Optymalna liczba kana³ów obs³ugi

Optymalna liczba kanałów obsługi (teoria kolejek)
Kanałem obsługi jest np. kasa w hipermarkecie, okienko na poczcie, w banku czy urzędzie.
Naszym celem jest określenie optymalnej liczby kanałów/stanowisk obsługi „z”.
Do kaŜdego stanowiska obsługi przybywa średnio w ciągu jednostki czasu (np. godziny) λ
klientów. Jest to stopa przybycia.
KaŜde stanowisko moŜe obsłuŜyć w ciągu jednostki czasu średnio a klientów, zatem stopa
obsługi całego systemu wynosi µ=az.
Dla systemu moŜemy wyznaczyć parametr intensywności przepływu klientów: π=λ/µ
Jeśli:
π>1 - kolejka tworzy się i ciągle się wydłuŜa
π=1 - kolejka ma mniej więcej stałą długość
π<1 - kolejka nie ma tendencji do tworzenia się, a jeśli powstanie to zacznie się skracać.
Systemy obsługi powinny być tak projektowane, by π<1, zatem:
λ/µ<1
λ/az<1
z>λ/a czyli kanałów obsługi powinno być choć λ/a aby system się „nie zapychał”.
kolejce
Tk =
λ
µ (µ − λ )
Lk =
λ2
µ (µ − λ )
→razy π →
MoŜemy wyznaczyć średnią liczbę osób czekających w systemie (czyli czekających w kolejce
oraz będących obsługiwani) oraz w samej kolejce oraz średni czas przebywania w systemie i
kolejce:
średni czas
średnia liczba
przebywania w:
osób czekająca w:
1
λ
Ls =
systemie Ts =
µ −λ
µ −λ
→ razy λ →
Optymalna liczba kanałów obsługi to taka, która minimalizuje łączne koszty związane z
oczekiwaniem jednego klienta w kolejce oraz koszty utrzymywania stanowisk obsługi.
Koszty te liczymy ze wzoru:
K ( z) = b
λ
+ pz , gdzie:
az − λ
b – strata związane z oczekiwaniem jednego klienta w kolejce (bierze się stąd, Ŝe kolejka
zniechęca klientów do korzystania z usług w danej chwili albo w przyszłości)
p – koszt utrzymania 1 stanowiska obsługi (pensja pracownika, wyposaŜenie i utrzymanie
stanowiska pracy).
MoŜemy podstawiać kolejne ilości kanałów obsługi – funkcja będzie maleć wraz ze wzrostem
ich liczby, a potem zacznie rosnąć – ostatnia wartość przed wzrostem to najniŜszy koszt, a
liczba „z” dla której ma to miejsce jest optymalną liczbą kanałów obsługi (z*).
MoŜemy teŜ wyciągnąć pochodną ze wzoru i przyrównać ją do zera. Liczba z* będąca
rozwiązaniem tego równania jest optymalną liczbą kanałów obsługi:
bλ λ
z* =
+
ap a