Co ma piekarz do matematyki?

Transkrypt

Bartosz Frej
Instytut Matematyki i Informatyki
Politechnika Wrocławska
Dolnośląski Festiwal Nauki
Wrzesień 2009
Bartosz Frej
x
Bartosz Frej
x
(x1 , x2 )
Bartosz Frej
x
(x1 , x2 )
(x1 , x2 , x3 )
Bartosz Frej
x
(x1 , x2 )
(x1 , x2 , x3 )
(x1 , x2 , x3 , x4 )
..
.
Bartosz Frej
x
d(x, y) = |x − y|
(x1 , x2 )
(x1 , x2 , x3 )
(x1 , x2 , x3 , x4 )
..
.
Bartosz Frej
x
(x1 , x2 )
d(x, y) = |x − y|
d(x, y) =
p
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2
(x1 , x2 , x3 )
(x1 , x2 , x3 , x4 )
..
.
Bartosz Frej
d(x, y) = |x − y|
x
(x1 , x2 )
(x1 , x2 , x3 )
d(x, y) =
d(x, y) =
p
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2
p
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2
(x1 , x2 , x3 , x4 )
..
.
Bartosz Frej
d(x, y) = |x − y|
x
(x1 , x2 )
(x1 , x2 , x3 )
(x1 , x2 , x3 , x4 )
p
d(x, y) =
d(x, y) =
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2
p
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2
d(x, y) =
..
.
p
(x1 − y1 )2 + ... + (x4 − y4 )2
..
.
Bartosz Frej
d(x, y) = |x − y|
x
(x1 , x2 )
(x1 , x2 , x3 )
(x1 , x2 , x3 , x4 )
p
d(x, y) =
d(x, y) =
p
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2
p
(x1 − y1 )2 + ... + (x4 − y4 )2
d(x, y) =
..
.
(x1 , x2 , ..., xn )
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2
..
.
d(x, y) =
p
Bartosz Frej
(x1 − y1 )2 + ... + (xn − yn )2
d(x, y) = |x − y| =
x
(x1 , x2 )
(x1 , x2 , x3 )
(x1 , x2 , x3 , x4 )
p
d(x, y) =
d(x, y) =
(x − y)2
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2
p
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2
p
(x1 − y1 )2 + ... + (x4 − y4 )2
d(x, y) =
..
.
(x1 , x2 , ..., xn )
p
..
.
d(x, y) =
p
Bartosz Frej
(x1 − y1 )2 + ... + (xn − yn )2
d(x, y) = |x − y| =
x
(x1 , x2 )
(x1 , x2 , x3 )
(x1 , x2 , x3 , x4 )
p
d(x, y) =
d(x, y) =
(x − y)2
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2
p
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2
p
(x1 − y1 )2 + ... + (x4 − y4 )2
d(x, y) =
..
.
(x1 , x2 , ..., xn )
p
..
.
d(x, y) =
p
(x1 − y1 )2 + ... + (xn − yn )2
Odcinek między x a y to zbiór punktów postaci
x + t · (y − x), gdzie t ∈ [0, 1].
Bartosz Frej
d(x, y) = |x − y| =
x
(x1 , x2 )
(x1 , x2 , x3 )
(x1 , x2 , x3 , x4 )
p
d(x, y) =
d(x, y) =
(x − y)2
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2
p
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2
p
(x1 − y1 )2 + ... + (x4 − y4 )2
d(x, y) =
..
.
(x1 , x2 , ..., xn )
p
..
.
d(x, y) =
p
(x1 − y1 )2 + ... + (xn − yn )2
Odcinek między x a y to zbiór punktów postaci
x + t · (y − x), gdzie t ∈ [0, 1].
Kula o środku w x0 i promieniu r to zbiór punktów x, dla
których d(x0 , x) 6 r.
Bartosz Frej
Bartosz Frej
trzy współrzędne
położenia
Bartosz Frej
trzy współrzędne
położenia
trzy współrzędne pędu
(lub prędkości)
Bartosz Frej
trzy współrzędne
położenia
trzy współrzędne pędu
(lub prędkości)
w sumie stan układu to
punkt w R6
Bartosz Frej
Bartosz Frej
3k współrzędnych
położenia
Bartosz Frej
3k współrzędnych
położenia
3k współrzędnych pędu
(lub prędkości)
Bartosz Frej
3k współrzędnych
położenia
3k współrzędnych pędu
(lub prędkości)
w sumie stan układu to
punkt w przestrzeni
6k-wymiarowej
Bartosz Frej
111010010100100101001010000001010110101001010011100...
Bartosz Frej
111010010100100101001010000001010110101001010011100...
Podstawowa przestrzeń w teorii informacji to zbiór
wszystkich nieskończonych ciągów zerojedynkowych, czyli
{0, 1}Z . Jeden punkt jest charakteryzowany przez
nieskończenie wiele współrzędnych!
Bartosz Frej
111010010100100101001010000001010110101001010011100...
Pierwszy problem: szyfrowanie (kryptografia)
Bartosz Frej
111010010100100101001010000001010110101001010011100...
Pierwszy problem: szyfrowanie (kryptografia)
Drugi problem: kompresja danych
Bartosz Frej
Zbiór Cantora
Bartosz Frej
Zbiór Cantora
Bartosz Frej
Zbiór Cantora
Bartosz Frej
Zbiór Cantora
Bartosz Frej
Zbiór Cantora
Bartosz Frej
Zbiór Cantora
Bartosz Frej
Zbiór Cantora
Bartosz Frej
Zbiór Cantora
Bartosz Frej
Zbiór Cantora
Bartosz Frej
Zbiór Cantora
Bartosz Frej
Zbiór Cantora
Bartosz Frej
Bartosz Frej
Bartosz Frej
Bartosz Frej
Stała Avogadra – w jednym
molu gazu znajduje się około
6 · 1023 cząsteczek
Bartosz Frej
To jest 18 · 1023
współrzędnych;
dla uproszczenia – 1024
Bartosz Frej
To jest 18 · 1023
współrzędnych;
dla uproszczenia – 1024
1 mol gazu doskonałego w
typowych warunkach (20◦ C,
105 Pa) zajmuje 24 dm3
Bartosz Frej
Biblia „Tysiąclatka” zawiera
655 539 słów
Bartosz Frej
655 539 słów
Dla uproszczenia
przyjmijmy, że słów jest 106
i jedno słowo opisuje jedną
współrzędną
Bartosz Frej
655 539 słów
Dla uproszczenia
przyjmijmy, że słów jest 106
i jedno słowo opisuje jedną
współrzędną
Do opisu tego układu
potrzebujemy około
1024 /106 = 1017 tomów
wielkości Biblii!
Bartosz Frej
Musimy stawiać inne pytania!
Bartosz Frej
jakie jest prawdopodobieństwo, że układ w trakcie swojej
ewolucji będzie się znajdował w jednym ze stanów z
wyróżnionego zbioru (np. wszystkie cząstki w jednej
połówce pudełka)?
Bartosz Frej
czy stan układu będzie dążył do jakiegoś położenia
równowagi?
Bartosz Frej
czy stan układu będzie dążył do jakiegoś położenia
równowagi?
czy układ będzie miał tendencję do powracania do stanu
początkowego?
Bartosz Frej
Ludwig
1906):
Boltzmann
(1844–
związki między
termodynamiką a
mechaniką statystyczną
(statystyczna interpretacja
II zasady termodynamiki)
rozkład prędkości cząstek
gazu (rozkład
Maxwella-Boltzmanna)
Bartosz Frej
Josiah Willard Gibbs (1839–
1903):
mechanika statystyczna
(twórca tej nazwy)
chemia fizyczna
analiza wektorowa
Bartosz Frej
Paul Ehrenfest (1880–1933):
mechanika statystyczna a
fizyka atomowa
fizyka kwantowa
Bartosz Frej
Andriej Kołmogorow (1903–
1987):
rachunek
prawdopodobieństwa
mechanika
złożoność obliczeniowa
Bartosz Frej
George Birkhoff (1884–1944):
równania różniczkowe
teoria ergodyczna
Bartosz Frej
Teoria ergodyczna to dziedzina matematyki zajmująca się
badaniem przekształceń określonych na pewnych
abstrakcyjnych przestrzeniach, ze szczególnym uwzględnieniem
asymptotycznych własności tych przekształceń.
Bartosz Frej
Matematyczny model:
Bartosz Frej
Matematyczny model:
X — zbiór wszystkich stanów układu
Bartosz Frej
Matematyczny model:
Tt -– przekształcenia przestrzeni X (funkcje Tt : X → X)
odpowiadające upływowi czasu t,
tzn. po czasie t układ przechodzi od stanu x do stanu Tt (x)
Bartosz Frej
Matematyczny model:
Tt -– przekształcenia przestrzeni X (funkcje Tt : X → X)
odpowiadające upływowi czasu t,
tzn. po czasie t układ przechodzi od stanu x do stanu Tt (x)
Zakładamy, że Tt+s (x) = Tt (Ts (x)) dla każdego stanu x
Bartosz Frej
Upraszczając sytuację mierzymy stan układu jedynie co
pewien czas t0 , np. co sekundę, i zamiast zestawu
przekształceń Tt rozważamy tylko to jedno T = Tt0 .
Bartosz Frej
Upraszczając sytuację mierzymy stan układu jedynie co
pewien czas t0 , np. co sekundę, i zamiast zestawu
przekształceń Tt rozważamy tylko to jedno T = Tt0 .
Otrzymujemy układ dynamiczny (X, T), czyli zbiór z
działaniem pewnego przekształcenia.
Bartosz Frej
X – kwadrat, którego bokami są odcinki [0, 1)
Bartosz Frej
T – przekształcenie kwadratu, w którym kwadrat najpierw
ściskamy dwukrotnie w pionie, a następnie przekrawamy na
pół i jedną połówkę ustawiamy na drugiej
Bartosz Frej
Bartosz Frej
(
T(x, y) =
(2x, 21 y)
dla x <
1
(2x − 1, 2 y + 1) dla x >
Bartosz Frej
1
2
1
2
Rozważmy ciasto-kwadrat z nadzieniem.
Bartosz Frej
Bartosz Frej
Bartosz Frej
Definicja
Jeśli przez P(A) oznaczymy pole zbioru A, to przekształcenie
kwadratu T ma własność mieszania, gdy dla dowolnych zbiorów
A i B zachodzi:
P(A ∩ Tn B) → P(A) · P(B)
Bartosz Frej
Nie wszystkie przekształcenia tak ładnie mieszają
Bartosz Frej
(
T(x, y) =
(x + r, y)
gdy x + r < 1
(x + r − 1, y) w przeciwnym razie
Bartosz Frej
(
T(x, y) =
(x + r, y)
gdy x + r < 1
(x + r − 1, y) w przeciwnym razie
Bartosz Frej
{0, 1}Z – zbiór wszystkich ciągów zerojedynkowych
obustronnie nieskończonych
Bartosz Frej
{0, 1}Z – zbiór wszystkich ciągów zerojedynkowych
obustronnie nieskończonych
Każdy punkt z odcinka [0,1) można zakodować ciągiem
zerojedynkowym (zwykłym), a punkt z kwadratu ciągiem
obustronnie nieskończonym
...1001010
| {z } . 001010001...
|
{z
}
y
Bartosz Frej
x
...1001010
| {z } . 001010001...
|
{z
}
y
Bartosz Frej
x
...1001010
| {z } . 001010001...
|
{z
}
y
Bartosz Frej
x
...1001010
| {z } . 001010001...
|
{z
}
y
x
Mnożenie przez 2 to skasowanie pierwszej współrzędnej
Bartosz Frej
...1001010
| {z } . 001010001...
|
{z
}
y
x
Dzielenie przez 2 to dopisanie pierwszej współrzędnej 0
Bartosz Frej
...1001010
| {z } . 001010001...
|
{z
}
y
x
Liczby z [0, 12 ) mają współrzędna 0; dodawanie
zamiana tego 0 na 1
Bartosz Frej
1
2
to
...1001010
| {z } . 001010001...
|
{z
}
y
x
Liczby z [0, 12 ) mają współrzędna 0; dodawanie
zamiana tego 0 na 1
1
2
to
Przekształcenie piekarza na kwadracie to przesunięcie ciągu
o jedna pozycję w lewo(
(2x, 12 y)
dla x < 12
T(x, y) =
(2x − 1, 12 y + 1) dla x > 21
Bartosz Frej

Co ma piekarz do matematyki?

Transkrypt

Podobne dokumenty

1 690 000 337.24 m2 - Bartosz Piwowarski Inwestycje w

Marta Frej i Okulary Równości - Instytut Filologii Angielskiej

Praca-tymczasowa.pl - Piekarz

Załącznik do konkursu POLOWANIE NA MOTYLE Lista aktorów 1

Ochrona przed złośliwym oprogramowaniem

ZWRACAMY SIĘ DO WSZYSTKICH LUDZI