Teoria Inflacji - E-SGH

Ekonometria
Wykład 7 – Modele nieliniowe, funkcja
produkcji
Dr Michał Gradzewicz
Katedra Ekonomii I
KAE
Plan wykładu
•
(Nie)liniowość modeli ekonomerycznych
–
–
–
–
–
•
Liniowość modeli ekonometrycznych
Efekty krańcowe
Elastyczności
Przykłady modeli linearyzowanych i nieliniowych
Nieliniowa MNK
Funkcja produkcji
–
–
–
–
–
Definicja
Własności
Substytucyjność czynników
Funkcja produkcji Cobba-Douglasa
Inne funkcje produkcji
Liniowość modeli ekonometrycznych
•
Dla ekonometryka (ze względu na fakt, że estymowane są parametry, warunkowo
względem danych) ważna jest liniowość względem parametrów, a nie względem
zmiennych – zapewnia ona możliwość estymacji „zwykłą” MNK i uzyskania
estymatora o pożądanych własnościach (tw. Gaussa-Markowa)
– Przykład modelu liniowego względem parametrów:
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥1 𝑥22 + 𝛽2 ln 𝑥3 + ϵ
– Przykład modelu liniowego względem zmiennych :
1
𝑦 = 𝛽0 +
𝑥1 + 𝛽32 𝑥2 + 𝜉
𝛽1 + 𝛽2
– Pierwszy model jest liniowy względem parametrów, drugi – nieliniowy względem
parametrów
•
•
•
Model ściśle liniowy: 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥1 + 𝛽2 𝑥2 + 𝜂
Ogólna postać modelu liniowego względem parametrów (𝒙 – wektor zmiennych):
𝑔 𝑦 = 𝛽1 𝑓1 𝒙 + 𝛽2 𝑓2 𝒙 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑓𝑘 𝒙 + ϵ
Jeśli 𝑔 𝑦 = 𝑦, to model jest bezpośrednio liniowy, w przeciwnym przypadku jest
to model linearyzowany (w modelu linearyzowanym musi istnieć 𝑔−1 (𝑦), czyli
𝑔(𝑦) musi być różnowartościowa
𝑏
𝑋
– Przykład modelu linearyzowanego: log 𝑦 = log 𝑎 + + 𝜖 (ponieważ
1
𝑋
𝑔 𝑦 = log 𝑦 , 𝛽1 = log 𝑎 , 𝛽2 = 𝑏, 𝑓1 𝒙 = 1, 𝑓2 𝒙 = ) – jest to zlogarytmizowana
𝑏
wersja modelu wykładniczo-hiperbolicznego: 𝑦 = 𝑎𝑒 𝑋 𝜉
Popularne formy nieliniowości, czyli transformacji danych
•
Do często stosowanych transformacji danych należą:
– Logarytmy zmiennych
•
•
•
•
zamieniają charakter zależności z multiplikatywnej na addytywną (log 𝑎𝑏 = log 𝑎 + log 𝑏 )
Zmniejszają zakres wartości zmiennej
Mogą ograniczać wpływ heterogeniczności
Redukują wpływ obserwacji nietypowych
– Kwadraty zmiennych, często używane, aby odzwierciedlić zmienne efekty krańcowe
– Iloczyny zmiennych, reprezentujące interakcje pomiędzy zmiennymi oraz zmienne
efekty krańcowe
•
Transformacje danych są często podyktowane przekonaniem badacza (np.
mającym swoje źródło w odpowiedniej teorii) o specyficznej formie efektów
krańcowych…
Efekty krańcowe
•
W modelu liniowym:
𝜕𝑦 Δ𝑦
≈
𝜕𝑥𝑖 Δ𝑥
parametr przy danej zmiennej mierzy efekt krańcowy, czyli informuje o skali przyrostu
𝑦 w reakcji na jednostkowy przyrost 𝑥, ceteris paribus; efekt ten jest stały i niezależny
od poziomu 𝒙𝒊
• Zarówno w klasie modeli liniowych i nieliniowych względem parametrów efekt
𝛽𝑖 =
𝜕𝑦
krańcowy 𝜕𝑥 może być funkcją innych zmiennych
𝑖
•
Czasami wiemy jaka postacią powinny charakteryzować się efekty krańcowe, co
implikuje wybór określonej postaci funkcyjnej badanej zależności, np.
– Jeśli
𝜕𝑦
𝜕𝑥𝑖
= 𝛽𝑖 𝑥𝑖 , to odpowiedni fragment równania ma postać kwadratową: 𝛽𝑖 𝑥𝑖2
– Przykład: 𝑤 = 20 + 0.9𝑎𝑔𝑒 − 0.025𝑎𝑔𝑒 2 , wtedy
– Jeśli
𝜕𝑦
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑤
𝜕𝑎𝑔𝑒
= 0.9 − 0.05𝑎𝑔𝑒
= 𝛽𝑖 𝑥𝑗 , to odpowiedni fragment równania ma postać kwadratową: 𝛽𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑗 , ale
wtedy jednocześnie
𝜕𝑦
𝜕𝑥𝑗
= 𝛽𝑖 𝑥𝑖
– Przykład: 𝑐 = 4.55 + 0.2𝑦 + 0.06𝑒𝑑𝑢 + 0.01𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 + 0.03𝑒𝑑𝑢 × 𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟
Elastyczności cząstkowe
•
Elastyczność cząstkowa 𝑦 względem 𝑥𝑖 to również miara wrażliwości 𝑦 na zmiany
𝑥𝑖 , ale w ujęciu względnym (procentowym) – informuje o ile zmieni się
procentowo 𝑦 jeśli 𝑥𝑖 wzrośnie o 1%
𝐸𝑙 𝑦 𝑥𝑖
•
𝜕𝑦
Δ𝑦
𝜕𝑦 𝑥𝑖
Δ𝑦 𝑥𝑖
𝑦
𝑦
=
=
≈
=
Δ𝑥 Δ𝑥 𝑦
𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝑦
𝑥
𝑥𝑖
𝑥
W modelu liniowym elastyczność 𝐸𝑙 𝑦 𝑥𝑖 = 𝛽𝑖 𝑦𝑖, czyli jest funkcją poziomów
zmiennych i jest różna dla każdej obserwacji (często, aby otrzymać jedną wartość,
𝑥
średnią w próbie, oblicza się 𝛽𝑖 𝑦𝑖
•
Jaką interpretację ma 𝛽 w modelu log 𝑦 = 𝛽 log 𝑥?
𝜕 log 𝑦(𝑥)
log 𝑦
𝜕 log 𝑦
𝜕𝑥
𝛽=
=
=
𝜕 log 𝑥
𝜕 log 𝑥
log 𝑥
𝜕𝑥
•
1 𝜕𝑦
𝜕𝑥 = 𝑦 𝜕𝑥 = 𝜕𝑦 𝑥 = 𝐸𝑙(𝑦|𝑥)
1
′ 𝜕𝑥
× 1 𝜕𝑥 𝑦
𝑥
𝜕𝑥
′ 𝜕𝑦
Czyli jest to elastyczność 𝑦 względem 𝑥, stała niezależna od punktu w danych,
odpowiadająca modelowi potęgowemu: 𝑦 = 𝑥 𝛽 (ponieważ jest to tożsame z:
ln 𝑦 = 𝛽 ln 𝑥)
Przykłady modeli z logarytmami
•
Krzywa Engla:
𝑦 = 𝛼 + 𝛽 log 𝑥
– Wtedy 𝛽 =
•
𝜕𝑦
𝜕 log 𝑥
=
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕 log 𝑥
𝜕𝑥
=
𝜕𝑦
𝜕𝑥
1 𝜕𝑥
⋅
𝑥 𝜕𝑥
=𝑥
𝜕𝑦
,
𝜕𝑥
zatem: 𝐸𝑙 𝑦 𝑥 =
𝜕𝑦 𝑥
𝜕𝑥 𝑦
=
𝛽
𝑦
– Czyli elastyczność 𝑦 względem 𝑥 maleje wraz z poziomem 𝑦. Engel użył tych krzywych
do badania elastyczności spożycia danej kategorii (𝑦) dóbr względem dochodu (𝑥) i
zgodnie z tą specyfikacją elastyczność dochodowa spożycia jest dodatnia, ale maleje
wraz ze wzrostem poziomu spożycia
Stopy wzrostu
– Wykładniczy model trendu:
𝑦 = 𝛼𝑒 𝛽𝑡+𝜖
– Można przedstawić jako: log 𝑦 = log 𝛼 + 𝛽𝑡 + 𝜖
– Czyli wzrost 𝑡 o jednostkę (upływ jednego okresu czasu) powoduje wzrost log 𝑦
dokładnie o 𝛽
– A wzrost log 𝑦, czyli Δ log 𝑦 to w przybliżeniu stopa wzrostu 𝑦 (dla małych przyrostów)
– Czyli 𝛽 ≈
𝑦𝑡
𝑦𝑦−1
− 1. Dlaczego?
𝑦𝑡
),
𝑦𝑡−1
– 𝛽 = Δ log 𝑦𝑡 = log 𝑦𝑡 − log 𝑦𝑡−1 = log(
zatem
𝑦𝑡
𝑦𝑡−1
= 𝑒𝛽
– Z rozwinięcia Taylora 𝑒 𝛽 ≈ 1 + 𝛽, zatem podsumowując 𝛽 ≈
– Ogólnie: Δ log 𝑥 ≈
Δ𝑥
𝑥
𝑦𝑡
𝑦𝑡−1
−1
Przykłady modeli linearyzowanych i charakter składnika
losowego
•
Model potęgowy:
𝛽 𝛾
𝑦 = 𝛼𝑥1 𝑥2 𝑒 𝜖
po zlogarytmowaniu jest jednoznaczny z modelem:
log 𝑦 = log 𝛼 + 𝛽 log 𝑥1 + 𝛾 log 𝑥2 + 𝜖
•
Model wykładniczy (opisujący wykładniczy wzrost 𝑦 względem 𝑥):
𝑦 = 𝑒 𝛼+𝛽𝑥+𝜖
Jest tożsamy z:
log 𝑦 = 𝛼 + 𝛽𝑥 + 𝜖
•
Przy przekształceniach modelu należy pamiętać, ze podlega nim również składnik
losowy i jego charakter (addytywny lub multiplikatywny) ma znacznie:
– Przykładowo model 𝑦 = 𝑒 𝛽𝑥 + 𝜖 jest modelem ściśle nieliniowym
– Z kolei model 𝑦 = 𝑒 𝛽𝑥 𝜖 jest modelem linearyzowanym (log 𝑦 = 𝛽𝑥 + log 𝜖), ale jeśli
log 𝜖 ma mieć rozkład normalny, to 𝜖 powinna mieć rozkład log-normalny
– Czasami, ze względu na wiedzę a priori odnośnie składnika losowego, model nie może
zostać zlinearyzowany i powinien być estymowany metodami nieliniowymi
Przykład modelu ściśle nieliniowego – funkcja logistyczna
•
Funkcja logistyczna jest postaci:
𝛼
+ 𝜖𝑡
1 + 𝛽𝑒 −𝛾𝑡
gdzie 𝛼 > 0, 𝛽 > 1, 𝛾 > 0 i ma bardzo ciekawe własności:
𝑦𝑡 =
–
lim 𝑦𝑡 = 𝛼 i jest to tzw. poziom nasycenia zmiennej 𝑦
𝑡→∞
– Dla 𝑡 = 0, 𝑦0 =
𝛼
1+𝛽
𝛾
– Jest ona rozwiązaniem równania różniczkowego: 𝑑𝑦 = 𝑦(𝛼 − 𝑦), w którym na zmiany
𝛼
𝑦 działają dwie siły: początkowo napędzająca 𝑦 (wyższy 𝑦 powoduje coraz wyższy wzrost
𝑦 - 𝑑𝑦 zależy od 𝑦), ale wraz ze wzrostem 𝑦 rośnie znaczeni siły hamującej 𝛼 − 𝑦
1
•
•
Stosuje się ja w analizach rynkowych (cykl
życia produktu), demograficznych
W nieco innej formie:
𝑒 𝑎+𝑏𝑡
𝑦=
1 + 𝑒 𝑎+𝑏𝑡
która ma zakres zmienności < 0; 1 >
funkcja ta nazywa się logitem i jest ona
podstawą modelu logitowego (o którym
szerzej na kolejnych zajęciach)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
12
Nieliniowa MNK
•
•
Czasami nie jest możliwe doprowadzenie modelu do postaci liniowej względem parametrów
Model nieliniowy:
𝑦𝑖 = 𝑓 𝒙𝑖 , 𝜷 + 𝜖𝑖
Można go estymować np. nieliniową metodą najmniejszych kwadratów, w której
wyznaczamy 𝛽 minimalizując sumę kwadratów reszt:
𝑆 𝜷 =
𝑦𝑖 − 𝑓 𝒙𝑖 , 𝜷
2
𝑖
Czyli rozwiązując układ równań nieliniowych (o liczbie równań i niewiadomych równych
liczbie estymowanych parametrów):
𝜕𝑆 𝜷
= −2
𝜕𝜷
•
•
•
𝑖
𝜕𝑓 𝒙𝑖 , 𝜷
𝑦𝑖 − 𝑓 𝒙𝑖 , 𝜷
=𝟎
𝜕𝜷
Postać ogólna rozwiązania nie jest znana (zależy od charakteru nieliniowości) i niemożliwa do
przedstawienia w postaci analitycznej. Zazwyczaj rozwiązuje się tego typu układy równań
metodami iteracyjnymi, np. metodą Newtona, Gaussa-Newtona
Nie ma ogólnych twierdzeń o własnościach estymatora (typu Gaussa-Markowa w przypadku
MNK) dla estymatorów uzyskanych metodami nieliniowymi, dlatego ekonometrycy raczej
starają się uprościć specyfikacje do postaci liniowej (względem parametrów)
Modele nieliniowa można estymować również MNW (metoda największej wiarygodności)
Funkcja produkcji
•
•
•
•
•
Funkcja produkcji jest to relacja pomiędzy nakładami czynników produkcji a wielkością
(strumieniem) wytworzonego produktu w danej jednostce czasu
Stosuje się ten koncept zarówno w mikro- jak i makroekonomii
Główne nakłady – praca (𝐿) i kapitał (𝐾), ale również ziemia, materiały czy kapitał ludzki
𝑌 = 𝑓(𝐾, 𝐿)
Izokwanty produkcji - warstwice funkcji produkcji, czyli linie w przestrzeni (𝐾, 𝐿), którym
odpowiada ta sama wartość produkcji: 𝑌0 = 𝑓(𝐾, 𝐿)
Zakładamy, że 𝑓 jest funkcją ciągłą i dwukrotnie różniczkowalną
Własności funkcji produkcji
•
Własności funkcji produkcji:
𝜕𝑓 𝐾,𝐿
𝜕𝑓 𝐾,𝐿
– 𝑓𝐾 =
> 0, 𝑓𝐿 =
> 0, czyli produkty krańcowe (produktywności) czynników
𝜕𝐾
𝜕𝐿
produkcji są dodatnie (zwiększenie zasobu danego czynnika prowadzi do wzrostu
produkcji)
– 𝑓𝐾𝐾 =
𝜕2 𝐹 𝐾,𝐿
𝜕𝐾 2
=
𝜕𝑓𝐾
𝜕𝐾
< 0, 𝑓𝐿𝐿 =
𝜕2 𝐹 𝐾,𝐿
𝜕𝐿 2
< 0, czyli krańcowa produkcyjność czynnika
jest malejąca względem nakładów tego czynnika (produktywność czynnika rośnie coraz
wolniej)
𝜕𝑓
𝜕𝑓
– 𝑓𝐾𝐿 = 𝐾 > 0, 𝑓𝐿𝐾 = 𝐿 > 0, czyli produktywność jednego czynnika rośnie wraz ze
𝜕𝐿
𝜕𝐾
wzrostem innego czynnika
– Funkcja 𝑓 jest funkcją jednorodną (homogeniczną)
• Ogólnie: funkcja jednorodna stopnia 𝑟 spełnia warunek:
𝑓 𝜆𝐾, 𝜆𝐿 = 𝜆𝑟 𝑓(𝐾, 𝐿)
Czyli wzrost wszystkich nakładów o 𝜆 powoduje wzrost produkcji o 𝜆𝑟
Dla 𝑟 = 1 mówimy o stałych korzyściach skali (np. podwojenie wszystkich nakładów powoduje
podwojenie produkcji) – CRS (constant returns to scale), czyli jednorodność
Dla 𝑟 > 1 mówimy o rosnących korzyściach skali (IRS)
Dla 𝑟 < 1 mówimy o malejących korzyściach skali (DRS)
– Substytucyjność (zastępowalność czynników) – na kolejnym slajdzie
•
Elastyczność produkcji względem czynnika: 𝐸𝑙 𝑌 𝐾 =
𝜕𝑌 𝐾
𝜕𝐾 𝑌
= 𝑓𝐾
𝐾
𝑌
oraz 𝐸𝑙 𝑌 𝐿 = 𝑓𝐿
𝐿
𝑌
Substytucyjność czynników
•
Jak zmieniają się nakłady czynników na izokwancie?
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝑑𝑌 = 𝑑𝐹(𝐾, 𝐿) = 0 =
𝑑𝐾 +
𝑑𝐿 = 𝑓𝐾 𝑑𝐾 + 𝑓𝐿 𝑑𝐿
𝜕𝐾
𝜕𝐿
Zatem:
𝑑𝐾
𝑓𝐿
= − = 𝐾𝑆𝑆
𝑑𝐿 𝑑𝑌=0
𝑓𝐾
KSS – krańcowa stopa substytucji (MRS – Marginal Rate of Substitution) – o ile powinien
zmniejszyć się (wzrosnąć) nakład 𝐾 w reakcji na wzrost (spadek) nakładu 𝐿, aby utrzymać ten sam
poziom produkcji (𝑌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡)
•
Relację
𝐾
𝐿
nazywamy technicznym uzbrojeniem pracy
Elastyczność substytucji – mierzy wypukłość izokwanty – w miarę wzrostu 𝐾, dodatkowy
przyrost 𝐾 o jednostkę zastępuje coraz mniejszą ilość 𝐿 a elastyczność substytucji mierzy ten
𝐾
efekt – jest to względny przyrost wywołany przyrostem KSS o 1%
𝐿
𝐾
𝜕( ) 𝐾𝑆𝑆
𝜎= 𝐿
𝜕𝐾𝑆𝑆 𝐾
𝐿
Płaska izokwanta – wysoka elastyczność substytucji (KSS musi się silnie zmienić, aby zmieniło się
𝐾
), przykładowo dla funkcji liniowej 𝜎 = +∞, z kolei dla funkcji typu „wąskie gardło”, czyli
𝐿
𝐹 𝐾, 𝐿 = min⁡{𝐾, 𝐿}, 𝜎 = 0
•
Funkcja produkcji Cobba-Douglasa (1)
•
Ma ona postać funkcji potęgowej
𝑌 = 𝐾 𝛼 𝐿𝛽
Gdzie 𝛼, 𝛽 ∈ (0; 1). Po zlogarytmowaniu:
log 𝑌 = 𝛼 log 𝐾 + 𝛽 log 𝐿
• Własności:
𝜕𝑌
1
𝑌
= 𝛼𝐾 𝛼−1 𝐿𝛽 = 𝛼𝐾 𝛼 𝐿𝛽 = 𝛼
𝜕𝐾
𝐾
𝐾
𝑌
𝑓𝐿 = 𝛽 > 0
𝐿
𝐾
𝑌𝐾
𝜕 log 𝑌
𝐸𝑙 𝑌 𝐾 = 𝑓𝐾 = 𝛼
= 𝛼 (lub
𝑌
𝐾𝑌
𝜕 log 𝐾
– 𝑓𝐾 =
–
–
–
= 𝛼) oraz 𝐸𝑙 𝑌 𝐿 = 𝛽
𝜕𝑓𝐾
= 𝛼 𝛼 − 1 𝐾 𝛼−2 𝐿𝛽 = −𝛼 1 − 𝛼
𝜕𝐾
𝜕𝑓
𝑓𝐿𝐿 = 𝐿 = 𝛽 𝛽 − 1 𝐾 𝛼 𝐿𝛽−2 = −𝛽 1 − 𝛽
𝜕𝐿
𝑌
𝑓𝐾𝐿 = 𝑓𝐿𝐾 = 𝛼𝛽𝐾 𝛼−1 𝐿𝛽−1 = 𝛼𝛽 > 0
𝐾𝐿
– 𝑓𝐾𝐾 =
–
>0
𝑌
<0
𝐾2 ⁡
𝑌
<0
𝐿2
– Jednorodność:
𝑓 𝜆𝐾, 𝜆𝐿 = 𝜆𝐾 𝛼 𝜆𝐿 𝛽 = 𝜆𝛼 𝜆𝛽 𝐾 𝛼 𝐿𝛽 = 𝜆𝛼+𝛽 𝐹(𝐾, 𝐿)
Dla 𝛼 + 𝛽 = 1 mamy stałe korzyści skali, wtedy 𝑌 = 𝐾 𝛼 𝐿1−𝛼
Dla 𝛼 + 𝛽 > 1⁡mamy rosnące korzyści skali
Dla 𝛼 + 𝛽 < 1 mamy malejące korzyści skali
Funkcja produkcji Cobba-Douglasa (2)
•
Substytucja
– 𝐾𝑆𝑆 =
𝑓
− 𝐿
𝑓𝐾
=−
𝐾
– 𝜎=
𝜕( ) 𝐾𝑆𝑆
𝐿
𝜕𝐾𝑆𝑆 𝐾
𝐿
•
=
𝑌
𝐿
𝑌
𝛼
𝐾
𝛽
=−
𝜕 𝐾𝑆𝑆
𝐾
𝜕
𝐿
𝛽𝐾
𝛼𝐿
−1
𝐾𝑆𝑆
𝐾
𝐿
=−
𝛽
𝛼
−
𝛽𝐾 𝐿
𝛼𝐿 𝐾
=1
Postęp technologiczny
– Są różne sposoby jego uwzględnienia, często stosowanym rodzajem jest TFP (Total
Factor Productivity, czyli łączna produktywność czynników produkcji, czyli postęp, który
nie jest związany bezpośrednio z żadnym z czynników produkcji)
– Jeśli założymy, że technologia rośnie w tempie wykładniczym (w stałym tempie z okresu
na okres), to:
𝛽
𝑌𝑡 = 𝑒 𝐴+𝛾𝑡 𝐾𝑡𝛼 𝐿𝑡 𝑒 𝜖𝑡
Lub po zlogarytmowaniu:
log 𝑌𝑡 = 𝐴 + 𝛾𝑡 + 𝛼 log 𝐾𝑡 + 𝛽 log 𝐿𝑡 + 𝜖𝑡
Gdzie 𝛾 jest stałym tempem wzrostu TFP, 𝛼 jest elastycznością produkcji względem nakładu
kapitału, a 𝛽 elastycznością produkcji względem nakładu pracy
Inne funkcje produkcji
•
Funkcja CES (Constant elasticty of substitution)
𝜗
−
𝑌 = 𝛾 𝛿𝐾 −𝜌 + 1 − 𝛿 𝐿−𝜌 𝜌 𝜖
Gdzie 𝛿 ∈< 0,1 > – parametr podziału między czynniki produkcji, 𝜗 > 0 jest stopniem homogeniczności
1
(parametr korzyści skali), 𝜌 > −1 jest parametrem substytucji (elastyczność substytucji wynosi
)
1+𝜌
•
Funkcja translog, cechująca się zmiennymi elastycznościami produkcji oraz substytucji:
log 2 𝐾
log 2 𝐿
log 𝑌 = 𝛼1 + 𝛼2 log 𝐾 + 𝛼3 log 𝐿 + 𝛼4
+ 𝛼5
+ 𝛼6 log 𝐾 log 𝐿 + 𝜖
2
2
Funkcja liniowa (ma nieskończoną elastyczność substytucji):
𝑌 = 𝛼𝐾 + 𝛽𝐿
Funkcja typu „wąskie gardło” (cechująca się zerową elastycznością substytucji):
𝑌 = min⁡(𝛼𝐾, 𝛽𝐿)
•
•
𝐾
Izokwanty funkcji
liniowej
𝐿
𝐾
Izokwanty funkcji typu
„min”
𝐿