Funkcja – podstawowe pojęcia i własności.

Funkcja – podstawowe pojęcia i własności. 1. Definicja funkcji. Załóżmy, że mamy dwa niepuste zbiory X i Y (X,Y≠∅), można sformułować dwie równoważne definicje funkcji: i) jeśli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkowany jest dokładnie jeden element ze zbioru Y i każdemu elementowi ze zbioru Y przynajmniej jeden element ze zbioru X, to mówimy, że zostało określone odwzorowanie zbioru X na zbiór Y. ii) jeśli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkowany jest dokładnie jeden element ze zbioru Y, to mówimy, że zostało określone odwzorowanie zbioru X w zbiór Y. Funkcję najczęściej zapisujemy: f: X→Y lub y= f(x), gdzie x∈X, y∈Y Zbiór X tych elementów, dla których funkcja jest określona nazywa się zbiorem argumentów funkcji lub dziedziną funkcji. Powyższe pojęcia wprowadzone są intuicyjnie. Ścisła definicja funkcji sformułowana jest za pomocą pojęć teorii mnogości: Niech X i Y będą dowolnymi zbiorami. Jeżeli relacja ρ ⊂ XxY spełnia warunek: dla każdego x∈X istnieje dokładnie jeden element y∈Y, taki że xρy, to relację tę nazywamy funkcją. 2. Monotoniczność funkcji. Funkcję f: XöY nazywamy: i)
rosnącą (ściśle rosnącą), jeżeli: ∧ x<y ⇒ f(x)< f(y) x,y∈X ii) malejącą (ściśle malejącą), jeżeli: ∧ x<y ⇒ f(x)> f(y) x,y∈X iii) niemalejącą, jeżeli: ∧ x<y ⇒ f(x) ≤ f(y) x,y∈X iv) nierosnącą, jeżeli: ∧ x<y ⇒ f(x) ≥ f(y) x,y∈X v) stałą, jeżeli: ∧ x<y ⇒ f(x) = f(y) x,y∈X MB Funkcja – podstawowe pojęcia i własności 3. Parzystość i nieparzystość funkcji. Funkcję nazywamy: i)
parzystą, jeżeli: ∧ f(x) =f(‐x) (własność – wykres symetryczny względem osi OY) x,‐x∈X ii) nieparzystą, jeżeli: ∧
‐ f(x) =f(‐x) (własność – wykres symetryczny względem początku układu) x,‐x∈X Oczywiście w obu powyższych definicjach zakłada się, że zbiór X jest symetryczny względem 0, to znaczy ∧ ‐x∈X. x ∈X
4. Funkcja różnowartościowa. Funkcję nazywamy różnowartościową, jeżeli: ∧ x≠ y ⇒ f(x) ≠f(y) x,y ∈X 5. Funkcja odwrotna. Jeśli funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y i jest różnowartościowa to funkcję x= f –1(y), gdzie f –1:Y→X, nazywamy funkcją odwrotną do funkcji y= f(x). Jeśli funkcja g jest funkcją odwrotną do f to zachodzi równość: g(f(x))=x. Wykres funkcji odwrotnej jest symetryczny względem prostej y=x. 6. Funkcja złożona (superpozycja funkcji). Jeśli dane są dwie funkcje f: X→Y i g: Y→Z to dla każdego elementu x∈X istnieje dokładnie jeden taki element z∈Z, że z=g(f(x)). Funkcje f i g wyznaczają nową funkcję h: X→Z określoną h(x) : g° f =g(f(x)) . Funkcję h nazywamy funkcją złożoną z funkcji f i g. Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną funkcji złożonej, a funkcję g funkcją zewnętrzną funkcji złożonej. 7. Funkcja okresowa: Funkcję f: XöY nazywamy okresową, jeśli istnieje taka liczba t>0 (nazywana okresem funkcji), że ∧ x+t∈X f(x)=f(x+t) x∈X ⁄
Najmniejsza liczba t spełniająca powyższy warunek nazywana jest okresem podstawowym. 2
MB Funkcja – podstawowe pojęcia i własności 8. Wykresy wybranych funkcji: i)
trygonometrycznych: 1
fHxL=sinx
1
2
−2π
−
3
π
2
−π
−
π
2
π
2
−
π
3
π
2
2π
1
2
−1
1
fHxL=cos x
1
2
−2π
−
3
π
2
−π
−
π
2
π
2
π
3
π
2
2π
−1
2
−1
fHxL=tg x
è!!
3!
1
−π
−
π
2
−1!
−è!!
3
π
2
π
fHxL=ctg x
è!!!
3
1
−π
π
−
2
−1
−è!!!
3
π
2
π
3
MB Funkcja – podstawowe pojęcia i własności ii) wykładniczej: fHxL=ax dla aeH1,¶L
fHxL=ax dla aeH0,1L
1
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
−4
4
−3
−2
−1
1
2
3
1
2
3
4
fHxL=ax dla a=1
1
−4
−3
−2
−1
4
iii) logarytmicznej: fHxL=logax dla aeH0,1L
1
1
2
3
4
1
1
fHxL=logax dla aeH1,¶L
2
3
4
4
MB Funkcja – podstawowe pojęcia i własności iv) cyklometrycznych: π
2
−1
−1
2
fHxL=arcsinx
1
2
1
−π
2
π
π
2
−1
−1
2
fHxL=arccos x
1
2
1
π
2
π
fHxL=arctg x
−1
−π
2
π
2
1
fHxL=arcctg x
−1
1
5
MB