Nr 3 - Hektor

Rȯwnania Cza̧stkowe
Zajecia
3
,
Semestr Zimowy 2003/04
Charakterystyki.
Metoda charakterystyk w rozwiazywaniu
,
równań I-go rzedu
,
I Charakterystyki
Zalóżmy, iż dane jest równanie quasi-liniowe rzedu
2-go w wymiarze 2
,
auxx (x, y) + 2buxy (x, y) + cuyy (x, y) = F (x, y, u, ux , uy )
gdzie a, b, c sa, funkcjami zmiennych (x, y, u, ux , uy ).
Równanie nazywamy eliptycznym gdy nie ma ono charakterystyk. Na to aby r-nie bylo
eliptyczne potrzeba i wystarcza by ∆ := b2 − ac < 0.
Równanie nazywamy hiperbolicznym gdy przez każdy punkt (x, y) przechodza, dokladnie 2
charakterystyki. Na to aby r-nie bylo hiperboliczne potrzeba i wystarcza by ∆ := b2 − ac > 0.
W przypadku gdy r-nie jest liniowe t.j. a, b, c sa, funkcjami zmiennych (x, y) charakterystyki
y± (x) dane sa, przez r-nia różniczkowe zwyczajne
p
b(x, y± ) ± ∆(x, y± )
dy± (x)
=
.
dx
a(x, y± )
Równanie nazywamy parabolicznym gdy przez każdy punkt (x, y) przechodza, dokladnie 1
charakterystyka. Na to aby r-nie bylo paraboliczne potrzeba i wystarcza by ∆ := b2 − ac = 0.
W przypadku gdy r-nie jest liniowe t.j. a, b, c sa, funkcjami zmiennych (x, y) charakterystyka
y(x) dana jest przez r-nie różniczkowe zwyczajne
dy(x)
b(x, y)
=
.
dx
a(x, y)
Zadanie 1. Znajdź charakterystyki nastepuj
acych
równań, zidentyfikuj typ r-nia.
,
,
a)
1
(uxx + ux ) + ex uxy + sinh(2x)uyy = 0
2
b)
uxx + uy + xyuyy + ux = u
II Metoda charakterystyk dla r-nia rzedu
1-go.
,
Zadanie 2. Znajdź rozwiazania
ogólne równań
,
a) y∂x u√− x∂y u = 0
b) 1 + u − x − y∂x u + ∂y u = 2
Zadanie 3. W przypadku b) poprzedniego zadania rozwiaż
, problem Cauchy’ego z a) u(x, 0) =
2x, b) u(x, 0) = x.
1