Antena 10t akustyczna

Elektrotechnika elektronika miernictwo
Franciszek Gołek ([email protected])
www.pe.ifd.uni.wroc.pl
Wykład 05
Schemat odbiornika radiowego Pionier
(filtry p.cz. są w ekranach zaznaczonych
przerywaną kreską).
Ilustracja drogi sygnału od anteny do głośnika
Radio na pojedynczym układzie scalonym
Decybel
Decybel to jednostka logarytmiczna. 1B = log10(P/Po), 1dB = 0,1B.
Decybele służą do porównania dwóch sygnałów (oczywiście o
identycznych jednostkach) i wyrażają ich logarytmiczny stosunek.
Decybele stosujemy przede wszystkim w akustyce (tam gdzie reakcja
układu biologicznego jest proporcjonalna do logarytmu natężenia
bodźca). Stosujemy je również w elektronice. W przypadku
porównywania amplitud mocy obowiązuje: kP[dB] = 10log10(P2/P1).
Dla napięciowych lub prądowych amplitud mamy: kA[dB] =
20log10(A2/A1) bo 10log10(A22 /A12 ) = 10log10(A2/A1)2 = 20log10(A2/A1). Przy
porównywaniu sygnałów o różnych przebiegach np. sygnału
sinusoidalnego i szumu bierzemy wartości RMS czyli wartości
skuteczne. Czasem wyrażamy daną wielkość odniesioną do wzorca lub
wartości progowej np. 1V, lub w akustyce 20µP jako próg słyszalności
(120dB oznacza 20 000 000 µP). Jako wartości odniesienia można
spotkać napięcia zapewniające wydzielanie mocy 1mW na standardowej
oporności 50 Ω lub 600 Ω. Wartości skuteczne napięć wyrażone jako
“0 dBm” (m oznacza mW) wynoszą odpowiednio 0.22V dla obciążenia
50 Ω i 0.78V dla 600 Ω).
Decybel
W komunikacji moc bywa wyrażana w jednostkach: dBW lub dBm:
100 W to 20 dBW, 1 W to 0 dBW, 0,5 W to -3 dBW,
1 W to 30 dBm.
Napięcie bywa wyrażane w jednostkach dBV, co należy rozumieć
jako:
Przy określaniu zmian sygnałów pamiętajmy, że wartości ujemne
oznaczają zmniejszenie (straty) a wartości dodatnie oznaczają
zwiększenie (wzmocnienie).
Z poprzednich wykładów wiemy że:
indukcyjność i pojemność, w odróżnieniu od rezystancji,
przyczyniają się do powstawania różnicy faz między
napięciem i prądem a ich impedancje zależą od
częstotliwości przebiegów elektrycznych XL = jωL, XC = 1/jωC.
W tym wykładzie pokażemy dalsze konsekwencje obecności
pojemności i indukcyjności w obwodach elektrycznych.
Między innymi zbadamy jaki wpływ mają one na tzw. pasmo
przenoszenia oraz kształtowanie impulsów elektrycznych.
Najprostszy dzielnik
napięcia zawierający
impedancję zależną
od częstotliwości
sygnału.
Pasmo częstotliwości
Pasmo częstotliwości jest ważną wielkością i podstawowym
pojęciem w systemach komunikacji. Pasmem częstotliwości dla
danego sygnału nazywamy zakres częstotliwości jaki obejmuje
spektrum tego sygnału.
FM – modulacja częstotliwości
Aby przesłać informację przy
pomocy fali nośnej
o częstotliwości ωo trzeba
ją zmodulować (zdeformować)
w takt informacji.
Taka modulacja oznacza
AM – modulacja amplitudy
zamianę sygnału nośnego
o jednej częstości
na sumę pewnego
spektrum sygnałów
obejmującego pewne
pasmo.
Przyjmując że:
Fala nośna: N(t) = UNcos(Ωt),
Sygnał modulujący: M(t) = UMcos(ωt),
otrzymujemy sygnał AM (amplitudowo zmodulowanej
fali):
U(t) = [UN + M(t)]cos(Ωt) = [UN + UMcos(ωt)]cos(Ωt)
= UN[1+ m·cos(ωt)]cos(Ωt),
gdzie m = UM/UN < 1 jest indeksem (głębokością) modulacji.
Zamieniając iloczyn kosinusów odpowiednią sumą mamy:
U(t) =
UNcos(Ωt) + (½)mUNcos[(Ω-ω)t] + (½)mUNcos[(Ω+ω)t]
Widać, że sygnał AM składa się z fali nośnej i wstęg
bocznych: dolnej Ω-ω oraz górnej: Ω+ω.
Filtrem nazywamy urządzenie, które przepuszczając
(transmitując) sygnał wejściowy może zmieniać przy tym
jego spektralny rozkład energii. W praktyce filtry mają za
zadanie przenosić sygnały o interesujących nas
częstotliwościach i tłumić sygnały o częstotliwościach
niepożądanych.
Filtry, poprzez zmianę składowych harmonicznych,
modelują impulsy elektryczne.
Ze względu na przenoszone pasmo filtry dzielimy na:
Dolno-przepustowe,
Górno-przepustowe,
Środkowo-przepustowe (pasmowo-przepustowe),
Środkowo-zaporowe (pasmowo-zaporowe),
Wielopasmowe.
Filtry dzielimy pod względem technologii wykonania:
a) Pasywne - dzielniki napięcia lub prądu z elementami
pasywnymi: R, C i L.
b) Aktywne - zawierają, oprócz elementów R, C i L,
tranzystory lub wzmacniacze operacyjne.
c) Cyfrowe, w których sygnał jest zamieniany na postać
cyfrową a następnie szeregi liczb są przetwarzane,
filtrowane i ponownie zamieniane na sygnał.
d) Filtry z akustyczną falą powierzchniową AFP (SAW surface acoustic wave).
e) Filtry grzebieniowe.
Filtry grzebieniowe.
f) Filtry kwarcowe, ceramiczne i inne.
g) Filtry mikrofalowe.
Obrazkowa ilustracja działania filtru
Pasmo przenoszenia filtra
Jest to obszar częstotliwości o najlepszym przenoszeniu sygnału zawarty
między granicami pasma. Granice pasma przenoszenia to takie
częstotliwości, przy których moc sygnału spada o 50% od swej
największej wartości, co oznacza, że moduł napięciowego lub
prądowego współczynnika przenoszenia sygnału kU= IUwy/UweI lub kI = IIwy/IweI - jest √2 razy mniejszy od swej
maksymalnej wartości.
W decybelach wygląda to następująco:
20log(1/√2) = -3 dB, czyli stosunek k(fg)/kmax wyrażony w decybelach
wynosi -3 dB. Ponieważ moc jest proporcjonalna do kwadratu napięcia
albo kwadratu natężenia prądu, P = U2/R = I2R graniczne częstotliwości
spełniają równość:
|K(fg)/Kmax| = k(fg)/kmax = 1/√2
P(fg)/Pmax = U2(fg)/U2max = I2(fg)/I2max =1/2
Pasmo przenoszenia dowolnego układu
W zasadzi każdy układ, przez który następuje propagacja
jakiegokolwiek sygnału ma jakieś ograniczenia dotyczące
częstotliwości propagowanego sygnału.
Graficzna ilustracja granic pasma zgodnie z definicjami:
P(fg)/Pmax = U2(fg)/U2max =
I2(fg)/I2max = 1/2
| K(fg)/Kmax | =
k(fg)/kmax = 1/√2
Filtry pasywne - dzielniki napięcia zależne
od częstotliwości. Często są to filtry RC i
stanowią bardzo ważne zastosowanie
kondensatorów. Obliczenia parametrów tych
dzielników w dziedzinie częstotliwości wymagają
stosowania uogólnionych praw Ohma i Kirchhoffa
czyli praw w zapisie zespolonym (tj. przy pomocy
liczb zespolonych i funkcji zespolonych).
Przy analizie filtrów warto też stosować
wykresy wskazowe bo mogą one stanowić
dogodną ilustrację relacji między sygnałem
wejściowym i wyjściowym danego filtra dla
wybranej częstotliwości.
Współczynnik przenoszenia kU i przesunięcie fazy ϕ.
Rysunek przedstawia dzielnik napięcia złożony z zespolonych impedancji Z 1 i
Z2, zasilany przez źródło o pomijalnie małej impedancji wewnętrznej Z 0 ~ 0 Ω.
Zatem Z0 ma pomijalny udział w podziale napięcia Thevenina. Ponadto dzielnik
jest nieobciążony, gdyż obciążenie Z3 ~ ∞. Aby obliczyć współczynnik
przenoszenia tego dzielnika, zwanego też czwórnikiem bo ma dwa zaciski
wejściowe i dwa zaciski wyjściowe – razem cztery, stosujemy taką logikę
postępowania jak przy zwykłych opornikach ale z użyciem liczb zespolonych.
Zespolony stosunek Uwy/Uwe= KU = kUeiϕ zawiera współczynnik przenoszenia kU
czyli stosunek wartości skutecznych lub amplitud - modułów napięcia
wyjściowego do napięcia wejściowego IUwyI/IUweI oraz względne przesunięcie
fazy ϕ. Napięcie wyjściowe to spadek napięcia na Z2: Uwy= U2 = I1 Z2. Napięcie
wejściowe to spadek na szeregowo połączonych Z1 i Z2 czyli Uwe= I1Z1+I1Z2.
kU = IUwyI/IUweI = IZ2I/IZ1+Z2I, ϕ = arctg((Im(KU))/(Re(KU))).
Filtr dolnoprzepustowy, opis w dziedzinie częstotliwości.
Opis ten mówi jak, w funkcji częstotliwości, ma się stosunek amplitud napięcia
wyjściowego do napięcia wejściowego - kU oraz względna różnica faz - ϕ
sygnału wyjściowego względem wejściowego. Obie te wielkości mamy w
funkcji zespolonej przedstawiającej stosunek zespolonych wartości napięcia
wyjściowego do wejściowego. Zakładamy, że źródło sygnału ma zerową a
obciążenie nieskończoną oporność wewnętrzną. Mamy jeden prąd I w R i w C:
Ważne
Bardzo często podczas łączenia układów elektronicznych powstają
pasożytnicze układy całkujące - filtry dolno-przepustowe (lub różniczkujące,
czyli filtry górno-przepustowe). Zwykle składają się one z rezystancji wyjściowej
jednego układu i pojemności wejściowej następnego lub pojemności
przewodów łączących. Te pasożytnicze elementy mogą przyczyniać się do
zmniejszenia górnej częstotliwości granicznej danej aparatury oraz wpływać na
kształt i czas trwania impulsów.
Przykład 5.3. Co pojawia się na nieobciążonym wyjściu
dolnoprzepustowego filtru RC gdy na jego wejściu wymuszamy skok
napięcia o wartości U0 ?
Rozwiązania, jak na poprzedniej stronie: Dla skoku 0 do U0: uwy(t) = U0(1 - e-t/RC)
Dla skoku U0 do 0: uwy(t) = U0e-t/RC. Iloczyn RC, zwany stałą czasową τ, określa
czas, po którym uwy(t) zbliża się do swej asymptotycznej wartości na „odległość”
= 1/e wysokości skoku.
τ = RC
Oszacujmy ile wynosi czas narastania impulsu prostokątnego
zdeformowanego filtrem dolnoprzepustowym. Czyli w jakim czasie
Uwy(t) wzrośnie od 10% do 90% swej wartości maksymalnej?
0.9 U0= U0(1 - e-t/RC) -> t90%= -RCln0.1 (U0 ≈ wartość maksymalna)
0.1 = 1 - e-t/RC -> t10%= -RCln0.9
tr = t90% - t10% = RC(ln0.9 - ln0.1) = RCln9 ≈ 2.2RC.
Pamiętając, że fg = 1/(2πRC) -> RC = 1/2πfg otrzymamy związek:
tr ≈ 2.2RC = 2.2/(2π fg) ≈ 2.2/(6,28 fg). Zatem możemy napisać:
tr ≈ 1/(3fg).
Rysunek przedstawia odpowiedź filtru dolnoprzepustowego na
ciąg impulsów prostokątnych o różnych częstotliwościach.
Filtr górno-przepustowy, opis w dziedzinie czasu.
Filtr pasmowo-przepustowy tłumi jednocześnie sygnały o
częstotliwościach niższych od fg. dolna oraz sygnały o częstotliwościach
wyższych od fg. górna. Przykładem takiego filtra może być kaskadowe połączenie
filtrów: górno i dolno przepustowego o odpowiednio dobranych
częstotliwościach granicznych. Przykład z identycznymi fg poniżej.
Zastosowanie filtrów
Filtry są stosowane do kształtowania charakterystyk
częstotliwościowych układów elektronicznych i do kształtowania
impulsów napięciowych.
Wybierania jednych i eliminowania innych sygnałów (zakłócających)
np. tunery to po prostu przestrajalne filtry pasmowe. W zasadzie każde
urządzenie elektroniczne zawiera filtry.
Filtry górno-przepustowe stosowane są często jako pojemnościowe
sprzężenie między układami elektronicznymi (np. wzmacniaczami)
celem zablokowania tzw. składowej stałej.
Sygnały w.cz. mogą nieoczekiwanie przeniknąć przez pojemności
wyłączników, albo zbliżonych do siebie przewodów powodując
wzajemne zakłócanie obwodów elektronicznych.
Warto pamiętać, że filtry typu RC lub RL wykazują raczej łagodne
stromości charakterystyk. Natomiast bardziej złożone filtry typu RLC
(zawierające obwody rezonansowe o dużej dobroci) mogą wykazywać
bardzo duże stromości na brzegach pasm!
Prosta zasada łączenia układów
mówi, że jeżeli układ A steruje układem B (B obciąża układ A) to warto zadbać
o to aby Rwy układu A < 0,1RWE układu B. Wtedy wpływ B – układu obciążenia na A –
układ sterujący będzie mało znaczący. A po obciążeniu go przez B działa z
zaburzeniem nie przekraczającym 10% (A wystawia na swoim wyjściu o 10%
napięcie niższe niż w przypadku braku obciążenia). W sytuacji gdy takie 10%we odchylenie możemy zaniedbać uzyskujemy prosty sposób na projektowanie
wielostopniowych układów. Po prostu każdy podukład (stopień) projektujemy i
obliczamy osobno, obliczenia wtedy są proste.
Łączenie pojedynczych filtrów w filtry wielostopniowe zmusza nas do
przypomnienia co wiemy o twierdzeniu Thewenina i o dzielniku napięcia:
Poprawianie stromości charakterystyki przez
zastosowanie filtrów wyższego rzędu.
Dla poprawienia efektu filtracji stosowane są bardziej
rozbudowane filtry, w tym filtry aktywne czy filtry
cyfrowe.
Filtry aktywne powstają poprzez zastosowanie układów
aktywnych (tranzystorów, wzmacniaczy operacyjnych
itp.) w obwodach filtrujących RLC. Elementy aktywne,
dzięki dużej impedancji wejściowej i efektowi
wzmacniania sygnału, pozwalają na budowanie filtrów
wielostopniowych o bardzo stromym przebiegu
charakterystyk na brzegach filtrowanych pasm.
Filtry cyfrowe to układy filtrujące i przetwarzające
sygnały dyskretne (cyfrowe).
Filtry cyfrowe są coraz częściej i szerzej stosowane w
wielu dziedzinach techniki bowiem każdy sygnał
analogowy (prosty jednowymiarowy jak i złożony
wielowymiarowy, fotografia, film itp.) można zamieniać
na sygnał cyfrowy odpowiednimi przetwornikami
analogowo-cyfrowymi.
(Skrót „DSP” oznacza: digital signal processing)
http://www.intersil.com/data/AN/an9603.pdf
FRED J. TAYLOR „DIGITAL FILTERS” Wiley 2012.
Aliasing
Jest to efekt
zbyt wolnego
próbkowania
sygnału i może
mieć miejsce przy
konwersji A/D.
Zgodnie z zasadą Nyquiata-Shannona próbkowanie musi być wykonywane z
częstotliwością większą niż podwojona maksymalna częstość w spektrum badanego
sygnału: fpr>2fmax. Mając zadaną szybkość próbkowania mówimy o połowie
częstotliwości próbkowania fpr/2 nazywanej częstotliwością Nyquista fN = fpr/2 jest ona
graniczną wartością dla badanych sygnałów. To znaczy sygnały o częstotliwości f syg
wyższej niż fN będą rozpoznawane błędnie jako sygnały o częstotliwości aliasu.
Częstotliwość aliasu fA = | najbliższa sygnałowi całkowita wielokrotność częstotliwości
próbkowania – częstotliwość sygnału |.
Przykładowo dla fpr = 100 Hz i fsyg = 520 Hz otrzymamy: falias= | 5⋅100 – 520 | Hz = |
-20 | Hz = 20 Hz (jest to wygenerowanie artefaktu – czegoś czego nie ma w badanym
sygnale!). Zatem każdy złożony sygnał zawierający składniki o częstotliwościach
wyższych niż fN dla danego przetwornika A/D będzie zapisany jako zniekształcony.
Wynika z tego, że powinniśmy próbkować maksymalnie szybko (często) ale wtedy
olbrzymia ilość próbek wymaga olbrzymiego zapasu pamięci.
Symulacja
w TINA
Rezonans
Obwody rezonansowe to szczególna grupa obwodów, które w
zasadzie możemy zaliczyć do filtrów. Zasługują one jednak na
odrębne potraktowanie co najmniej z dwu powodów:
1) Wykorzystywane są przy wymuszaniu oscylacji o ściśle
określonej częstotliwości fali nośnej stacji nadawczych
(emitujących fale elektromagnetyczne).
2) Jako przestrajane obwody rezonansowe wykorzystywane są w
odbiornikach radio, TV itp. do wybierania pożądanych sygnałów
(tj. pożądanych stacji nadawczych).
Przykładowa krzywa rezonansowa
pokazana jest na rys. obok.
Widać tu reakcję o dużej amplitudzie
tylko dla pewnego zakresu częstości
w otoczeniu częstotliwości
rezonansowej fr Dla sygnałów
o bardziej oddalonych częstościach
reakcja jest znikoma.
Rezonans szeregowo połączonych
elementów R, L i C.
Indukcyjność L i pojemność C są tu konieczne
natomiast rezystancja R zwykle pojawia się
jako oporność wewnętrzna źródła wymuszania i
jako rezystancja przewodu uzwojenia solenoidu
stanowiącego indukcyjność L. Czasem należy
uwzględnić nawet rezystancję połączeń
elementów ze sobą.
Zawadą (impedancją) szeregowego układu
rezonansowego RLC jest
Z = R + XL + XC = R + j(ωL – 1/ωC)
Rezonans wystąpi dla pulsacji ω = ω0, przy
której Z = R i (ω0L – 1/ω0C) = 0.
Dla rezonansu zawada Z = R ma najmniejszą
wartość co skutkuje największym prądem:
I = UT/(ZT + Z) ≈ UT/R – gdy ZT jest do
zaniedbania. Poza rezonansem, dla ω > ω0 lub
ω < ω0, moduł Z ma wartość większą co
zmniejsza prąd I a UC i UL mają różne moduły.
Czasem mówi się, że rezonans szeregowo
połączonych elementów R, L i C jest
rezonansem napięć.
Łatwo to zrozumieć gdy w rezonansie
Impedancje XL = XC >> R. Wówczas spadki
napięcia na Indukcyjności i pojemności są
wielokrotnie większe od napięcia
wymuszającego UT, a UR = UT.
Dla zadanych wartości L i C pulsacja
rezonansowa spełnia równość:
ω0L = 1/ω0C, ω0 = 1/√(LC) a wartość
częstotliwości rezonansowej wynosi:
Z czego wynika, że chcąc dostroić obwód
rezonansowy do częstotliwości
wybranego sygnału należy zmieniać wartość L
lub C, w praktyce zwykle zmieniamy
pojemność.
Rezonans równolegle połączonych
elementów R, L i C - rezonans prądów.
Dla zadanych wartości L i C pulsacja
rezonansowa spełnia równość
susceptancji (przewodności zespolonych)
BL i BC: 1/ω0L = ω0C,
ω0 = 1/√(LC) a wartość częstotliwości
rezonansowej wynosi:
Mamy tu rezonans prądów, gdyż przy
małym G = 1/R (dużym R) i jednocześnie
dużych BL i BC (czyli małych XL i XC) mamy
olbrzymi prąd w L i C wielokrotnie większy od
prądu wymuszenia, który płynie przez rezystor R.
Niestety w praktyce nie
możemy pomijać rezystancji
przewodów cewki stanowiącej
Indukcyjność i otrzymany tu
wzór na częstotliwość
rezonansową jest tylko
przybliżeniem.
Rzeczywisty równoległy obwód
rezonansowy.
Aby wyznaczyć frez szeregowy układ
XL i RL zastąpimy równoważnym mu
obwodem równoległym XLP i RP:
Dla tak przekształconego ale równoważnego układu mamy:
Zerowanie się części urojonej (rezonans) oznacza: XLp = XC
Chcąc zwiększać częstotliwość rezonansową (w obszar wielu GHz) musimy
zmniejszać L i C.
Zmniejszając L i C niemal
do granic możliwości
osiągamy tzw.
rezonatory wnękowe:
Filtry mikrofalowe
(tu zamiast zwoi i okładek mamy wnęki rezonansowe!)
Współczynnik dobroci Q, dobroć Q,
Q factor (quality factor)
Dobroć Q dotyczy tracenia energii przez układ, który może oscylować (elektryczny lub
elektroniczny obwód rezonansowy RLC, huśtawka, struna itp.)
i wyraża się stosunkiem posiadanej energii do względnej szybkości jej tracenia.
Dobroć układu decyduje o kształcie (ostrości) jego krzywej rezonansowej.
DEFINICJA
Po prostym
przekształceniu:
widzimy, że Q jest stosunkiem posiadanej energii do jej porcji traconej w ciągu
jednostkowej części cyklu (w rezonansie) jaką jest 1 radian!
Dla dowolnego układu elektrycznego to część rzeczywista R jego impedancji Z
jest tym czynnikiem, który odpowiada za straty (rozpraszanie) energii.
Współczynnik Q zależy oczywiście od budowy
elementów składowych.
Dla idealnych indukcyjności L i pojemności C przyjmujemy, że
gromadząc energię nie rozpraszają jej (dla rzeczywistych L i C
rozpraszanie energii nie jest zerowe ale może być małe a czasem
pomijalnie małe). Rozważmy układ równoległy RLC, którego admitancja
(przewodność zespolona) wyraża się przez:
Zatem dla obwodu równoległego
RLC (L i C idealne) jak na rysunku
mamy Q-faktor wyrażony przez:
Widać, że rezystancja
równolegle włączona
do równoległego układu
LC powinna być jak największa dla największego Q (najlepiej
ten rezystor usunąć). Opornik R tak włączony osłabia dobroć
Q. W praktyce jednak należy uwzględniać przynajmniej
nieidealność L czyli niezerową oporność drutu z jakiego
wykonana jest indukcyjność.
Wtedy obowiązuje schemat jak obok:
Dobroć Q jest również miarą ostrości krzywych
rezonansowych wyrażanej jako:
Dla sprawdzenia równoważności tego
wyrażenia na Q, przydatnego do analizy
filtrów RLC, z innymi wyrażeniami policzmy ωrez
i ∆ω3dB.
Niech np. UWY = UR to ku = |UR/URLC| i kumax = 1.
Dla ω3dB:
ku/kumax =
Zatem dla szeregowego układu RLC mamy cały szereg wyrażeń na Q!
Dodajmy, że w elektronice poza dobrocią układów rezonansowych można
mówić o dobroci innych układów czy elementów.
Przykładowo straty energii w cewkach lub kondensatorach można wyrażać
przy pomocy współczynnika dobroci Q.
Dobroć cewki zdefiniowana jest jako stosunek: ωL/R
Q = ωoL/R albo R = ωoL/Q
(gdzie L-indukcyjność cewki, R oporność cewki).
Traktując kondensator jako równoległe połączenie idealnej pojemności i
rezystancji R (reprezentującej straty dielektryczne) definiujemy dobroć
kondensatora jako stosunek prądów
Q = IC/IR = (U/XC)/(U/R) = R/XC= ωCR.
Wynika z tego, że układy o dużej dobroci to takie, które „marnotrawią” mało
energii na straty w rezystancjach przewodów cewki, ewentualnego rezystora R
oraz w materiale kondensatora.
Przykład 5.5. Układ równoległy RLC
jak na rysunku obok ma dobroć Q = 100.
W rezonansie natężenie prądu źródła
wynosi 1 A. Jaki prąd cyrkuluje wtedy w L i C?
Rozw.
Z definicji Q dla układu równolegle połączonych R L i C
mamy: Q = Yc/G = YL/G (są to stosunki modułów YC i G)
czyli YC/G = YL/G = 100 -> YC = YL=100G,
Napięcia na R L i C są tu identyczne i niech wynoszą jakieś U.
Z danych mamy, że IR = Iźródła = 1A = UG.
Prądy w L i C mają przeciwne fazy a w rezonansie ich moduły są
równe podobnie jak moduły ich konduktancji.
Zatem moduły prądów to: IC = UYC = U•100•G = 100•UG=
100•1 A =100 A.
Podobnie IL = 100 A.
To zwielokrotnienie prądu możemy nazywać przetężeniem,
podobnie jak w szeregowych układach RLC zwielokrotnienie
napięcia nazywamy przepięciem.
Filtry kwarcowe,
Rezonatory kwarcowe
Współczynniki dobroci Q
A.Pillonnet i inni,
Optics Express, Vol. 20, Issue 3,
pp. 3200-3208 (2012)
Frank Vollmer, thesis,
Rockefeller University
Inne zastosowania C i L
d – odległość między okładkami kondensatora,
w – szerokość okładek kondensatora,
h0 – wysokość ponad paliwem,
hpaliwa – głębokość zanurzenia w paliwie.
ε0 – przenikalność powietrza i par paliwa.
εpaliwa – przenikalność paliwa
Detektory ruchu i wibracji
Akcelerometry (częste zastosowanie pojemności)
MEMS (ang. Micro Electro-Mechanical Systems) czyli Mikrosystemy, są to
zintegrowane układy elektro-mechaniczne, u których co najmniej jeden
wymiar szczególny znajduje się w skali mikro (0,1 - 100 μm).
Akcelerometr piezoelektryczny
.
Przykładowe ekstra zastosowanie pojemności:
Trzy-osiowy akcelerometr: MMA7260Q, MMA7261QT,
LIS3L06AL i inne.
MMA7260Q
Pomiar różnicy pojemności daje sygnał
n.p. do odpalenia poduszki powietrznej.
LIS3L06AL
LIS3L06AL
Inne ekstra zastosowanie pojemności to czujniki pojemnościowe w
ekranach dotykowych.
Przykład.5.6. Narysuj wykres wskazowy dla układu równolegle połączonych L =
10mH i C = 50µF, zasilanych z generatora napięcia sinusoidalnego o pulsacji ω
= 1000 rad/s i amplitudzie 1V. Impedancja wewnętrzna generatora wynosi R we
= 1Ω. Powtórzyć obliczenia dla ω = 1414rad/s,
10rad/s i 10000rad/s.
Rozw. Zaczniemy od narysowania schematu układu:
Indukcyjność L = 10mH stanowi XL = jωL
=j1000·0,01 Ω = j10 Ω, YL=1/XL= -j0,1 S.
Pojemność: XC= -j/(ωC) = -j/(1000·5·10-5) Ω = -j20 Ω,
YC=1/XC = j0,05 S. YLC = YL + YC = -j0,1 +j0,05 = -j0,05 S, ZLC = 1/YLC = j20 Ω.
Źródło napięcia określone jest przez:
UT = cos(1000·t) V, RT = Rwe = 1Ω.
Wykres wskazowy to geometryczna ilustracja napięć i prądów w analizowanym
układzie.
Przed wykonaniem wykresu musimy obliczyć moduły poszczególnych prądów i
napięć oraz ich fazy względem fazy podanego napięcia zasilania, którego fazę
przyjmiemy możemy wybrać dowolnie. Niech UT = cos(1000·t + 0°), możemy
też zapisać: UT = 1∠0 V.
Policzmy prąd I, I = UT/Z = 1/(RT + ZLC) = 1/(1 + j20) = 1/[(12 + 202)0,5·ejarctg(20/1)] =
1/(20,025ej87°) ≅ 0,05e-j87° A dla chwili t = 0, a w pełni I = 0,05ej(1000t - 87°) A.
Mamy wskaz (wektor) prądu: I = 0,05∠-87°A przy wskazie napięcia UT =1∠0 V.
Ten sam prąd możemy oczywiście otrzymać bardziej okrężną drogą, np.:
I = UT/Z = 1/[1 + (XC·XL)/(XC + XL)] = 1/[1 +(jωL/j ωC)/(j ωL + 1/j ωC)] = 1/[1+(L/C)/(jωL – j/ ωC)]
= 1/[1 + (10-2/5·10-5)/(j10 – j/5·10-2)] = 1/[1 + 200/(j10 – j20)] = 1/[1+ 200/(-j10)] = 1/[1 + j20]
= 1/[(12 + 202)0,5·ejarctg(20/1)] = ≅ 0,05e-j87° A.
Mając prąd I, możemy policzyć UR oraz ULC stosując prawo Ohma:
UR ≅ I·R = 0,05∠-87° A · 1 Ω = 0,05∠-87° V
ULC ≅ I·ZLC = 0,05∠-87° A · j20 Ω = 0,05∠-87° A · 20∠90° Ω = 1∠3° V.
Mając ULC obliczamy IL oraz IC:
IL = UL·YL = ULC·YL ≅ 1∠3° V · -j0,1 S = 1∠3° V · 0,1∠-90° S = 0,1∠-87° A
IC = UC·YC = ULC·YC ≅ 1∠3° V · j0,05 S = 1∠3° V · 0,05∠90° S = 0,05∠93° A
b) Rozw. dla pulsacji ω =1414rad/s.
Indukcyjność L = 10mH stanowi XL = jωL
=j1414·0,01 Ω = j14,14 Ω, YL=1/XL= -j0,07 S.
XC= -j/(ωC) = -j/(1414·5·10-5) Ω = -j14,14 Ω,
YC=1/XC = j0,07 S. YLC = YL + YC = 0 więc mamy pulsację rezonansową.
ZLC = 1/YLC = ∞ Ω.
Wynika z tego, że ULC = UT, UR = 0,
IL = ULC·YL = UT ·( -j0,07 S) = 1∠0 ·0,07∠-90° = 0,07∠-90° A
.
IC = ULC·YC = UT ·(j0,07 S) = 1∠0 ·0,07∠90° = 0,07∠90° A
Komentarz: założenie, że równolegle połączone są
idealne L i C, czyli mamy połączenie bezstratnej
indukcyjność i pojemność, doprowadziło do rezultatu:
w stanie stacjonarnym mamy zerowy prąd
z zasilacza podczas gdy prąd w L i C
jest niezerowy. Daje to w efekcie nieskończony
stosunek IL/I = IC/I = 0,07/0, zwany przetężeniem.
Oczywiście w chwili włączenia zasilania, w czasie trwania stanu nieustalonego,
gdy gromadzona jest energia w układzie LC, trochę ładunku popłynie z
zasilania dając krótkotrwały prąd uruchomienia.
W obwodach rzeczywistych (nieidealnych) mamy pobór energii na pokrycie strat.
c) Rozw. dla pulsacji ω =10rad/s.
XL = jωL = j10·0,01 Ω = j0,1 Ω, YL=1/XL= -j10 S.
XC= -j/(ωC) = -j/(10·5·10-5) Ω = -j2000 Ω,
YC=1/XC = j0,0005 S. YLC = YL + YC ≅ -j10 S.
ZLC = 1/YLC ≅ j0,1 Ω. = 0,1∠90° Ω
I = UT/Z = 1/(RT + ZLC) = 1/(1 + j0,1) = 1/[(12 + 0,12)0,5·ejarctg(0,1)] = 1/(1,005ej5,7°) ≅
1e-j5,7° A = 1∠-5,7° A dla chwili t = 0, a w pełni I = 1ej(10t – 5,7°) A
Mamy więc wskaz prądu I: I = 1∠-5,7° A przy wskazie napięcia UT = 1∠0 V.
UR= I·R = 1∠-5,7° A · 1 Ω = 1∠-5,7° V,
ULC= IZLC = 1∠-5,7° A · 0,1∠90° Ω = 0,1∠84,3° V
IL = ULC·YL = 0,1∠84,3° V · ( -j10 S) = 0,1∠84,3° V · 10∠-90° S = 1∠-5,7° A
IC = ULC·YC = 0,1∠84,3° V · ( j0,0005 S) = 0,1∠84,3° V · 0,0005∠90° S
= 0,00005∠174,3° A,
c) Rozw. dla pulsacji ω =10000rad/s.
XL = jωL = j10000·0,01 Ω = j100 Ω,
YL=1/XL= -j0,01 S.
XC= -j/(ωC) = -j/(10000·5·10-5) Ω = -j2 Ω,
YC=1/XC = j0,5 S. YLC = YL + YC = j0,49 S.
ZLC = 1/YLC = -j2,04 Ω. = 2,04∠-90° Ω
I = UT/Z = 1/(RT + ZLC) = 1/(1 - j2,04)
= 1/[(12 + 2.042)0,5·ejarctg(-2,04)] =
1/(2,27e-j64°) ≅ 0,44ej64° A = 0,44∠64° A dla chwili t = 0,
I = 1ej(10000t+64°) A,
I = 0,44∠64° A przy UT = 1∠0 V.
UR= I·R = 0,44∠64° A · 1 Ω = 0,44∠64° V,
ULC= IZLC = 0,44∠64° A · 2,04∠-90° Ω ≅ 0,9∠-26° V
IL = ULC·YL = 0,9∠-26° V · ( -j0,01 S)
= 0,9∠-26° V · 0,01∠-90° S = 0,009∠-116° A
IC = ULC·YC = 0,9∠-26° V · ( j0,5 S)
= 0,9∠-26° V · 0,5∠90° S = 0,45∠64° A,
Wnioski.
Wyniki i wykresy wskazowe pokazały, że dla pulsacji rezonansowej
ULC= UT - napięcie na cewce i kondensatorze jest równe napięciu zasilania i
prąd z zasilania nie jest czerpany. UR = 0 - Brak spadku napięcia na rezystancji
Rwew. Natomiast przy oddalaniu częstotliwości wymuszania od wartości
rezonansowej pojawia się spadek napięcia U R i napięcie na L i C maleje.
Zmiany są jednak małe bo wartość rezystancji RT = 1 Ω (jedyna rezystancja,
szeregowo włączona między źródłem napięcia a obwodem równoległym LC)
jest mała. Prąd cyrkulujący w rezonansie w obwodzie LC też jest mały bo w
rezonansie impedancje XL = -XC = j14,14 Ω a amplituda napięcia to tylko 1 V.
Przykład nieskończenie długiej „drabiny” L/C jako linii transmisyjnej
Zbadamy co dzieje się w bardzo długim, załóżmy nieskończonym łańcuchu
(„drabinie”) złożonym z połączonych ze sobą tak jak pokazuje rysunek 7.19
elementów L i C pobudzanym wymuszeniami sinusoidalnymi.
Rys. 7.19. a) Schemat nieskończonej drabiny elementów LC i b) sugestia do wyliczenia
jej impedancji zastępczej Z0.
Chcąc wyliczyć impedancje takiej nieskończonej drabiny wykorzystamy tu proste
spostrzeżenie, że dodanie do nieskończonej drabiny LC jednego sektora LC tak jak na
rys. 7.19b nie zmienia wartości impedancji całości (przedłużenie nieskończonej drabiny
niczego nie zmienia). Zatem dla układu z rysunku 7.19b możemy napisać równość:
Podstawiając ZL = jωL oraz ZC = 1/jωC otrzymujemy:
Dostrzegamy że człon: jωL/2 w tym wyrażeniu to połowa pierwszej
indukcyjności L w naszej drabince. To oznacza, że impedancja całej reszty
patrząc od środka pierwszej indukcyjności w prawo może być wyrażona
przez:
Interesującym w tych rozwiązaniach jest to,
że dla niskich częstości ω < √(4/LC), czyli kiedy
ωL/2 = XL/2 < (L/C)1/2
w rozwiązaniu 7.22 pojawia się część rzeczywista, i 7.23 jest składową
rzeczywistą co oznacza pochłanianie energii przez nasz układ!
Powstaje pytanie jak drabina zbudowana z idealnych elementów o
czysto urojonych impedancjach wykazuje impedancję nie
urojoną?
Wyjaśnienie polega na tym, że drabina jest nieskończona i źródło
sygnału dostarcza energię do coraz bardziej oddalonych L i C
i proces ten trwa nieprzerwanie.
Oznacza to propagację fali i energii wzdłuż naszej linii elementów
LC. Gdy jednak częstość jest większa ω > √(4/LC) impedancja Z0
jest czysto urojoną wielkością, wówczas takiej propagacji energii
nie ma! Krytyczną wartość częstotliwości ω0 = √(4/LC), od której
począwszy propagacja energii znika nazywamy częstością
odcięcia.
Sprawdźmy teraz jak szybko słabnie napięcie wzdłuż naszej drabinki dla ω >
√(4/LC). W tym celu porównamy dwa napięcia na dwu kolejnych
pojemnościach naszej drabiny przedstawionej ponownie na rysunku 7.20.
Rys. 7.20.
Aby otrzymać stosunek kolejnych napięć: Un+1/Un napiszmy wyrażenie na różnicę tych
napięć i przekształćmy:
Un – Un+1 = In jωL
Un – Un+1 = (Un/Z0)jωL
Un+1/Un = 1 - jωL/Z0
Jest to współczynnik propagacji α, który jak widać jest mniejszy od 1 i ze
wzrostem ω szybko maleje do zera (bo ze wzrostem ω rośnie jωL i Z0).
Uwzględniając wyrażenie 7.22 otrzymujemy:
Gdy częstotliwość sinusoidalnego wymuszenia ω jest niska, mniejsza od
wartości odcięcia: ω < ω0 = √(4/LC) to pierwiastki są rzeczywiste i moduł
licznika jest taki sam jak moduł mianownika (licznik to jak widać sprężenie
mianownika). Moduł tego ilorazu będącego współczynnikiem propagacji jest
równy 1! Oznacza to, że napięcie nie maleje wzdłuż naszej drabiny a
współczynnik propagacji możemy zapisać:
Gdy częstotliwość sinusoidalnego wymuszenia ω będzie wysoka,
wyższa od wartości odcięcia: ω > ω0 = √(4/LC) to pierwiastki są
urojone. Wyciągając „j” czyli √-1 z obu pierwiastków a następnie
uproszczając (dzieląc licznik i mianownik przez j) otrzymamy:
Widać, że współczynnik propagacji α teraz jest ułamkiem rzeczywistym i
mniejszym od 1, co oznacza obniżanie się napięcia z każdym kolejnym
elementem drabinki. Zależność modułu współczynnika propagacji α od ω
ilustruje wykres:
Cienką linią zaznaczono
efekt działania kilku ogniw.
Analizując wykres dostrzegamy, że
nasza drabina L-C zachowuje się jak filtr,
który propaguje sygnały o niskich
częstotliwościach a blokuje sygnały
o wyższych wartościach ω.
W praktyce nie zbudujemy
nieskończonej drabiny LC, możemy natomiast po połączeniu kilku
stopni zakończyć konstrukcje rezystorem o odpowiednio dobranej
rezystancji R np. R = √(L/C). Tak powstały układ będzie działał w
sposób bardzo zbliżony do powyżej opisanego.
Gdy w naszej drabinie zamienimy miejscami między sobą
pojemności z indukcyjnościami to jednocześnie w naszych
powyższych formułach na impedancje wszędzie zostaną
zamienione miejscami „jω” z „1/jω” a tym samym pojawi się dobra
propagacja sygnałów o wyższych częstotliwościach i blokowanie
pozostałych czyli tzw. filtr górno-przepustowy.
W bieżącym paragrafie skupimy się jeszcze na pewnym
podobieństwie naszej drabinki do kabla dwużyłowego lub kabla
koncentrycznego lub jeszcze innej linii transmisyjnej. Każdy
dowolnie mały odcinek ∆l takiego kabla możemy postrzegać jako
jednostkę drabinki ∆L z ∆C. ∆L i ∆C są proporcjonalne do
długości odcinka kabla ∆l. Gdy w tym kablu mamy prąd to
indukowane jest pole magnetyczne pochodzące od każdego
kawałka kabla zatem istnieje tu indukcyjność ∆L proporcjonalna
do ∆l. Gdy w tym kablu umieszczamy ładunek elektryczny to dla
danego napięcia ilość ładunku potrzebna do naładowania jest też
proporcjonalna do ∆l zatem mamy też pojemność ∆C
proporcjonalną do ∆l. Wynika z powyższego, że stosunek ∆L/∆C
jest stały – niezależny od długości kabla.
Gdy nasz kabel podzielimy (do obliczeń) na nieskończenie krótkie
odcinki to przy zmierzaniu z ∆l do zera ∆L i ∆C też maleją do zera
natomiast impedancja wyrażona przez 7.22:
gdy ∆l maleje do zera to również ∆L i ∆C maleją do zera jedynie stosunek
∆L/∆C = L/C jest stały i powstaje ciągły kabel, staje się:
To wyrażenie możemy ostatecznie zapisać w postaci:
gdzie L0 i C0 to indukcyjność i pojemność kabla o jednostkowej długości.
Zauważmy dodatkowo, że dla idealnej linii transmisyjnej (o zerowej rezystancji
R) częstotliwość odcięcia ω0 = √(4/∆L∆C) jest nieskończona, brak
częstotliwości odcięcia – transmitowane są wszystkie sygnały (pod warunkiem,
że przestrzeń, w której znajduje się linia transmisyjna jest wypełniona próżnią a
nie materiałem reagującym na prowadzony sygnał).
E-E-M. Lista-05
1*. Narysuj wykres wskazowy dla układu równolegle połączonych L = 10mH i C
= 50µF, zasilanych z generatora napięcia sinusoidalnego o pulsacji ω = 1000
rad/s i amplitudzie 1V. Impedancja wewnętrzna generatora wynosi R wew = 1Ω.
Powtórzyć obliczenia dla ω = 1414rad/s, 10rad/s i 10000rad/s.
2. Na zaciski układu RC podano sygnał
o złożonym (prostokątnym) przebiegu.
Naszkicuj przebiegi napięć UR i UC.
3. Szeregowy obwód rezonansowy zawiera: R = 1Ω, L = 1mH, C = 1µF. Oblicz
dobroć układu i stosunki: UR/UWe, UC/UWe i UL/UWe w rezonansie (UWe - napięcie
zasilające o częstotliwości rezonansowej).
4. Wylicz częstotliwości
graniczne i określ pasma
przenoszenia układów:
5. Zaprojektuj filtr pasmowy dla pasma 1 kHz-10kHz wykorzystując prostą
zasadę ułatwiającą obliczenia: Zwy/Zwe ≤1/10 (strona 30).
*rozwiązanie w tekście.
Ze względu na optymalizację charakterystyki
amplitudowej można wyróżnić filtry aktywne:
● Butterwortha – płaska ch-ka w paśmie
przenoszenia i strome zbocza.
● Bessela – liniowa ch-ka fazowa w paśmie
przepustowym, ch-ka amplitudowa ma mniej
ostre załamania, optymalna odpowiedź
impulsowa
● Czebyszewa – najbardziej strome załamania
charakterystyki, duże oscylacje po stronie pasma
przenoszenia.
● Eliptyczne (Cauera)
Nachylenie charakterystyki wynika z tego jakiego
rzędu jest dany filtr.
Filtr I rzędu posiada nachylenie charakterystyki 6 dB/okt lub 20 dB/dek.
Nachylenie określa rząd filtru pomnożony przez 6 dB/okt.
Przykładowo: filtr 2-rzedu posiada nachylenie 12 dB/okt , filtr 3-rzędu 18dB/okt,
itd.