1) ccE = )( , 0)

Zmienne losowe i ich rozkłady c.d.
Własności wartości oczekiwanej i wariancji:
1) E (c) = c , Var (c) = 0 , gdzie c jest stałą,
2) E (c ⋅ X ) = c ⋅ E ( X ) , Var (c ⋅ X ) = c 2 ⋅ Var ( X ) ,
3) E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y ) ,
4) Var ( X + c) = Var ( X ) ,
Ponadto, jeśli zmienne X i Y są niezależne, to:
5) E ( X ⋅ Y ) = E ( X ) ⋅ E (Y ) ,
6) Var ( X ± Y ) = Var ( X ) + Var (Y ) .
Def. Zmienną losową X, dla której EX = 0 oraz Var ( X ) = 1 nazywamy zmienną losową
standaryzowaną.
Podstawowe rozkłady prawdopodobieństwa
1) Rozkłady zmiennych dyskretnych:
a) Rozkład zerojedynkowy
Zmienna losowa X ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p, jeśli przyjmuje tylko dwie
wartości:
•
1; z prawdopodobieństwem p,
•
0; z prawdopodobieństwem 1–p.
Parametry rozkładu zerojedynkowego:
•
EX = p ,
•
Var ( X ) = p ⋅ (1 − p ) .
b) Rozkład dwumianowy (Bernoullego)
Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n oraz p, jeśli przyjmuje wartości
k = 0,1, 2, ... , n z prawdopodobieństwami danymi wzorami:
 n
pk = P( X = k ) =   ⋅ p k ⋅ (1 − p) n −k , dla k = 0,1, 2, ... , n .
k 
Parametry rozkładu dwumianowego:
•
EX = np ,
•
Var ( X ) = np (1 − p ) .
c) Rozkład Poissona
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0 , jeśli przyjmuje wartości
k = 0,1, 2, ... , z prawdopodobieństwami danymi wzorami:
pk = P ( X = k ) =
λk
k!
⋅ e − λ , dla k = 0,1, 2, ... .
Parametry rozkładu Poissona:
•
EX = λ ,
•
Var ( X ) = λ .
2) Rozkłady zmiennych ciągłych:
a) Rozkład jednostajny
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale (a, b) , jeśli jej gęstość f ma postać:
 1

; dla x ∈ (a, b)
f ( x) =  b − a
 0 ; dla x ∉ (a, b)
Parametry rozkładu jednostajnego:
b+a
,
2
•
EX =
•
Var ( X ) =
(b − a ) 2
.
12
b) Rozkład normalny (Gaussa)
Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami m oraz σ > 0 (ozn. N (m, σ 2 ) ), jeśli
jej gęstość f ma postać:
−
1
f ( x) =
⋅e
σ 2π
( x −m )2
2σ 2
, x∈R.
Parametry rozkładu normalnego:
•
EX = m ,
•
Var ( X ) = σ 2 .
Wniosek. Funkcja gęstości rozkładu normalnego standaryzowanego N (0,1) ma postać:
2
x
−
1
f ( x) =
⋅e 2 , x∈ R .
2π
Rys. Funkcja gęstości rozkładu normalnego dla różnych wartości parametrów m oraz σ .