Energia potencjalna pola elektrostatycznego ładunku punktowego

Energia potencjalna pola elektrostatycznego
ładunku punktowego
Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony
http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/electrostatics/index.htm.
Tekst jest wolnym tłumaczeniem kursu dostępnego na stronie
http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/coursenotes/index.htm
Pole elektrostatyczne ładunku punktowego jest zachowawcze.
Wobec tego można wprowadzić pojęcie energii potencjalnej.
Praca
wykonana
przez
siłę
Coulomba
przy
przemieszczeniu ładunku od punktu A, gdzie energia potencjalna
wynosi UA do punktu B, gdzie energia potencjalna jest równa UB ,
wynosi
∆ .
Warto w tym miejscu podkreślić, że pracę wykonała siła
pola elektrostatycznego.
Praca siły zewnętrznej, mającej zwrot przeciwny do siły
Coulomba (ale taki sam kierunek i wartość), nad opisanym
przesunięciem jest równa
ł ę
∆ .
1
Energia potencjalna pola jednorodnego
Rozważmy jednorodne pole elektryczne skierowane pionowo
w dół o natężeniu 0, , 0
, w którym zgodnie z kierunkiem i
zwrotem wektora natężenia przemieszczany jest ładunek dodatni
q. Oś pionowa OY układu współrzędnych ma zwrot do góry, więc
składowa . Niech ładunek q zostanie przemieszczony
wzdłuż osi pionowej od punktu o współrzędnej do punktu o
współrzędnej , jak pokazuje to rysunek.
Zgodnie z definicją podaną wyżej obliczamy pracę siły elektrycznej przy opisanym przemieszczeniu.
Y
E
A
+q
F=qE
$⋅% & ()
'
(
' (
'*
∆ + B
.
X
Pozwala to nam stwierdzić, że energia potencjalna ładunku
dodatniego w polu jednorodnym wynosi
,
co odpowiada znanemu wyrażeniu dla grawitacyjnej energii
potencjalnej
!"#.
2
Energia potencjalna ładunku
w polu elektrycznym ładunku punktowego
Pokażemy, że w tym przypadku energia potencjalna ładunku q
w polu ładunku Q
,
12
-./0 3
.
Policzymy pracę
&% ∆ ,
dla siły
3536
,
12
.
-./0 3 4
36
=
1 =
1
7
@> A
B
?
4:;< > 3
35 4:;< >
5
= 1
1
C D .
4:;< > >
36
Zatem szukana energia potencjalna wynosi
1 =
.
4:;< >
3
Energia potencjalna układu
N punktowych ładunków elektrycznych
H
F G
1
E
.
4:;<
>FG
FIG
Energia potencjalna ładunku próbnego
w polu N punktowych ładunków elektrycznych
10 1K
H
∑
.
-./0 GL, 3K
,
Potencjał pola elektrycznego
Potencjał to energia potencjalna przypadająca na jednostkowy
ładunek
M
N
10
.
Jednostką potencjału jest wolt; 1V = 1 wolt = 1 J/(1 C) = J/C.
Ile wynosi różnica potencjałów między dwoma punktami A i B
pola elektrycznego?
&%
∆
C D M M M M,
<
<
<
<
gdzie
M N5
10
4
i M N6
10
.
Potencjał elektryczny pola ładunku punktowego
M
N
10
O S0 T
PQR0 U
10
,
2
-./0 3
.
Potencjał elektryczny pola układu ładunków punktowych
M
<
1
W 0 V
∑V
>V
4:;0
<
1
4:;0
W
E
V
V
>V
.
Potencjał elektryczny pola ładunków o rozkładzie ciągłym
M
1
@
7 .
4:;0
>
5
Jak wyznaczamy różnicę potencjałów znając wektor natężenia
pola elektrycznego?
Siła działająca na ładunek próbny $ < . Wobec tego praca
siły pola nad przemieszczeniem ładunku próbnego wynosi
Z
XY 7 < · @] .
[
Jeśli podzielimy ostatni wynik przez ładunek próbny < i
skorzystamy ze związku
∆
C D
<
<
<
<
M M M M,
to otrzymamy poszukiwany związek
7 · @] M M .
<
< <
Wniosek: Jeśli praca i całka ^ dodatnie, to potencjał M jest większy od M .
6
· @]
są
Przykład 1. Jeśli przemieszczamy ładunek próbny od źródła
pola, którym jest dodatni ładunek punktowy, to praca i
całka ^ · @] są dodatnie. Więc potencjał M jest większy od M .
Wniosek: Dodatnie ładunki elektryczne wykazują „naturalną”
tendencję (pod wpływem sił pola) do poruszania się w polu
elektrostatycznym w kierunku malejącego potencjału.
Przykład 2. Jeśli przemieszczamy ładunek próbny do źródła
pola, którym jest dodatni ładunek punktowy, to praca i
całka ^ · @] są ujemne. Zatem potencjał M jest mniejszy od M .
Przykład 3. Jeśli przemieszczamy ładunek próbny od źródła
pola, którym jest ujemny ładunek punktowy, to praca i
całka ^ · @] są ujemne (zwroty wektorów i @] są przeciwne).
Więc potencjał M jest mniejszy od M .
Przykład 4. Jeśli przemieszczamy ładunek próbny do źródła
pola, którym jest ujemny ładunek punktowy, to praca i
całka ^ · @] są dodatnie (zwroty wektorów i @] są zgodne).
Więc potencjał M jest większy od M .
Wniosek ponowny: Dodatnie ładunki elektryczne wykazują
„naturalną” tendencję (pod wpływem sił pola) do poruszania się w
polu elektrostatycznym w kierunku malejącego potencjału.
7
Wniosek: Ujemne ładunki wykazują „naturalną” tendencję do
poruszania się w polu elektrostatycznym w kierunku rosnącego
potencjału.
Wniosek: Niezależnie od znaku punktowego ładunku źródła
pola, jeśli poruszamy się w polu elektrostatycznym zgodnie z liniami
pola (zwroty wektorów przemieszczenia @] i natężenia pola są
zgodne), to potencjał pola elektrycznego maleje.
Uwaga: Jednostką potencjału jest wolt; 1V = 1 wolt = 1 J/(1 C)
= J/C. Ale z zależności między potencjałem i natężeniem
wnioskujemy, że 1V = (1N/1C)⋅⋅1m. Zatem 1V/1m = (1N/1C). Czyli
V/m = N/C. Najczęściej natężenie pola elektrycznego podajemy
w jednostkach V/m a nie N/C.
8
Jak wyznaczamy wektor natężenia pola
elektrycznego znając potencjał pola w danym
punkcie?
Odpowiedzią jest wzór
_`ab V>
dV>
,
co jest równoważne trzem następującym
równościom:
fM>
e ,
fg
fM>
h ,
f
fM>
e .
fi
Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony
http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/electrostatics/index.htm.
Tekst jest wolnym tłumaczeniem kursu dostępnego na stronie
http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/coursenotes/index.htm
9