Arkusz 5. Analiza matematyczna 4
Transkrypt
Arkusz 5. Analiza matematyczna 4
Arkusz 5. Analiza matematyczna 4 5 Hiperpowierzchnie p Zadanie 5.1 Pokaza´c, ·ze : ( 1; 1) ! R2 , (x) = x; 1 x2 jest homeomor…zmem na (( 1; 1)). Wykaza´c z de…nicji hiperpowierzchni, ·ze S 1 jest 1-wymiarowa¾hiperpowierzchnia¾ klasy C 1 w R2 biorac ¾ jako parametryzacje odwzorowania tego typu: 1 : ( 1; 1) ! R2 ; 2 : ( 1; 1) ! R2 ; 3 : ( 1; 1) ! R2 ; 4 : ( 1; 1) ! R2 ; p 1 x2 ; p 1 x2 ; 2 (x) = x; p (y) = 1 y2; y ; 3 p 1 y2; y : 4 (y) = 1 Zadanie 5.2 Pokaza´c, ·ze : (0; 2 ) ! S 1 n f(1; 0)g (x) = x; R2 ; (t) = (cos t; sin t) jest homeomor…zmem, na którym rozwa·zamy topologie¾ indukowana.¾ Pokaza´c z de…nicji, ·ze S 1 jest 1-wymiarowa¾hiperpowierzchnia¾rozwa·zajac ¾ parametryzacje powy·zszego typu. Zadanie 5.3 Znale´z´c punkty krytyczne i warto´sci regularne odwzorowania a) f : R3 ! R2 , f (x; y; z) = (xy; z); b) f : R3 ! R2 , f (x; y; z) = (x + y 2 ; y + z 2 ); c) f : R3 ! R2 , f (x; y; z) = (x3 + xy 2 2y 2 ; z). Zadanie 5.4 Znale´z´c warto´sci regularne odwzorowa´n ga : R2 ! R; ga (x; y) = x2 + y 2 2 4a x3 + y 2 (a + x) ; a 2 R n f0g : Zadanie 5.5 Znale´z´c warto´sci regularne odwzorowa´n ga : R2 n f(0; 0)g ! R; ga (x; y) = x2 + y 2 2 4a x3 + y 2 (a + x) ; a 2 R n f0g : Zadanie 5.6 Znale´z´c warto´sci regularne odwzorowa´n ga : R2 n f(0; 0)g ! R; ga (x; y) = x x2 + y 2 1 2ay 2 ; a 2 R n f0g : Zadanie 5.7 Zbada´c, czy 0 jest warto´scia¾regularna¾odwzorowa´n ga : R2 n f(0; 0)g ! R; ga (x; y) = x2 + y 2 3 a2 x 2 y 2 ; a 2 R n f0g : Zadanie 5.8 Wykaza´c, ·ze sfera S n jest n-wymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ klasy C 1 wykazujac, ¾ ·ze S n jest przeiwobrazem warto´sci regularnej pewnego odwzorowania. Wskazówka. Rozwa·zy´c odwzorowanie f : Rn+1 ! R, f (x1 ; :::; xn+1 ) = x21 + ::: + x2n+1 ; S n = f 1 (f1g). Zadanie 5.9 Pokaza´c, ·ze sfera S n = (x1 ; :::; xn+1 ) 2 Rn+1 : x21 + ::: + x2n+1 = 1 jest nwymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ z mapami „rzuty stereogra…czne" h+ , h okre´slonymi przez przeciecie ¾ pó÷prostych wychodzacych ¾ z bieguna i przechodzacych ¾ przez punkt wspólny sfery z hiperp÷aszczyzna¾styczna¾do sfery w przeciwleg÷ym biegunie (rys.). Znale´z´c wzory bezpo´srednie map h+ , h oraz parametryzacji (h+ ) 1 , (h ) 1 . Znale´z´c funkcje przej´scia. Wsk. 2xn 2x1 ; :::; 1 xn+1 1 xn+1 ! 2 4y jjyjj 4 4y 1 n (h+ ) 1 : Rn ! S n n f(0; :::; 0; 1)g, (h+ ) 1 (y) = ; 2 ; :::; 4 + jjyjj 4 + jjyjj2 4 + jjyjj2 2x1 2xn h : S n n f(0; :::; 0; 1)g ! Rn , h (x) = ; :::; 1 + xn+1 1 + xn+1 ! 2 4y 4y 4 jjyjj 1 n 1 1 (h ) : Rn ! S n n f(0; :::; 0; 1)g, (h ) (y) = ; :::; ; 4 + jjyjj2 4 + jjyjj2 4 + jjyjj2 Funkcje przejścia 4 h+ (h ) 1 : Rn n f0g ! Rn n f0g, h+ (h ) 1 (y) = y jjyjj h+ : S n n f(0; :::; 0; 1)g ! Rn , h+ (x) = Zadanie 5.10 S 2 jest jest dwuwymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ w R3 . Udowodni´c, ·ze odwzorowanie : R2 ! R3 dane wzorem (u; v) = 4u 4v 4 u2 v 2 ; ; 4 + u 2 + v 2 4 + u 2 + v 2 4 + u2 + v 2 jest parametryzacja¾sfery S 2 . 2 Zadanie 5.11 Niech U1 = f(x; y) 2 R2 : x2 + y 2 < 1g. Pokaza´c, ·ze odwzorowanie p 3 1 x2 y 2 1 : U1 ! R , 1 (x; y) = x; y; jest parametryzacja¾S 2 . Pokaza´c, ·ze S 2 jest hiperpowierzchnia¾rozwa·zajac ¾ sze´s´c parametryzacji powy·zszego typu (rys.). Zadanie 5.12 Wykaza´c, ·ze f 1 (0) jest hiperpowierzchnia¾klasy C 1 , gdzie: a) f : R3 ! R, f (x; y; z) = x2 + y 2 z2 1, b) f : R3 ! R, f (x; y; z) = x2 z2 1, y2 c) f : R3 ! R, f (x; y; z) = x3 + 2y 3 + z 3 + 6x2 y 1. Zadanie 5.13 Wykaza´c, ·ze dowolna hiperp÷aszczyzna k-wymiarowa H w Rm jest k-wymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾klasy C 1 . k-wymiarowa¾ (k m) hiperp÷ aszczyzna¾ w Rm prechodzac ¾ a¾ przez punkt xo 2 Rm i równoleg÷ a¾ do k-wymiarowej podprzestrzeni liniowej Vo Rm nazywamy zbiór H = fxo + x 2 Rm : x 2 Vo g : (1) Wymiarem hiperp÷ aszczyzny (1) nazywamy dim Vo . H moz·na przedstawić w postaci ( ) k X H = x 2 Rm : 9t1 ; :::; tk 2 R x = xo + ti Y i ; i=1 gdzie Y 1 ; :::; Y k Rm jest zbiorem liniowo niezalez·nym w przestrzeni wektorowej Rm . 3 Niech H bedzie ¾ zbiorem postaci (1) jak w powyz·szej de…nicji. Jako parametryzacje¾ moz·na wziać ¾ wówczas odwzorowanie k :R !H m R ; o (t1 ; :::; tk ) = x + k X ti Y i : i=1 Zbiorem wartości jest Rk = H. Róz·nowartościowość wynika z linowej niezalez·ności zbioru Y 1 ; :::; Y k . Istotnie, weźmy dowolne punkty s; t 2 Rk , dla których (s) = (t). Wówczas xo + k X si Y i = x o + i=1 k X (si i=1 k X ti Y i i=1 ti ) Y i = 0 2 Rm ; skad ¾ z liniowej niezalez·ności zbioru Y 1 ; :::; Y k w przestrzeni wektorowej Rm wynika, z·e si = ti dla kaz·dego i 2 f1; :::; kg, wiec ¾ s = t. Ponadto z liniowej niezalez·ności tego zbioru wynika, z·e dla dowolnego t = (t1 ; :::; tk ) 2 Rk macierz Jacobiego odwzorowania 3 2 Y1k Y11 Y12 Y13 6 Y1 Y2 Y3 Y2k 7 2 2 7 6 2 1 2 jY k 2 M (m k) (J )t = 6 .. .. .. . . .. 7 = Y jY j 5 4 . . . . . Ymk Ym1 Ym2 Ym3 ma rzad ¾ maksymalny równy k (Y p = (Y1p ; Y2p ; :::; Ymp )). Zatem jest odwzorowaniem regularnym. Funkcja¾ odwrotna¾ do jest wielomian ' : H ! Rk – jest wiec ¾ funkcja¾ ciag÷ ¾ a. ¾ jako 1 k regularny homeomor…zm klasy C z R na H jest parametryzacja¾ H. Zatem H jest kwymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ klasy C 1 w Rm z jedna¾ parametryzacja¾ . Przyk÷ ad 1-wymiarowa¾ hiperp÷ aszczyzna¾ w R3 jest kaz·da prosta l = (xo ; yo ; zo ) + t (a; b; c) 2 R3 : t 2 R , gdzie (a; b; c) 6= 0R3 , (xo ; yo ; zo ) 2 R3 : Za÷ óz·my, z·e c 6= 0. Parametryzacja¾l jest odwzorowanie R 3 t 7 ! (xo ; yo ; zo ) + t (a; b; c) 2 l, z zo zaś odpowiadajaca¾ jej mapa¾ jest l 3 (x; y; z) 7 ! 2R c Zadanie (m 1)-wymiarowej hiperp÷aszczyzny w Rm ) Niech ( 5.14 (Przypadek szczególny ) m X H = (x1 ; :::; xm ) 2 Rm : a0 + ai xi = 0 dla pewnych a0 ; a1 ; :::; am 2 R, dla których m X i=1 (m i=1 jai j > 0 (co najmniej jedna z liczb a1 ; :::; am jest ró·zna od zera). Wykaza´c, ·ze H jest 1)-wymiarowa¾hiperpowierzchnia¾klasy C 1 w Rm . 4 H= ( (x1 ; :::; xm ) 2 Rm : a0 + dla pewnych a0 ; a1 ; :::; am 2 R, dla których m X i=1 m X ) ai x i = 0 i=1 jai j > 0 (co najmniej jedna z liczb a1 ; :::; am jest róz·na od zera). Jez·eli as 6= 0 dla pewnego s 2 f1; :::; mg, to punkt (a1 ; :::; am ), gdzie ak = do H: Zatem H 6= ?. De…niujemy odwzorowanie f : Rm ! R, f (x1 ; :::; xm ) = a0 + Zauwaz·my, z·e H = f 1 m X a0 as k s nalez·y ai x i : i=1 (0). Ponadto dla dowolnego x = (x1 ; :::; xm ) rzad ¾ macierzy Jacobiego (Jf )x = [a1 ; a2 ; :::; am ] równy jest 1, bo co najmniej jedna z liczb a1 ; :::; am jest róz·na od zera. Skoro rzad ¾ macierzy Jacobiego w kaz·dym punkcie jest maksymalny, to kaz·da wartość f jest regularna. Skoro H = f 1 (f0g) jest niepustym podzbiorem Rm , 0 jest wartościa¾ regularna¾ odwzorowania f : Rm ! R klasy C 1 , to z twierdzenia o przeciwobrazie wartości regularnej wynika, z·e f 1 (f0g) jest (m 1)-wymiarowa¾ hiperpowierzchnia¾ klasy C 1 w Rm . Zadanie 5.15 Niech L R2 bedzie ¾ 1-wymiarowa¾hiperpowierzchnia¾w R2 o parametryzacji k c = (x; y) : (a; b) ! L klasy C (k 1), gdzie x > 0. Wykaza´c, ·ze powierzchnia obrotowa powsta÷a z obrotu L wokó÷osi OY jest hiperpowierzchnia¾2-wymiarowa¾klasy C k . Wskazówka: Wykorzystać twierdzenie: Jez·eli jest otwartym podzbiorem Rn , F : ! Rm odwzorowaniem klasy C k , Q Rm hiperpowierzchnia¾wymiaru r oraz kaz·dy punkt y 2 Q jest wartościa¾ regularna¾ odwzorowania F , to F 1 [Q] jest tez· hiperpowierzchnia¾ kl. C k wymiaru dim F 1 [Q], gdzie n dim F 1 [Q] = m dim Q. Zadanie 5.16 (Powierzchnia obrotowa) Wykaza´c, ·ze obracajac ¾ wokó÷osi Oz jednowymi3 k arowa¾hiperpowierzchnie¾ L (krzywa) ¾ w R klasy C zawart (0; 1) f0g o n a¾w pó÷p÷aszczy´znie p 3 R otrzymamy dwuwymiarowa¾hiperpowierzchnie¾ M = (x; y; z) 2 R ; x2 + y 2 ; z 2 L klasy C k . p Wskazówka. Rozwa·zy´c odwzorowanie F : R3 nosOz ! R2 ; F (x; y; z) = x2 + y 2 ; z ; dla którego F 1 (L) = M . Uwaga. Je´sli L jest zadana równaniem uwik÷anym f (x; z) = 0, tzn. L = f 1 (0) dla warto´sci regularnej 0 dla pewnej funkcji f : D ! R klasy C k , gdzie D (0; 1) R, to p M = G 1 (0), gdzie G (x; y; z) = f x2 + y 2 ; z . Zadanie 5.17 Pokaza´c, ·ze torus T powsta÷y z obrotu okregu ¾ K o równaniu (x 2 R (r < R ) wokó÷osi Oz jest dwuwymiarowa¾hiperpowierzchnia.¾ Równanie torusa: p x2 + y 2 ; z 2 K; 5 r)2 + z 2 = tj. p x2 + y 2 2 r + z 2 = R2 : Zauwa·zy´c, ·ze 0 jest warto´scia¾ regularna¾ odwzorowania G : R3 nosOz ! R, G (x; y; z) = 2 p x2 + y 2 r + z 2 R 2 . Zadanie 5.18 Rozwa·zmy iloczyn kartezja´nski S 1 S 1 R4 , tj. dwuwymiarowa¾ hiper4 1 1 powierzchnia w R : Pokaza´c, ·ze S S jest dyfeomor…czna z torusem T . Wskazówka. Rozwa·zy´c odwzorowanie : R3 n f(0; 0; z) : z 2 Rg ! R4 ; p x2 + y 2 x y (x; y; z) = p ;p ; R x2 + y 2 x2 + y 2 r z ; R ! ; 0 < r < R: jest klasy C 1 oraz (T ) S 1 S 1 : Rozwa·zy´c takie odwzorowanie : R4 ! R3 klasy C 1 , ·ze (u; v; w; t) = (u (Rw + r) ; v (Rw + r) ; Rt). (S 1 S 1 ) T oraz jT : T ! S 1 S 1 i jS 1 S 1 : S 1 S 1 ! T sa¾wzajemnie odwrotne. Zadanie 5.19 Korzystajac ¾ z twierdzenia o warto´sciach regularnych pokaza´c, ·ze zbiór n o 2 3 2 2 2 2 2 T = (x; y; z) 2 R : x + y + z + 3 = 16 x + y jest 2-wymiarowa¾ hiperpowierzchnia.¾ Pokaza´c, ·ze jest to torus powsta÷y z obrotu okregu ¾ 2 2 (y 2) + z = 1 dooko÷a osi Oz. Znale´z´c atlas T z÷o·zony z trzech map. Zadanie 5.20 Wykaza´c, ·ze na zwartej hiperpowierzchni nie istnieje atlas z jedna¾mapa.¾ Zadanie 5.21 Sprawdzi´c, ·ze zbiór x2 y2 + z3 = 1 opisuje powierzchnie. ¾ Znale´z´c jej pewna¾parametryzacje¾ w otoczeniu punktu (0; 1; 0). Zadanie 5.22 Niech a; b 2 R n f0g. Korzystajac ¾ z twierdzenia o przeciwobrazie warto´sci 1 1 regularnej pokaza´c, ·ze podzbiory f (0), g (0), h 1 (0) sa¾ hiperpowierzchniami kl. C 1 w R3 , gdzie f : R3 ! R; g : R3 ! R; h : R 3 ! R2 ; Pokaza´c, ·ze h 1 (x; y; z) 7 ! x2 + y 2 a2 ; z sinh ; b 2 2 (x; y; z) 7 ! x + y a2 ; y (x; y; z) 7 ! y sinh z : b (0) jest linia¾´srubowa.¾ Zadanie 5.23 Niech a > 0. Korzystajac ¾ z twierdzenia o przeciwobrazie warto´sci regularnej 1 pokaza´c, ·ze podzbiory M = f (0), N = g 1 (0), oraz M \ N sa¾ hiperpowierzchniami kl. C 1 w R3 , gdzie f : R3 ! R; g : R3 ! R; (x; y; z) 7 ! x2 + y 2 + z 2 a2 ; (x; y; z) 7 ! x2 + y 2 2ax: 6 Zadanie 5.24 Korzystajac ¾ z twierdzenia o przeciwobrazie warto´sci regularnej pokaza´c, ·ze 1 M = h (0) jest krzywa¾kl. C 1 , gdzie h : R3 ! R2 ; (x; y; z) 7 ! x2 + y 2 + z 2 1; x2 + y 2 2x : Zadanie 5.25 Wykaza´c, ·ze hiperpowierzchniami klasy C 1 w R3 sa¾zbiory: D = f(x; y; z) 2 R3 : x3 + y 3 + z 3 E = f(x; y; z) 2 R3 : x2 2xyz = 1g, y 2 + 2xz 2yz = 1; 2x y + z = 0g, F = f(x; y; z) 2 R3 : y 3 + z 4 = 2; x2 + z = 2g, G = f(x; y; z) 2 R3 : x2 xy 4yz H = f(x; y; z) 2 R3 : xy = z 2 8z 2 4z + 2y = 0; xz = 1g : 3; yz = x + x2 g : Wskazówka. Przedstaw te podzbiory R3 jako przeciwobrazy wartości regularnych pewnych odwzorowań –niekoniecznie określonych na ca÷ ej przestrzeni R3 . Zadanie 5.26 Wykaza´c, ·ze je·zeli funkcja F : Rn f : Rn ! R, 1 ! R jest klasy C 1 , to funkcja f (x1 ; :::; xn ) = F (x1 ; :::; xn 1 ) de…niuje strukture¾ hiperpowierzchni f 1 xn (0) klasy C 1 w Rn . 2 Zadanie 5.27 Zbiór Rn uto·zsamiamy ze zbiorem M (n; R) rzeczywistych macierzy n Pokaza´c, ·ze dla funkcji det : M (n; R) ! R n. ka·zda liczba ró·zna od zera jest warto´scia¾regularna.¾ Wywnioskowa´c stad, ¾ ·ze SL (n; R) = fA 2 M (n; R) : det A = 1g 2 jest hiperpowierzchnia¾w Rn . Zadanie 5.28 Wykaza´c, ·ze O (n) = A 2 M (n; R) : AT A = I 2 w Rn wymiaru 21 n (n 1). jest hiperpowierzchnia¾ Wskazówka. Dla dowolnej macierzy A 2 M (n; R) macierz AT A jest symetryczna. Zbiór 1 macierzy symetrycznych moz·na identy…kować z przestrzenia¾ R 2 n(n+1) . Rozwaz·yć moz·na 1 2 odwzorowanie h : Rn ! R 2 n(n+1) , h (A) = AT0A, dla którego O (n) = h 1 (I); 1 oczywiście 1 identy…kujac ¾ macierz jednostkowa¾I z punktem @1; 0; :::; 0; 1; 0; :::; 0; :::; 1; 0 ; 1A 2 R 2 n(n+1) . | {z } | {z } |{z} n 7 n 1 2