Zestaw 2

Podstawy fizyki: Elektryczność i magnetyzm
Zestaw 2
1. Prosze‘ pokazać, że
(
)
⃗r
= 4πδ (3) (⃗r),
r3
∫
gdzie δ (3) (⃗r) funkcja delta Diraca o wlasności d3 r f (⃗r) δ (3) (⃗r − ⃗a) = f (⃗a).
∇·
⃗ w calej przestrzeni, wytworzone przez
2. Korzystaja‘c z prawa Gaussa prosze‘ policzyć pole elektryczne E,
naste‘puja‘ce rozklady ladunków:
(a) jednorodnie naladowana nieskończona plaszczyzna,
(b) nieskończonie dlugi odcinek z jednorodnym liniowym rozkladem ladunku,
(c) nieskończenie dlugi walec o promieniu R z jednorodnym obje‘tościowym rozkladem ladunku.
3. Dwie jednakowe kulki, każda o masie m = 0.02 g, wisza‘ na zaczepionych w jednym punkcie nitkach o
dlugościach l = 0.2 m. Jedna‘ z kulek odchylono i naladowano, po czym kulki zetkne‘ly sie‘ ze soba‘. Po
osia‘gnie‘ciu stanu równowagi nitki, na których byly zawieszone kulki utowrzyly ka‘t α = π/3. Prosze‘
policzyć wielkość ladunku wprowadzonego pocza‘tkowo na pierwsza‘ kulke‘.
4. Dwa jednoimienne ladunki q1 = 7 × 10−10 C i q2 = 1.3 × 10−10 C znajduja‘ sie‘ w odleglości d = 6 cm od
siebie. W jakim miejscu pomie‘dzy nimi należy umieścić trzeci ladunek, aby caly uklad znajdowal sie‘ w
równowadze?
5. Prosze‘ obliczyć calke‘ krzywoliniowa‘ z funkcji ⃗v = ayêx + bxêy , gdzie a i b to stale, po krzywej w ksztalcie
okre‘gu o promieniu R i środku w punkcie (0, 0).
6. Zalóżmy, że w stanie podstawowym ladunek elektronu w atomie wodoru rozlożony jest z ge‘stościa‘ obje‘tościowa‘
(
)
e
2r
ρ(r) = − 3 exp −
,
πa0
a0
gdzie a0 = 0.53 × 10−10 m, zaś e to ladunek elementarny. Prosze‘ znaleźć pole elektryczne i potencjal
odpowiadaja‘cy rozkladowi ladunku w atomie wodoru.
7. Nie korzystaja‘c z prawa Gaussa, prosze‘ znaleźć nate‘żenie pola elektrycznego na symetralnej naladowanego
odcinka o dlugości l. Calkowity ladunek wynosi Q. Na podstawie rozwia‘zania ogólnego prosze‘ sprawdzić
co dzieje sie‘, gdy:
(a) badamy pole daleko od odcinka,
(b) badamy pole blisko odcinka,
(c) odcinek jest nieskończenie dlugi, tj. l → ∞.
8. Dwa ladunki punktowe q i −q znajduja‘ sie‘ w odleglości d od siebie. Prosze‘ znaleźć nate‘żenie i potencjal
pola elektrycznego w dużej odleglości r od środka dipola. Prosze‘ rozważyć przypadki, gdy ka‘t pomie‘dzy
wektorem ⃗r, a osia‘ dipola wynosi θ = 0, θ = π/2 i θ = π.
http://chaos.if.uj.edu.pl/∼sacha/elm.html