Momenty bezwładności cząsteczek Obliczyć moment bezwładności

Wektory, kinematyka, dynamika ruchu postępowego
Zadanie 1
Dwie stałe siły, F1 = [1,1,0] N oraz F2 = [2,2,0] N działają równocześnie na cząstkę o wektorze
położenia r = [0,0,2]. Znaleźć moment siły wypadkowej względem początku układu
współrzędnych.
Zadanie 2
Na cząstkę działają dwie siły: siła F1 skierowana poziomo (wzdłuż osi OX) o wartości trzech
niutonów i siła F2 skierowana pionowo (wzdłuż osi OY) o wartości czterech niutonów. Obliczyć
pracę wykonaną przez siłę wypadkową przy przesunięciu cząstki z punktu A (0,0,0) m do
punktu B(3,4,0) m.
Zadanie 3
Wyprowadzić wzór na zasięg w rzucie ukośnym.
Zadanie 4
Wyprowadzić wzór na zasięg w rzucie poziomym z wieży o wysokości h. Prędkość kamienia jest
równa v0 a przyspieszenie ziemskie wynosi g.
Zadanie 5
Klocek o masie m znajduje się na równi pochyłej o kącie nachylenia α i współczynniku tarcia
kinetycznego μ. Jaka pozioma zewnętrzna siła F powinna być przyłożona do klocka, aby klocek
przesuwał się ku górze równi ruchem prostoliniowym jednostajnym ? Przyspieszenie ziemskie
jest równe g. Założyć, że równia pochyła jest nieruchoma.
Momenty bezwładności cząsteczek
Zadanie 1
Obliczyć moment bezwładności cząsteczki CO2 względem osi obrotu prostopadłej do osi
cząsteczki i przechodzącej przez atom węgla. Cząsteczka CO2 jest liniowa. Długość
wiązania C-O wynosi l=1.13×10-10 m.
Odp.: I= 2mOl2 = 6.8×10-46 kg m2
Zadanie 2
W cząsteczce H2O długość wiązania H-O wynosi l=0.96×10-10m a kąt między wiązaniami
H-O wynosi α=104.5°. Obliczyć moment bezwładności cząsteczki wody: a) względem jej
osi symetrii, b) względem osi obrotu prostopadłej do płaszczyzny cząsteczki i
przechodzącej przez atom tlenu.
Odp.: a) I= 2mH(lsin(α/2))2=1.9×10-47 kg m2; b) I= 2mHl2 = 3.1×10-47 kg m2
Zadanie 3
Udowodnić, że moment bezwładności układu, składającego się z dwóch mas punktowych
m1 i m2 zamocowanych w odległości wzajemnej l, względem osi prostopadłej
przechodzącej przez środek masy układu wynosi I=ml2, gdzie m jest zredukowaną masą
układu, 1 = 1 + 1 . Zastosować ten wzór:
m
m1
m2
a) do cząsteczki CO, gdzie l=1.128×10-10 m,
b) do cząsteczki NO, gdzie l=1.115×10-10 m
Odp.: a) ICO=1.45×10-46 kg m2.
Zadanie 4
Obliczyć moment bezwładności cząsteczki azotu względem osi głównej prostopadłej do wiązania
N-N. Długość wiązania N-N wynosi 1.094×10-10m.
Zadanie 5
Obliczyć moment bezwładności cząsteczki tlenu względem osi głównej prostopadłej do wiązania
O-O. Długość wiązania O-O wynosi 1.207×10-10m.
Zadanie 6
Obliczyć średnią prędkość ruchu postępowego cząsteczki azotu w temperaturze pokojowej
300K. Stała Boltzmanna wynosi 1.38×10-23 J/K.
Zadanie 6
Obliczyć średnią prędkość kątową wirowania cząsteczki azotu w temperaturze pokojowej 300K.
Stała Boltzmanna wynosi 1.38×10-23 J/K.
Dynamika ruchu obrotowego
Zadanie 1
Do obwodu krążka jednorodnego o promieniu R=0.2m jest przyłożona siła styczna F=98.1N. W
ruchu obrotowym na krążek działa moment sił tarcia Mt=4.9 Nm. Znaleźć ciężar krążka, jeżeli
wiruje on ze stałym przyspieszeniem kątowym ε=100 rad/s2.
Zadanie 2
Do obwodu tarczy o promieniu 0.5 m i masie 50 kg jest przyłożona siła styczna 98.1 N. Obliczyć
czas od rozpoczęcia działania siły, po upływie którego tarcza osiągnie częstotliwość 100 obr./s.
Zadanie 3
Pręt jednorodny o długości 1m i ciężarze 0.5kG obraca się w płaszczyznie pionowej wokół osi
poziomej przechodzącej przez jego środek. Z jakim przyspieszeniem kątowym obraca się pręt,
jeśli moment obrotowy równa się 9.81×10-2 Nm ?
Zadanie 4
Koło, obracające się ruchem jednostajnie opóźnionym, przy hamowaniu zmniejszyło w ciągu
jednej minuty swoją częstotliwość od 300 obr./min do 180 obr./min. Moment bezwładności tego
koła wynosi 2 kg·m2. Obliczyć pracę hamowania.
Zadanie 5
Na koło obracające się z częstotliwością 1600 obr./min zadziałał moment sił tarcia równy 10N·m.
W czasie działania tego momentu sił częstotliwość zmalała do 800 obr./min. Ile obrotów
wykonało koło w tym czasie? Masa koła wynosi 100 kg a jego promień jest równy 0.6 m. Koło
traktować jako tarczę.
Zadanie 6
Koło zamachowe wiruje wykonując 10 obrotów w ciągu jednej sekundy a jego energia
kinetyczna wynosi 7850 J. W jakim czasie moment obrotowy o wartości 50 Nm przyłożony do
tego koła zwiększy trzykrotnie jego częstotliwość wirowania?
Zadanie 7
Koło zamachowe zaczyna obracać się ze stałym przyspieszeniem kątowym 0.5 rad/s2 i po czasie
15s od rozpoczęcia ruchu uzyskuje moment pędu równy 73.5 kg m2/s. Znaleźć energię
kinetyczną koła po upływie 20s od rozpoczęcia ruchu.
Zadanie 8
Na bębnie o promieniu 20cm i o momencie bezwładności 0.1 kgm2 jest nawinięty sznur, do
którego jest przywiązany odważnik o masie 0.5kg. Przed rozpoczęciem obrotu bębna odważnik
znajdował się 1 m nad podłogą. Obliczyć energię kinetyczną odważnika w chwili zderzenia z
podłogą. Tarcie należy zaniedbać.
Zadanie 9
Na bębnie o promieniu 0.5 m jest nawinięty sznur , na którego końcu przywiązany jest odważnik
o masie 10 kg. Obliczyć moment bezwładności bębna, jeżeli odważnik opada z przyspieszeniem
2.04 m/s2.
Zadanie 10
Znaleźć moment bezwładności i moment pędu kuli ziemskiej względem osi obrotu. Masa kuli
ziemskiej M=6×1024 kg a promień Ziemi R=6370 km.
Zadanie 11
Energia kinetyczna wału wirującego ze stałą częstotliwością 5 obr/s wynosi 60 J. Znaleźć
moment pędu tego wału.
Zadanie 12
Wentylator wiruje z częstotliwością 900 obr./min. Po wyłączeniu wentylator obraca się ruchem
jednostajnie opóźnionym i do chwili zatrzymania się wykonuje 75 obrotów. Praca sił hamowania
równa się 44,4J. Obliczyć moment sił hamowania.
Zadanie 13
O jaki kąt należy odchylić pręt jednorodny o długości 1m zawieszony na osi poziomej,
przechodzącej przez jego górny koniec, aby dolny koniec pręta w chwili przechodzenia przez
położenie równowagi osiągnął prędkość 5m/s ?
Zasada zachowania momentu pędu
Zadanie 1
Stolik poziomy o masie 80kg i promieniu 1m wiruje z częstotliwością 20 obr./min. Na środku
stolika stoi człowiek i trzyma hantle w wyciągniętych rękach. Ile obrotów na minutę będzie
wykonywał stolik, jeśli człowiek opuściwszy ręce zmniejszy swój moment bezwładności od 2.94
kgm2 do 0.98 kgm2 ?Stolik uważać za krążek jednorodny.
Zadanie 2
Poziomy stolik wirujący o masie 100 kg i promieniu 1.5m obraca się wokół pionowej osi
przechodzącej przez jego środek z częstotliwością 10 obr./min. Człowiek o masie 60 kg stoi
wówczas na środku stolika. Ile obrotów na minutę będzie wykonywał stolik, jeśli człowiek
przejdzie ze środka stolika na jego skraj ? Stolik uważać za krążek jednorodny, a człowieka – za
masę punktową.
Zadanie 3
Poziomy stolik wirujący o masie 100 kg i promieniu 1.5m obraca się wokół pionowej osi
przechodzącej przez jego środek z częstotliwością 22 obr./min. Człowiek o masie 60 kg stoi
wówczas na środku stolika. Ile obrotów na minutę będzie wykonywał stolik, jeśli człowiek
przejdzie ze środka stolika na jego skraj ? Stolik uważać za krążek jednorodny, a człowieka – za
masę punktową.
Zadanie 4
Człowiek o masie 60kg znajduje się na nieruchomej obrotnicy o masie 100kg i promieniu 10m.
Jaką prędkość kątową będzie miała obrotnica, jeżeli człowiek będzie się poruszał wokół osi
obrotu po okręgu o promieniu 5m z prędkością 4km/godz względem obrotnicy. Obrotnicę
rozpatrywać jako krążek jednorodny a człowieka – jako masę punktową.
Zadanie 5
Po brzegu tarczy, obracającej się w kierunku ruchu wskazówek zegara z częstotliwością
f0=1obr./min., porusza się w kierunku przeciwnym z prędkością liniową 7.2km/godz. względem
tarczy, człowiek o masie 60kg. Promień tarczy wynosi 10m a jej masa – 100kg. W pewnej chwili
człowiek zatrzymał się. Ile obrotów w ciągu jednej minuty wykonywać będzie tarcza po
zatrzymaniu się człowieka?
Zadanie 6
Belka o długości 3m i masie 30kg może swobodnie obracać się wokół poziomej osi przechodzącej
przez jeden z jego końców. W środek masy belki uderza pocisk o masie 100g, poruszający się z
prędkością 300 m/s prostopadle do belki i jej osi obrotu. Pocisk utkwił w belce. obliczyć
prędkość kątową belki bezpośrednio po zderzeniu.
Toczenie bryły obrotowej bez poślizgu
Zadanie 1
Kula o masie 1kg tocząca się bez poślizgu zderza się ze ścianką i toczy się z powrotem. Prędkość
kuli przed zderzeniem ze ścianką wynosi 10cm/s a po zderzeniu - 8cm/s. Obliczyć ilość ciepła
wydzielającego się w tym zderzeniu.
Zadanie 2
Obliczyć energię kinetyczną rowerzysty jadącego z prędkością 9 km/godz. Masa rowerzysty
wraz z rowerem wynosi 78kg, przy czym na masę kół przypada 3kg.. Koła roweru rozpatrywać
jako obręcze.
Zadanie 3
Walec o masie m stacza się bez poślizgu z równi pochyłej o kącie nachylenia α. Wyznaczyć siłę
tarcia. Przyspieszenie ziemskie wynosi g.
Zadanie 4
Drewniany pełny walec i metalowy cylinder o takich samych masach i promieniach wtaczają się
bez poślizgu na równię pochyłą. Prędkości obu brył u podstawy równi są takie same. Która z
tych brył wtoczy się wyżej?