
0
0,8438 - 0,5625
 0
Po podstawieniu do wzoru (15) otrzymujemy następujące przemieszczenia dla poszczególnych
prętów w układzie lokalnym.
- 0,016 
1
U ( 1,5 ) = 

 0,199 
- 0,134 
2
U (1 ) = 

 - 0,691
- 0,016
U 3 (1) = 

 0,659 
- 0,039
U 4 (1) = 

 - 0,341
- 0,033
1
U (3) = 

 0,544 
- 0,137 
2
U (2)= 

- 1,004 
- 0,011
U 3 (2) = 

 0,702 
- 0,026
U 4 (2) = 

- 0,336
- 0,049 
1
U ( 4,5 ) = 

 0,657 
 - 0,141
2
U ( 3,5 ) = 

- 0,870 
- 0,005
U 3 (3) = 

 0,429 
- 0,013
U 4 (3) = 

- 0,130
Po naniesieniu przemieszczeń otrzymujemy pierwszą postać drgań własnych
Krzysztof Wójtowicz gr.3
- 11 -
Dynamika Ram- Wersja Komputerowa
Druga postać drgań własnych (ω
ω=395rad/s)
Wektor własny dla drugiej postaci drgań własnych
q 02
- 0,837 
 - 0,251


 0,849 
=

- 0,967 
 0,012 


 0,403 
Wektory przemieszczeń (amplitud) węzłowych dla drugiej postaci w układzie globalnym
q 21
 0 
 0 


 0 
=

- 0,837 
 - 0,251


 0,849 
q 22
- 0,837 
 - 0,251


 0,849 
=

- 0,967 
 0,012 


 0,403 
q 23
- 0,967 
 0,012 


 0,403 
=

 0 
 0 


 1 
q 24
- 0,837 
 - 0,251


 0,849 
=

 0 
 0 


 0 
Uwaga!
Dla pręta nr 3 w miejscu wyeliminowanego kąta obrotu przy przegubie wstawiamy wartość 1
Następnie transformujemy wektory przemieszczeń do układów lokalnych według wzoru (14)
q~ 21
 0 
 0 


 0 
=

- 0,497 
- 0,719 


 0,849 
q~ 22
Krzysztof Wójtowicz gr.3
- 0,837 
 - 0,251


 0,849 
=

- 0,967 
 0,012 


 0,403 
q~ 23
- 12 -
0,012 
0,967 


0,403 
=

 0 
 0 


 1 
q~ 24
- 0,251
 0,837 


 0,849 
=

 0 
 0 


 0 
Dynamika Ram- Wersja Komputerowa
Korzystając z zaleŜności (15) obliczamy przemieszczenia
- 0,117 
1
U ( 1,5 ) = 

- 0,329 
- 0,863
2
U (1 ) = 

 0,256 
0,009
U 3 (1) = 

1,148 
- 0,188
U 4 (1) = 

 1,184 
- 0,233
1
U (3) = 

- 0,960 
- 0,889 
2
U (2)= 

 0,260 
0,006
U 3 (2) = 

0,967
- 0,125
U 4 (2) = 

 0,843 
- 0,350 
1
U ( 4,5 ) = 

- 1,365 
- 0,928 
2
U ( 3,5 ) = 

- 0,073 
0,003
U 3 (3) = 

0,544
- 0,063
U 4 (3) = 

 0,290 
Po naniesieniu przemieszczeń otrzymujemy drugą postać drgań własnych
Trzecia postać drgań własnych (ω
ω=498rad/s)
Wektor własny dla trzeciej postaci drgań własnych
q 03
- 0,346 
 - 0,088 


 - 0,540 
=

- 0,356 
 0,034 


- 1,197 
Wektory przemieszczeń (amplitud) węzłowych dla trzeciej postaci w układzie globalnym
q 31
 0 
 0 


 0 
=

- 0,346 
- 0,088 


- 0,540 
q 32
Krzysztof Wójtowicz gr.3
- 0,346 
- 0,088 


- 0,540 
=

- 0,356 
 0,034 


- 1,197 
q 33
- 13 -
- 0,356 
 0,034 


- 1,197 
=

 0 
 0 


 1 
q 34
- 0,346 
- 0,088 


- 0,540 
=

 0 
 0 


 0 
Dynamika Ram- Wersja Komputerowa
Uwaga!
Dla pręta nr 3 w miejscu wyeliminowanego kąta obrotu przy przegubie wstawiamy wartość 1
Następnie transformujemy wektory przemieszczeń do układów lokalnych według wzoru (14)
q~ 31
 0 
 0 


 0 
=

- 0,215 
- 0,285 


- 0,540 
q~ 32
- 0,346 
- 0,088 


- 0,540 
=

- 0,356 
 0,034 


- 1,197 
q~ 33
 0,034 
 0,356 


- 1,197 
=

 0 
 0 


 1 
q~ 34
- 0,088 
 0,346 


- 0,540 
=

 0 
 0 


 0 
Korzystając z zaleŜności (15) obliczamy przemieszczenia
- 0,050 
1
U ( 1,5 ) = 

 0,106 
- 0,348 
2
U (1 ) = 

- 0,229 
 0,026 
U 3 (1) = 

- 0,460
- 0,066
U 4 (1) = 

- 0,012
- 0,101
1
U (3) = 

 0,274 
- 0,350 
2
U (2)= 

 0,141 
 0,017 
U 3 (2) = 

- 0,653
- 0,044
U 4 ( 2) = 

- 0,097
- 0,151
1
U ( 4,5 ) = 

 0,283 
- 0,353
2
U ( 3,5 ) = 

 0,717 
 0,034 
U 3 (3) = 

- 0,430
- 0,022
U 4 (3) = 

- 0,047
Po naniesieniu przemieszczeń otrzymujemy trzecią postać drgań własnych
Krzysztof Wójtowicz gr.3
- 14 -