Przestrzenie i przekształcenia liniowe - proste fakty i ich

Przestrzenie i przekształcenia liniowe - proste fakty i ich zastosowanie
Dla większej przejrzystości poniższych opisów wprowadźmy następujące oznaczenia:
• LB - przestrzeń rozpięta na elementach zbioru B (przestrzeń generowana przez zbiór B)
• BV - zbiór wszystkich możliwych baz przestrzeni liniowej V
BV = {B : LB = V ∧ ¬∃v∈B v ∈ LB \ {v}}
• Im ϕ - obraz przekształcenia ϕ : V → W
Im ϕ = {w ∈ W : ∃v∈V ϕ(v) = w}
Ponadto wszystkie rozważania dotyczą przestrzeni liniowych skończenie wymiarowych nad ciałem
(K, +, ·).
Fakt 1 (Przemysława) Jeżeli zbiór B jest bazą przestrzeni V , elementy zbioru A są liniowo niezależne i istnieją ich kombinacje liniowe dające elementy zbioru B, to A też jest bazą przestrzeni
V.
B ∈ BV ∧ ¬∃v∈A v ∈ LA \ {v} ∧ ∀v∈B v ∈ LA ⇒ A ∈ BV
Dowód
((((B ∈ BV ⇒ LB = V ) ∧ ∀v∈B v ∈ LA) ⇒ LA = V ) ∧ ¬∃v∈A v ∈ LA \ {v}) ⇒ A ∈ BV
Wniosek
Z założeń powyższego faktu wynika więc równość mocy zbiorów A i B (|A| = dim V = |B|).
Fakt 2 (Przemysława) Jeżeli zbiór B jest bazą przestrzeni V , moc zbioru A jest równa mocy
zbioru B i istnieją kombinacje liniowe elementów z A równe elementom zbioru B, to A też jest bazą
przestrzeni V .
B ∈ BV ∧ |A| = |B| ∧ ∀v∈B v ∈ LA ⇒ A ∈ BV
Dowód
(((B ∈ BV ⇒ LB = V ) ∧ ∀v∈B v ∈ LA) ⇒ LA = V
B z definicji jest maksymalnym liniowo niezależnym układem elementów z V, a skoro |A| = |B| =
dim V i LA = V , jest nim także A. W przeciwnym wypadku elementy A nie byłyby liniowo zależne, tzn. istniałby przynajmniej jeden, będący kombinacją liniową pozostałych i otrzymalibyśmy
sprzeczność: |B| > dim V . Tak więc
A ∈ BV
Wniosek
Z założeń powyższego faktu wynika więc liniowa niezależność elementów zbioru A (¬∃v∈B v ∈ LB \ {v}).
Fakt 3 (Przemysława skumulowany) Jeżeli zbiór B jest bazą przestrzeni V i istnieją kombinacje
liniowe elementów z A równe elementom zbioru B, to następujące sformułowania są równoważne:
(I) A jest bazą przestrzeni V , (II) moc zbioru A jest równa mocy zbioru B, (III) elementy zbioru A
są liniowo niezależne.
A ∈ BV
⇔
|A| = |B|
⇔
¬∃v∈A v ∈ LA \ {v}
Fakt 4 (Łukasza-Piotra) Jeżeli zbiór B jest bazą przestrzeni V , to obraz zbioru B w przekształceniu liniowym ϕ : V → W po usunięciu elementów bedących kombinacjami liniowymi pozostałych
(niekoniecznie musi być to wykonalne w sposób jednoznaczny, aczkolwiek liczba usuwanych elementów dla danych B, V, ϕ jest niezmiennikiem), jest bazą obrazu przekształcenia ϕ.
B ∈ BV ⇒ {A : A ⊂ ϕ(B) ∧ LA = Im ϕ ∧ ¬∃v∈A v ∈ LA \ {v}} ⊂ BIm ϕ
Dowód
Niech B = {v1 , . . . , vk }, a więc ϕ(B) = {ϕ(v1 ), . . . , ϕ(vk )}. B ∈ BV ⇒ LB = V , co jest równoważne
∀v∈V ∃a1 ,...,ak ∈K v = a1 v1 + . . . + ak vk ⇒ ∀v∈V ∃a1 ,...,ak ∈K ϕ(v) = a1 ϕ(v1 ) + . . . + ak ϕ(vk )
Z definicji Im ϕ mamy, że ∀w∈Im ϕ ∃v∈V ϕ(v) = w, a więc w szczególności
∀w∈Im ϕ ∃a1 ,...,ak ∈K w = a1 ϕ(v1 ) + . . . + ak ϕ(vk ) ⇔ L{ϕ(v1 ), . . . , ϕ(vk )} = Im ϕ ⇔ Lϕ(B) = Im ϕ
Jeżeli teraz ze zbioru ϕ(B) usuniemy te elementy, które są kombinacją liniową pozostałych, tzn.
weźmiemy dowolny podzbiór ϕ(B) liniowo niezależnych elementów, generujących tą samą przestrzeń
co ϕ(B), czyli Im ϕ, otrzymamy bazę.
{A : A ⊂ ϕ(B) ∧ LA = Im ϕ ∧ ¬∃v∈A v ∈ LA \ {v}} ⊂ BIm ϕ
Uwaga
Jeżeli homomorfizm (przekształcenie liniowe) ϕ : V → W jest epimorfizmem (surjekcją, czyli „na”)
to Im ϕ = W , a więc BW = BIm ϕ , czyli znalezione bazy Im ϕ są jednocześnie bazami przestrzeni W .
Przykłady
• Czy układ wielomianów B = { 31 x2 + 5x, −x3 , 2x + 1, 5x} stanowi bazę przestrzeni R[x]3 ?
Najprostsza baza R[x]3 to {1, x, x2 , x3 }, a więc dim R[x]3 = 4 = |B|. Oznaczmy kolejne wielomiany z B przez f1 , f2 , f3 , f4 . Zauważmy iż:
1 = f3 − 52 f4 , x = 21 (f3 − (f3 − 52 f4 )), x2 = 3(f1 − f4 ), x3 = −f2
Z faktu 2 otrzymujemy, że B jest bazą przestrzeni R[x]3 .
• ϕ((x, y, z)) = (x + 2y + 3z, −4x + 5y − 4z, 2x + 3y − 4z, x + z). Znaleźć jądro, obraz i r(ϕ).
{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} jest bazą R3 . Na mocy faktu 4, możemy napisać, że
Im ϕ = L{ϕ((1, 0, 0)), ϕ((0, 1, 0)), ϕ((0, 0, 1))} = L{(1, −4, 2, 1), (2, 5, 3, 0), (3, −4, −4, 1)}
Teraz jeżeli te wektory są liniowo niezależne, mamy odrazu bazę Im ϕ, a więc i r(ϕ) równe
liczbie jej elementów. Łatwo sprawdzić, że tak jest ⇒ r(ϕ) = 3 ⇒ Ker ϕ = (0, 0, 0, 0).