Elektrotechnika elektronika miernictwo

Elektrotechnika elektronika miernictwo
Franciszek Gołek ([email protected])
www.pe.ifd.uni.wroc.pl
Wykład 3.
Obwody prądu sinusoidalnego
Obecnie powszechnie dostępna energia elektryczna jest
produkowana w postaci sinusoidalnego napięcia
wymuszającego sinusoidalne natężenie prądu
elektrycznego.
Częstotliwość tego zmiennego (mówimy też
przemiennego) napięcia wynosi 50 Hz w Europie, a 60
Hz w Ameryce północnej.
Dzięki transformatorom łatwo można zmieniać wielkość
amplitud napięć i prądów zmiennych.
Energia elektryczna (= Usk•Isk•t) w postaci dużych
zmiennych napięć przy małych natężeniach prądów jest
łatwa do ekonomicznego transportu przy użyciu sieci linii
transmisyjnych systemu energetycznego. Wszędzie
gdzie pożądane jest napięcie stałe stosowane są układy
konwersji nazywane prostownikami.
Produkcja w elektrowniach polega na zamianie innych
rodzajów energii na energię elektryczną zgodnie z
prawem Faradaya ∇×E = -dB/dt czyli SEM = - dΦ/dt, jest
to jedno z równań Maxwella. Dostępną energię
(wiatrową, wodną, jądrową czy cieplną) wykorzystuje się
do wirowania odpowiednimi zwojnicami w silnym polu
magnetycznym.
Idea źródła napięcia sinusoidalnego:
Uzwojenie w postaci ramki obejmującej powierzchnię A wiruje ze
stałą prędkością kątową ω w stałym polu magnetycznym o
indukcji B.
Końce ramki połączone są z pierścieniami, które ocierają się
(ślizgają) o dociskane sprężynowo szczotki.
Możemy określić zależność czasową strumienia Φ
przenikającego ramkę jako:
Φ = B·A·cos(ωt).
Generowana siła elektromotoryczna:
SEM = e = -dΦ/dt = ωBAsin(ωt)
Gdy ramka ma N zwoi to: SEM = NωBAsin(ωt) = Emaxsin(ωt)
W elektrotechnice podstawowym przebiegiem napięć i prądów (wymuszeń i
skutków) jest przebieg sinusoidalny. Takie przebiegi są generowane przez
wirujące maszyny elektryczne zwane generatorami prądu zmiennego. Z
podstaw trygonometrii wiadomo, że przebieg sinusoidalny można otrzymać
przez rzutowanie promienia (w kole trygonometrycznym), wirującego ze stałą
prędkością kątową ω, na jedną z nieruchomych osi. Wynik rzutowania na y jest
identyczny z tym na x, ale przesunięty w czasie.
Dla obwodów z prądami zmiennymi
prawa Kirchhoffa i Ohma obowiązują w
pełni dopiero w zapisie zespolonym!
Obok wartości chwilowej
istotna też jest faza przebiegu,
zatem podając 2 wielkości
mamy więcej informacji!
Częstotliwość też jest ważna!
Chociaż w elektrotechnice
mamy tylko jedną, u nas 50 Hz.
Liczby zespolone (liczby dwuczęściowe)
Urojona część liczby zespolonej
Dysponując tylko liczbami rzeczywistymi mamy problem z
rozwiązaniem takich równań jak np.:
X2 + 1 = 0.
Jeżeli jednak za X podstawimy coś co nie jest liczbą rzeczywistą:
√-1, to podnosząc do kwadratu tę dziwną wielkość otrzymujemy
liczbę rzeczywistą -1. Zatem to coś spełnia równanie:
X2 + 1 = 0. Podobnie możemy podstawić za X wartość -√-1.
Jeżeli uznamy wielkość „√-1” za coś „realnego” i oznaczymy na
przykład przez „j” to z łatwością rozwiążemy wiele innych równań,
przykładowo równanie X2 + 9 = 0 spełniają rozwiązania: X = -3j
oraz +3j.
W elektronice stosujemy symbol: j = √-1 = (-1)0.5, chociaż
w matematyce używany jest symbol i = (-1)0.5.
Powód: bo „i” w elektronice to prąd elektryczny.
Liczby i funkcje zespolone w elektrotechnice i elektronice.
Liczby zespolone mają postać dwuskładnikową (zespoloną): Z = x
+ jy. Gdzie j = √-1 jest pierwiastkiem kwadratowym z liczby -1.
Taka notacja przypomina zapis położenia punktu na płaszczyźnie
przy pomocy dwóch równoprawnych współrzędnych: Z = (x, y). W
dziedzinie liczb zespolonych jest jednak pewna asymetria np.
kwadrat liczby czysto rzeczywistej (x + j0) jest wielkością czysto
rzeczywistą dodatnią (x2 + j0) a kwadrat liczby czysto urojonej (0 +
jy) jest wielkością czysto rzeczywistą ujemną (-y2 + j0) bo j2 = -1.
Dlatego liczby zespolone traktujemy jako zapis położenia punktu
na płaszczyźnie zespolonej. Wielkości zespolone (liczby i funkcje)
są wyjątkowo udaną abstrakcją stosowaną w opisie oscylacyjnych
przebiegów napięć i prądów w elektrotechnice oraz elektronice.
Dobrym tego przykładem są tzw. wykresy wskazowe, które
zastosujemy przy analizie układów RLC zasilanych napięciami
sinusoidalnymi. Zapis przebiegów sinusoidalnych w
postaci funkcji zespolonych jest niezastąpiony przy
analizie zależności amplitudowych i fazowych.
Przypomnijmy równość Eulera:
ejx = cos(x) + jsin(x)
oraz równoważność formuł:
Aej(ωt + φ) = Acos(ωt + φ) + jAsin(ωt + φ)
z określeniem położenia punktu wirującego na
płaszczyźnie zespolonej z prędkością kątową ω - zwaną
też pulsacją.
Mnożenie wielkości zespolonych jest łatwe
gdy zastosujemy postać wykładniczą!
Przykładowo zapis prawa Ohma jako iloczynu zespolonego prądu I i tzw.
zawady Z (Z to zespolona - uogólniona oporność):
U = I × Z = Iej(ωt + α) × Zejβ = ZIej(ωt + α+ β) = Uej(ωt + θ)
Mamy tu doskonałą ilustruję relacji amplitudowej i fazowej:
amplitudowa:
U = IZ
i fazowa:
θ=α+β
Faza wyniku mnożenia to suma faz czynników!
Zapis zespolony ilustruje też zależności faz od czasu:
faza U = argument U = ωt + α + β = ωt + θ.
Zilustrujmy iloczyn z poprzedniej strony:
U = I × Z = Iej(ωt + α) × Zejβ = ZIej(ωt + α+ β) = Uej(ωt + θ)
Przy pomocy obrazów:
W iloczynie mamy sumę argumentów i iloczyn modułów.
Zatem dowolną wielkość np. napięcie u = Umaxcos(ωt + ϕ) o amplitudzie A =
Umax możemy rozumieć jako część rzeczywistą napięcia zapisanego o postaci
U = Umaxej(ωt + ϕ). Ze względu na zmienną t – czas, dobrą ilustracją może być film
pokazujący jak z upływem czasu wektor U wiruje, bo rośnie jego argument czyli
kąt między nim a osią odciętych: ωt + ϕ.
Przy analizie i obliczeniach zwykle posługujemy się sytuację „zatrzymaną
w kadrze” czyli wybieramy jakąś dogodną chwilę np. t = 0.
http://faraday.ee.emu.edu.tr/EENG224/lecture_notes.htm
http://staff.southwest.tn.edu/kfoster/links_4.htm
Zajmiemy się teraz pojemnością i indukcyjnością,
które znane są między innymi z tego, że napięcia i
prądy w nich występujące nie są zgodne w fazie.
Początek ładowania kondensatora to duży prąd i małe
napięcie, a koniec to zero prądu i maksymalne napięcie!
Tu prąd jest potrzebny do zmian napięcia.
W cewce aby „rozpędzić” prąd zaczynamy
od dużego napięcia i powoli rosnącego prądu. Gdy prąd
osiągnie maksimum i przestaje się zmieniać mamy
zerowe napięcie. Tu napięcie jest potrzebne do zmian
natężenia prądu.
Kondensatory w obwodach elektronicznych, podobnie
jak oporniki są elementami biernymi, nie mogą wzmacniać (zwiększać moc)
sygnału elektrycznego. Kondensator jest dwójnikiem (ma dwa zaciski jak
opornik) i składa się z dwóch okładzin metalowych o dużej powierzchni
odizolowanych dielektrykiem o dużej przenikalności elektrycznej. Stosowane
konstrukcje i materiały są rozmaite i nadal ulepszane. Kondensatory, podobnie
jak rezystory należą do grupy podstawowych elementów elektroniki.
Ładunek i napięcie na idealnym kondensatorze spełniają
następujący związek (prawo Volty):
Q = CU.
Różniczkując obie strony „po czasie” otrzymujemy
dQ/dt = CdU/dt.
dQ/dt jest oczywiście prądem elektrycznym I.
Z równości I = CdU/dt widać, że stały prąd (ładowania)
oznacza stałe tempo zmian napięcia na kondensatorze.
Prąd jest wprost proporcjonalny nie do napięcia, jak dla
opornika, lecz do szybkości zmian napięcia!
Brak proporcjonalności między wartościami
chwilowymi napięcia i prądu wyklucza zastosowanie
prawa Ohma w dziedzinie liczb rzeczywistych.
Zobaczymy też, że:
Dla amplitud lub wartości skutecznych jednak prawo
Ohma obowiązuje, a prawa Kirchhoffa NIE!!!
Okazuje się, że dla wartości chwilowych pochodną
można zastąpić mnożeniem w sytuacji, gdy mamy do
czynienia z przebiegami sinusoidalnymi i ich
zapisem zespolonym.
Zobaczmy to dokładniej. Z definicji pojemności mamy:
Q = CU
Przy zmianach ładunku: dQ/dt = CdU/dt
I = CdU/dt
Mając napięcie sinusoidalne
U = Umaxcos(ωt+φ) uzyskamy:
I = CdU/dt = CUmaxd(cos(ωt+φ))/dt
= ωCUmax (-sin(ωt+φ)) = ωCUmax(cos(ωt+φ +90o))
Czyli prąd w kondensatorze uzyskaliśmy mnożąc przez ωC napięcie, któremu
zmieniliśmy fazę o 90o. To oznacza, że mając prąd wystarczy podzielić go
przez ωC i przesunąć jego fazę o -90o i
otrzymamy napięcie. Widać, że
nie ma tu współczynnika proporcjonalności
!między prądem a napięciem
Jeżeli jednak funkcję U = Umaxcos(ωt+φ) potraktujemy jako część
rzeczywistą wielkości zespolonej Umaxej(ωt+φ) to:
U = Re(Umaxej(ωt+φ))
I = Cd(Umaxej(ωt+φ))dt = jωCUmaxej(ωt+φ)
I = jωCU = BCU
gdzie
BC = jωC
U = I/jωC = XCI
gdzie XC=
Zatem w zapisie zespolonym: Jest
albo
1/jωC
współczynnik!
Jest prawo Ohma dla pojemności!
Ilustracja. Jeżeli przez kondensator płynie jakiś prąd
zmienny to na tym kondensatorze mamy też zmienne
napięcie. Prawo Ohma dla kondensatora, którego impedancją jest
XC= 1/(jωC) = -j/(ωC) = 1/(ωC) e-jπ/2 ,
w którym mamy prąd I = Imaxej(ωt+φ) skutkuje iloczynem:
U = I⋅XC = Imaxej(ωt+φ) ⋅ 1/(ωC) e-jπ/2 = Imax/(ωC) ej(ωt+φ-π/2);
widzimy tu iloczyn modułów Imax·1/(ωC) jako moduł napięcia a w
wykładniku do aktualnego kąta prądu dodany kąt ujemny: –π/2
Zatem napięcie U ma tu w każdej chwili fazę przesuniętą o –π/2
względem fazy prądu.
Wniosek:
Pomnożenie prądu
przez impedancję Xc daje
napięcie opóźnione o ćwierć kąta pełnego (koresponduje to z prostym
stwierdzeniem, że ładując kondensator na początku ładowania mamy duży
prąd i zerowe napięcie, a po naładowaniu zerowy prąd i maksymalne napięcie).
Cewki indukcyjne. Modelem indukcyjności
jest cewka, czyli też element z dwoma zaciskami – dwójnik.
Ze względu na rodzaj rdzenia wyróżniamy cewki: ferrytowe,
metalowe, powietrzne.
Indukcyjność ma taką własność, że prędkość zmian jej
prądu jest proporcjonalna do panującego na niej napięcia.
Tu stałe napięcie wymusza stały wzrost prądu.
Z takiej relacji między prądem a napięciem wynika, że dla
wartości chwilowych prądu i napięcie na cewce też nie działa
prawo Ohma.
Mamy związek: U = LdI/dt, załóżmy że udało się
nam wymusić prąd sinusoidalny w cewce:
I = Imaxcos(ωt+φ)
U = LdI/dt = LImaxd(cos(ωt+φ))/dt
= ωLImax (-sin(ωt+φ)) = ωLImax(cos(ωt+φ+90o))
Czyli napięcie na cewce uzyskaliśmy mnożąc przez ωL prąd, któremu jeszcze
zmieniliśmy fazę o 90o. To oznacza, że mając prąd wystarczy pomnożyć go
przez ωL i przesunąć jego fazę o 90o i
otrzymamy napięcie. Widać, że
nie ma tu współczynnika proporcjonalności
między prądem a napięciem!
Jeżeli jednak funkcję I = Imaxcos(ωt+φ) potraktujemy jako
część rzeczywistą wielkości zespolonej Imaxej(ωt+φ) to:
I = Re(Imaxej(ωt+φ))
U = Ld(Imaxej(ωt+φ))dt = jωLImaxej(ωt+φ)
U = jωLI = XLI gdzie XL= jωL albo
I = (1/jωL)U = BLU gdzie BL =1/jωL
Jest współczynnik!
Jest prawo Ohma dla indukcyjności!
Zatem w zapisie zespolonym:
Ilustracja. Jeżeli przez cewkę płynie jakiś prąd
zmienny to na jej zaciskach mamy też zmienne
napięcie. Prawo Ohma dla indukcyjności, której impedancją jest:
XL= jωL = ωLejπ/2
i w której mamy prąd I = Imaxej(ωt+φ) wyraża się iloczynem:
U = I⋅XL = Imaxej(ωt+φ) ⋅ ωLejπ/2 = ImaxωLej(ωt+φ+π/2);
widzimy tu iloczyn modułów Imax i ωL jako moduł napięcia a w wykładniku do
aktualnego kąta prądu dodany kąt dodatni: π/2.
Zatem napięcie U ma tu w każdej chwili fazę przesuniętą o π/2
względem fazy prądu.
Wniosek:
Pomnożenie prądu
przez impedancję XL daje
napięcie wyprzedzające o ćwierć kąta pełnego prąd. Koresponduje to z prostym
stwierdzeniem, że na początku rozpędzania ładunku mamy jeszcze zerowy prąd a
maksymalne napięcie. Gdy prąd osiągnie maksymalną wartość to napięcie
odpowiedzialne za jego zerowe zmiany jest zerowe!
Chociaż i tu nie występuje proporcjonalność między chwilowymi
wartościami napięcia i prądu to zachodzi jednak proporcjonalność
między wartościami skutecznymi jak również między amplitudami tj.
modułami czyli wartościami maksymalnymi, ale pojawiającymi się
niejednocześnie - występuje przesunięcie fazowe. Jak widać dla
indukcyjności i pojemności współczynniki XL i XC są czysto urojone
zatem wektory prądu z wektorami napięcia na tych elementach tworzą
kąty proste. To oznacza, że iloczyn skalarny U • I - moc tracona w
idealnym kondensatorze lub indukcyjności jest zerem?! Ten efekt
odróżnia kondensatory i cewki od rezystorów. W rzeczywistości mamy
do czynienia z pewnymi stratami mocy w dielektryku kondensatora oraz
rdzeniu i przewodach cewki. W obwodach LC dominujące są jednak
straty mocy na rezystancji uzwojenia cewki. Zachowanie się cewek i
kondensatorów zależy od częstotliwości sygnału elektrycznego bo
impedancje XL i XC zależą od ω.
„Dławik” to solenoid o dużej indukcyjności pełniący rolę dużej
impedancji dla prądów zmiennych.
Szeregowy obwód RLC.
Stosując napięciowe prawo Kirchhoffa
do „oczka” na rysunku obok, możemy napisać równanie:
u(t) = uR(t) + uL (t) + uC(t)
Przykładając sinusoidalne napięcie:
u(t) = Umej(ωt+φ) musimy otrzymać prąd:
i(t) = Imej(ωt+ψ) - periodyczna przyczyna
to i periodyczny skutek.
Wstawmy zatem do równania obwodu wyrażenie: i(t)
= Imej(ωt+ψ). Otrzymamy:
Umej(ωt+φ) = RImej(ωt+ψ) + (1/C)∫Imej(ωt+ψ) dt + Ld(Imej(ωt+ψ))/dt.
Umej(ωt+φ) = RImej(ωt+ψ) + (1/jωC)Imej(ωt+ψ) + jωLImej(ωt+ψ)
Umej(ωt+φ) = Imej(ωt+ψ)(R+ 1/jωC + jωL)
Umej(ωt+φ) = Imej(ωt+ψ)(R+ j(ωL – 1/ωC)) -> U = I Z czyli:
UZespolone napięcie = IZespolony prąd (R+ j(ωL – 1/ωC))Impedancja zespolona.
Zespolona impedancja szeregowo połączonych R, L i C ma zatem postać:
Z = R+ j(ωL – 1/ωC) = R + j(XL – XC) = R +X, możemy zapisać:
Z = R + XL + XC, Z = Z1 + Z2 + Z3. Ponadto U = I Z po rozpisaniu:
Dzielniki napięcia RLC zawierające elementy typu C lub L dzielą napięcie zależnie od częstotliwości. Zatem zmieniają
kształt sygnału, sygnał wyjściowy jest inny od wejściowego,
chociaż są to elementy liniowe!
Podobnie działają dzielniki prądu zawierające elementy typu C
lub L – dzielą prąd zależnie od częstotliwości.
Dla układów R L C obowiązuje uogólnione prawo Ohma:
U = I⋅Z, I = Y⋅U, gdzie Y = 1/Z,
Z - impedancja,
Y – admitancja,
i wszystkie wielkości są wyrażane w postaci zespolonej.
Obliczanie wypadkowej impedancji Zw dla układu złożonego z
elementów Z1, Z2, ....Zn, odbywa się podobnie jak obliczanie
wypadkowej rezystancji układu złożonego z elementów R1, R2,....
Rn. Różnicę daje tylko samo zastosowanie liczb zespolonych.
Impedancję wyrażamy jako:
Z = R + X jednostka Ω Ohm.
zawada = oporność czynna + oporność bierna,
Impedancja = impedancja czynna + impedancja bierna,
gdzie: X = XL + XC,
R jest rezystancją, czyli impedancją czynną.
Impedancje bierne:
XL = jωL – reaktancja indukcyjna,
XC = 1/jωC – reaktancja pojemnościowa
Admitancja to odwrotność impedancji:
Y = 1/Z = G+jB, Jednostką admitancji jest Simens 1S = 1/Ω.
G = 1/R - konduktancja,
B = 1/X - susceptancja,
YC = BC = jωC,
YL= BL = 1/jωL.
Przykład 3.1. Wiedząc, że w układzie obok jest prąd
zmienny o natężeniu I = 5cosωt A, ω = 2π50 rad/s
= 314 rad/s, R = 0,5 Ω, L = 1 mH, C = 4 mF,
obliczyć wszystkie napięcia.
Rozw. UR = IR = (5cosωt A)(0,5 Ω) = 2,5cosωt V, lub
UR = [5(cosωt +jsinωt) A](0,5 Ω) = 2,5(cosωt +jsinωt) V,
Albo: UR = (5ejωt A)(0,5 Ω) = 2,5ejωt,
A najłatwiej: VR = IR = 5∠0 A· 0,5∠0 Ω = 2,5∠0 V.
UL = IXL = I (jωL) = [5(cosωt + jsinωt) A](j0,314 Ω) =
1,57(- sinωt + jcosωt) V = 1,57[cos(ωt + π/2) + jsin(ωt +
π/2)] V,
Albo: UL = IXL = 5ejωt0,314ejπ/2 AΩ = 1,57ej(ωt+π/2),
UL = IXL = 5∠0 A· 0,314∠π/2 Ω =1,57∠π/2 V.
UC = IXC = I(1/jωC) = [5(cosωt + jsinωt) A](-j/1,26 Ω)
=3,98(sinωt - jcosωt)=3,98[cos[ωt-π/2) – jsin(ωt-π/2)] V.
Albo: UC = IXC = I(1/jωC) = I(-j/ωC) = (5ejωt A)(-j/1,26 Ω)
= 5ejωt0,796e-jπ/2 = 3,98ej(ωt-π/2),
A najprościej: UC = IXC = 5∠0 A·0,796∠-π/2 Ω
=3,98∠-π/2 V.
.
VR = 2,5∠0 V
VL = 1,57∠π/2 V.
VC = 3,98∠-π/2 V.
U = UR + UL + UC, dla t = 0: U = 2,5 V +
1,57[jsin(0 + π/2)] V + 3,98[jsin (0 - π/2)] V =[2,5
+ j1,57 - j3,98] V = 2,5 V – j 2,41 V.
Arctan(-2,41/2,5) = 0,767rad.
(2,52 + 2,412)0,5=3,47 -> U = 3,47ej(ωt - 0,767)
V = 3,47∠-0,767 V.
U = 3,47ej(ωt - 0,767) V = 3,47∠-0,767 V.
graficzna ilustracja tego wyniku : ->
Wykresy wskazowe
Wskaz, fazor (ang. phasor) jest liczbą zespoloną AejΦ i wektorem
na płaszczyźnie zespolonej reprezentującym sinusoidalny
przebieg rzeczywisty: Acos(ωt +Φ).
Np. u(t) = Umaxcos(ωt +Φ) = Re[Umaxej(ωt +Φ)] = Re[UmaxejΦ ejωt].
Wskazem napięcia jest tu UmaxejΦ (taki wskaz bywa zapisywany
jako: Umax∠Φ) czyli jest to zespolona postać napięcia U w pewnej
dogodnej chwili t (zwykle t = 0).
Zatem wykres wskazowy do poprzedniego
przykładu można przedstawić jak obok:
Podkreślmy, że fazorem (wskazem) F = Fmejφ nazywamy wielkość zespoloną,
która reprezentuje funkcję sinusoidalnie zmieniającą się w czasie. Zbiorem
wartości F = Fmej(ωt+φ) jest okrąg o promieniu Fm ze środkiem w początku układu
płaszczyzny zespolonej (Re, Im). Wykresem wskazowym nazywamy graficzną
prezentację napięć i prądów sinusoidalnych w danym układzie prądu
zmiennego o zadanej częstotliwości. Wykres ilustruje wielkości amplitud
prądów i napięć oraz ich relacje fazowe w układzie w stanie stacjonarnym (tj.
po czasie od włączenia źródeł znacznie dłuższym od okresu oscylacji T).
Pojedynczy wykres dotyczy jednej (chociaż dowolnie wybranej) częstotliwości.
Wykresy wskazowe są też graficzną ilustracją równań jakie dają nam prawa
Kirchhoffa (prądowe i napięciowe) oczywiście zapisane w postaci zespolonej.
Dlatego początkujący często wykreślają wskazy na płaszczyźnie zespolonej z
zaznaczonymi osiami Im i Re. W rzeczywistości na takiej płaszczyźnie
wszystkie wektory powinny wirować zgodnie z pulsacją ω, natomiast wykres
jest uchwyceniem ułożenia wektorów w określonej, dogodnej chwili (np. gdy
jakiś prąd lub napięcie przechodzi przez swoje maksimum). Z wykresu
znajdujemy relacje między długościami wektorów (tj. amplitudami) napięć i
prądów oraz ich względne przesunięcia fazowe. Wykresy wskazowe są
szeroko stosowane w elektrotechnice (tu zamiast amplitud można spotkać
wartości skuteczne przy analizie przekazu mocy). Przy analizie filtrów mogą
stanowić dogodną ilustrację relacji między sygnałem wejściowym i wyjściowym
danego filtra dla wybranej częstotliwości.
Ważne!
W przykładach, w których zastosujemy zapis
wielkości w postaci zespolonej należy zauważyć, że:
1) Do zapisu równań będących prawami Kirchhoffa
wstawiamy wszystkie napięcia, prądy i impedancje w
postaci zespolonej. Prawa Kirchhoffa nie obowiązują
dla wartości skutecznych i dla modułów czyli
amplitud. Oczywiście po napisaniu równania
możemy wziąć moduły obu stron (całych stron!).
2) Gdy prawo Ohma jest treścią równania (jedna
wielkość = iloczyn lub iloraz dwu innych) to możemy
go zapisać nie tylko dla wielkości zespolonych ale
również dla modułów i dla wartości skutecznych.
Przykład 3.2. Obliczyć zawadę układu
oraz natężenie prądu po przyłożeniu
Napięcia U = 240cos(314t).
Rozw.
Z = XL+ R + XC = R + jωL – j/ωC =
1Ω + j(ω10-6 - 1/ω10-6)Ω =
1Ω + j(3,1410-4 - 1/(3,14⋅10-4))Ω =1Ω – j3183Ω =
3183∠–89,98° Ω.
I = U/Z = 240∠0°/ 3183∠–89,98° A =
75,4mV∠89,98° A.
Przykład 3.3. Obliczyć zależność zawady od ω.
Rozw. Z = XL + XCR/(R + XC) =
jωL – j(R/ωC)/(R – j/ωC) =
jω – j(1012/ω)/(106 – j106/ω) = jω – j106/(ω – j)
= 106/(ω2 + 1) + jω(1 – 106/(ω2 + 1)).
Przykład 3.4. Znajdź zastępczy układ Thevenina
dla podanego obok układu.
Rozw. Z punktu widzenia zacisków: Z1 II Z2,
Jeżeli Z1 i Z2 są równoległe to ZT obliczymy
ze wzoru na zastępczą impedancję połączenia
równoległego:
Przykład 3.5. Narysować wykres wskazowy dla układu
RLC (jak na rys. obok) zasilanego napięciem
sinusoidalnym o pulsacji ω = 1000 rad/s i amplitudzie 2 V.
Rozwiązanie: Ponieważ mamy do czynienia z układem stacjonarnym (długo
po włączeniu zasilania) możemy zasilanie zapisać jako:
Uwe = 2ej(1000t + ϕ) V = UC = URL, wybierzmy ϕ = 0 i t = 0 =>
Prąd z zasilacza I ulega rozgałęzieniu na IC i IRL
IC = UC/XC = 2/(1/jωC) = 2/(1/j103·10-4) = j0,2 A.
IRL= URL/(R + jωL) = URL(R - jωL)/(R2 + ω2L2)
= (0,038 – j0,19) A.
I = IC + IRL = (0,038 + j0,01) A.
UR = IRL·R = (0,076 – j 0.38) V.
UL = IRL·XC = (0,038 – j0,19)·jωL
= (0,038 – j0,19)·j10 = (1,9 + j0,38) V.
Uzyskany wykres obrazuje relacje
między poszczególnymi napięciami
i prądami.
E-E-M. Lista-03
1. Mając dwie liczby zespolone A = 3 + j3, B = 1 + j√3, oblicz AB oraz A/B.
2. Narysować wykres wskazowy dla szeregowo połączonych rezystora 10Ω i
kondensatora 1mF, przez które płynie prąd I = 2sin(2π50t) A. Oblicz całkowite
napięcie przyłożone do układu RC oraz różnice faz między prądem i wszystkimi
napięciami.
3. Do indukcyjności L = 1 mH o rezystancji uzwojenia 1Ω należy dołączyć
szeregowo kondensator tak aby uzyskać rezonans dla częstotliwości 1MHz.
Narysować wykres wskazowy dla zasilania napięciem U = 1Vsin(2π106t).
4. Obliczyć zawadę układu dla częstotliwości kątowej
(pulsacji) 1rad/s i 1Mrad/s. Obliczyć różnicę faz między
przyłożonym napięciem a prądem w tym układzie.
5. Oblicz zawadę układu dla pulsacji 1rad/s i 1Mrad/s.
Oblicz różnicę faz między napięciem i prądem w tym
układzie.
6. Narysuj wykres wskazowy i obliczyć wartości przepięcia
w rezonansie układu dla R = 1 Ω, i R = 0,1 Ω przy zasilaniu
napięciem o amplitudzie 1 V.
7. Znajdź częstotliwość rezonansową dla układu.
Dodatek dla opornych.
Co znaczą następujące zapisy?
1) I = Icos(ωt +β) = Iamplitudacos(ωpulsacja tczas + βkąt początkowy dla t = 0s)
jest to zapis kosinusoidalnego (sinusoidalnego) przebiegu
natężenia prądu.
2) I = Icos(ωt +β) + jIsin(ωt +β) = Iej(ωt +β) oznacza ten sam prąd co w punkcie
poprzednim ale zapisanym w postaci zespolonej pozwalającej łatwo czynić
poprawne obliczenia!
Jeżeli zamiast informacji, że I = 5cos(ωt + π/2) otrzymamy informacje że w
pewnej chwili t = 0 s prąd miął natężenie I = 0 A to nie wiemy czy w następnych
chwilach prąd będzie nie zerowy. Gdy jednak informacją będzie, że danej
chwili I = 0 + j5 [A] = j5 A to wiemy, że chociaż teraz I = 0 A to po chwili już
I ≠ 0 A, a w pewnej chwili będzie 5 A!!!
Równoległy obwód RLC.
Rysunek (a) ilustruje równoległy obwód rezonansowy RLC
z idealna indukcyjnością i pojemnością. Natomiast rysunek
(b) przedstawia realistyczny układ równoległy LC.
(można oczywiście dodać równolegle do całości rezystor R2
by otrzymać układ RLC i zwiększyć pobierany prąd
o wartość IR2 = U/R2 ale po co?).
Dla układu (a) częstotliwość rezonansowa wynosi:
fr = ωr/2π = 1/[2π(LC)1/2]
bo tu rezonans ma miejsce gdy prądy IL i IC się „wzajemnie
wysycają” a ma to miejsce gdy przewodność:
Y = G + jB = 1/Z = GR + j(ωC - 1/ωL) = GR.
Niestety w przypadku układu (b) wyrażenie na
częstotliwość rezonansową jest inne!
Równoległy obwód RLC.
Aby wyznaczyć częstotliwość rezonansową tego układu
pomożemy sobie wykresem wskazowym, na którym
umieścimy prądy i niektóre napięcia w tym obwodzie.
Wymuszenie: u = U0ej(ωt + 0),
IC = u/(-j/ωC) = juωC,
IRL = u/(R + jωL) = u(R - jωL)/(R2 + ω2L2)
Wybierając moment gdy u jest czysto
rzeczywiste czyli wektor u leży na osi „Re”
narysujemy: u = u = U0,
IRL = u(R - jωL)/(R2 + ω2L2)
IC = juωC,
Re(IRL) = uR/(R2 + ω2L2)
Im(IRL) = -uωL/(R2 + ω2L2).
Z wykresu wskazowego widać, że dla uzyskania zgodności fazy wypadkowego
prądu (czyli sumy IC i IRL) z fazą napięcia wymuszającego Im(IC) = Im(IRL)
Równoległy obwód RLC.
IRL = u(R - jωL)/(R2 + ω2L2)
IC = juωC,
Re(IRL) = uR/(R2 + ω2L2)
Im(IRL) = -uωL/(R2 + ω2L2).
Im(IC) = Im(IRL)
uωC = uωL/(R2 + ω2L2);
C = L/(R2 + ω2L2);
R2 + ω2L2 = L/C
ω2L2 = L/C – R2
ω2= 1/LC – R2/L2
ωr = (1/LC – R2/L2)1/2