Zestaw 5 - Staszic
Transkrypt
Zestaw 5 - Staszic
Koło matematyczne. zestaw 5/2015/2016 1. Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie P . Trójkąty ABD, ACD i AP D mają odpowiednio pola 10, 9 i 6. Obliczyć pole czworokąta ABCD. 2. Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n liczba n4 nn n2 − nn jest podzielna przez 547 3. Na przyjęciu spotkało się n ≥ 2 osób, przy czym każda z nich ma wśród pozostałych co najwyżej trzy nieznajome osoby. Wykaż, że uczestników przyjęcia można podzielić na dwie grupy tak, aby każdy z nich miał w obrębie swojej grupy co najwyżej jedną nieznajomą osobę. 4. Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Proste AI i BI przecinają okrąg opisany na trójkącie ABC odpowiednio w punktach P i Q, różnych od A i B. Punkt F jest takim punktem, że czworokąt CP F Q jest równoległobokiem. Udowodnij, że proste IC i IF są prostopadłe. 5. Rozwiąż w liczbach rzeczywistych a, b, c, d, e układ równań a = c2 + d2 , b = d2 + e2 , c = e2 + a2 , d = a2 + b2 , e = b2 + c 2 6. Ile jest par przekątnych rozłącznych w n-kącie foremnym? (Przekątne rozłączne to przekątne nieprzecinające się wewnątrz wielokąta i niemające wspólnego końca). 1