Wst¦p do logiki i teorii mnogo±ci Kartkówka 5., grupa A.
Transkrypt
Wst¦p do logiki i teorii mnogo±ci Kartkówka 5., grupa A.
Wst¦p do logiki i teorii mnogo±ci Kartkówka 5., grupa A. 17.01.2017 Imi¦ i nazwisko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadanie 1. Wyka», »e relacja ∼ okre±lona na zbiorze liczb caªkowitych Z jako x ∼ y ⇔ 5|x + 4y jest relacj¡ równowa»no±ci. Sprawdzamy, czy relacja ∼ jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. ∀x ∈ Z 5|5x, czyli ∀x ∈ Z x ∼ x. Zatem ∼ jest zwrotna. Je±li x ∼ y , to 5|x + 4y , a zatem 5|5x + 5y − (x + 4y), wi¦c 5|y + 4x, czyli y ∼ x. Zatem ∼ jest symetryczna. Je±li x ∼ y i y ∼ z , to 5|x + 4y i 5|y + 4z , a zatem 5|x + 4y + y + 4z , wi¦c 5|x + 4z , czyli x ∼ z . Zatem ∼ Rozwi¡zanie. 1. 2. 3. jest przechodnia. Zadanie 2. Narysuj diagram Hassego relacji podzielno±ci na zbiorze {2, 3, 4, 6, 8, 12}. Wska» elementy maksymalne i najwi¦ksze w tym porz¡dku. Rozwi¡zanie. Elementy maksymalne to 8 i 12 (nie istnieje w podanym zbiorze liczba b¦d¡ca wielokrotno±ci¡ 8 lub 12). Nie istnieje element najwi¦kszy (nie istnieje w podanym zbiorze liczba, która byªaby wielokrotno±ci¡ ka»dej liczby w zbiorze). Zadanie 3. Na zbiorze R\ {0} okre±lamy relacj¦ równowa»no±ci ≈ a≈b⇔a·b>0 Opisz klasy abstrakcji tej relacji równowa»no±ci. Z ilu elementów skªada si¦ przestrze« ilorazowa Rozwi¡zanie. Zauwa»my, »e je±li x, y > 0, to x·y >0 oraz je±li x, y < 0, to x · y > 0. Zatem jedn¡ klas¦ abstrakcji tworz¡ liczby dodatnie, jest to klasa abstrakcji np. jedynki: [1]≈ = (0, ∞) . Drug¡ klas¦ abstrakcji tworz¡ liczby ujemne, jest to klasa abstrakcji np. minus jedynki: [−1]≈ = (−∞, 0) . Zatem przestrze« ilorazowa ma dwa elementy: (R\ {0}) / ≈= [1]≈ , [−1]≈ = {(0, ∞) , (−∞, 0)} (R\ {0}) / ≈? Wst¦p do logiki i teorii mnogo±ci Kartkówka 5., grupa B. 17.01.2017 Imi¦ i nazwisko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadanie 1. Wyka», »e relacja ∼ okre±lona na zbiorze liczb caªkowitych Z jako x ∼ y ⇔ 5|3x + 2y jest relacj¡ równowa»no±ci. Sprawdzamy, czy relacja ∼ jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. ∀x ∈ Z 5|5x, czyli ∀x ∈ Z x ∼ x. Zatem ∼ jest zwrotna. Je±li x ∼ y , to 5|3x + 2y , a zatem 5|5x + 5y − (3x + 2y), wi¦c 5|3y + 2x, czyli y ∼ x. Zatem ∼ jest symetryczna. Je±li x ∼ y i y ∼ z , to 5|3x + 2y i 5|3y + 2z , a zatem 5|3x + 2y + 3y + 2z , wi¦c 5|3x + 2z , czyli x ∼ z . Zatem ∼ Rozwi¡zanie. 1. 2. 3. jest przechodnia. Zadanie 2. Narysuj diagram Hassego relacji podzielno±ci na zbiorze {2, 4, 5, 8, 10, 20}. Wska» elementy minimalne i najmniejsze w tym porz¡dku. Rozwi¡zanie. Elementy minimalne to 2 i 5 (nie istnieje w podanym zbiorze liczba b¦d¡ca dzielnikiem wªa±ciwym 2 lub 5). Nie istnieje element najmniejszy (nie istnieje w podanym zbiorze liczba, która byªaby dzielnikiem ka»dej liczby w zbiorze). Zadanie 3. Na zbiorze Z\ {0} okre±lamy relacj¦ równowa»no±ci ≈ a≈b⇔a·b>0 Opisz klasy abstrakcji tej relacji równowa»no±ci. Z ilu elementów skªada si¦ przestrze« ilorazowa Rozwi¡zanie. Zauwa»my, »e je±li x, y > 0, to x·y >0 oraz je±li x, y < 0, to x · y > 0. Zatem jedn¡ klas¦ abstrakcji tworz¡ liczby dodatnie, jest to klasa abstrakcji np. jedynki: [1]≈ = {1, 2, 3, ...} = Z+ . Drug¡ klas¦ abstrakcji tworz¡ liczby ujemne, jest to klasa abstrakcji np. minus jedynki: [−1]≈ = {−1, −2, −3, ...} = Z− . Zatem przestrze« ilorazowa ma dwa elementy: (Z\ {0}) / ≈= [1]≈ , [−1]≈ = {Z+ , Z− } (Z\ {0}) / ≈?