jabłko i ziemi oraz

DYNAMIKA: siły
ruch
⇒
równania ruchu
Nierelatywistyczne równania ruchu = zasady dynamiki Newtona
Pojęcia podstawowe dla punktu materialnego
v0
Masa - miara bezwładności
m
Pęd – miara „ilości” ruchu
Siła – wywołuje zmianę pędu
m0

v
m
v

p
v0
m ≡ m0
v
p = mv
dp
∆p
F≡
, F≡
dt
∆t
 kg ⋅ m 
 s 2  = 1N
d(mv ) d m
dv
F≡
=
v+m
dt
dt
dt
Dla stałej masy: Siła – wywołuje zmianę pędu
dv
F=m
= ma
dt
Zasady dynamiki
I - zasada bezwładności, zasada zachowania pędu
∑F = F
wyp
dp
=0 ⇒
= 0 ⇒ p = const.
dt
a = 0 gdy Fwyp = 0.
II zasada
Fwyp
d p ⇒ p − p = t F dt
=
∫0 wyp
0
dt
Dla stałej masy
III zasada (układ ciał)
mA FAB
Fwyp
dv
=m
= ma
dt
FBA
mB
FBA = −FAB
m A a A = − mB a B
Przykład
Ciśnienie
P=Fn/A
[P]=1 Pa = 1N/m2
Ciśnienie atmosferyczne
P0 ~ 105 Pa = 1000 hPa
Średnica d = 40 mm
Masa m = 2,7 g
Działo próżniowe
F=P0A
P= 5 hPa
Do pompy
ΔP ~ 105 Pa
L =2 m
F=ΔP0A = 105 Pa * 0.00125 m2= 125 N
Przyspieszenie:
a0 =F/m 125 N/0.0027 kg = 46300 m/s2 = 4700 g !!!!!
Prędkość końcowa (w przybliżeniu stałego przyspieszenia):
Niefizyczne (prędkość dźwięku = 340 m/s)
Poprawne rozwiązanie powinno uwzględniać też rozpędzanie słupa
powietrza w rurze
Prędkość dźwięku
v [m/s]
300
200
100
0
0.0
0.5
1.0
1.5
L [m]
2.0
2.5
3.0
Przykłady sił i zagadnień z dynamiki
Siła ciężkości
F
g=
m jab
G=mg
a=
Siły grawitacji
m
FG

r
F
mZiemi
− FG M

mM
FG = −G 2
r

r

r
G = 6,67 ⋅ 10 −11Nm2kg−2
Na powierzchni Ziemi:
mM Ziemi
= ma
Fg = G
2
r
M Ziemi
=g
a =G
2
r
Przykłady sił i zagadnień z dynamiki
Siła kontaktowa
m1 a = F - F21
{
m2 a = F12
m1a = F - m 2 a
F
a=
m1 + m 2
F
F12 = m 2
m1 + m 2
Siła dośrodkowa

v2

Fr = mar = −
r

r
2
 m = −ω r m
r
Przykłady sił i zagadnień z dynamiki
Siła nacisku (akcji) i reakcji
N
G
N’
G’
Siły tarcia (ćwiczenia)
G – siła jaką Ziemia działa na jabłko
G’ – siła jaką jabłko działa na Ziemię
N’ – siła jaką jabłko działa na stół (siła nacisku)
N – siła jaką stół działa na jabłko (siła reakcji stołu)
Siły akcji i reakcji (III z.d) działają zawsze na różne obiekty.
Parami sił akcja-reakcja są:
G=-G’ oraz N=-N’.
Siły akcji i reakcji nie równoważą się
Równoważą się siły działające na to samo ciało:
G+N=0
Układ ciał (punktów materialnych)
Siły wewnętrzne (Fij) i zewnętrzne (F)
m21
F12
F21
m1
F=m1g
F12=F21 = naprężenie nici
Definicja:
Układ izolowany – działają tylko siły wewnętrzne
Układ ciał (punktów materialnych)
m1 F12
F21
m2
F13
F23
F32
F31
II zasada
Fwyp
m3
dp
=
dt
Fij = −Fji
Fzewn
Na układ 3 ciał działają tylko siły wewnętrzne
(pomiędzy tymi ciałami)
UKŁAD IZOLOWANY
P = ∑ p i = p1 + p 2 + p 3
dP
=
dt
d ( ∑ p i ) dp1 dp 2 dp3
=
+
+
=?
dt
dt
dt
dt
Dla masy m1:
Dla masy m2:
Dla masy m3:
dp 1
= F12 + F13
dt
dp 2
= F21 + F23
dt
dp 3
= F31 + F32
dt
dP 3 d p i
=∑
= (F12 + F21 ) + (F13 + F31 ) + (F23 + F32 ) = 0

 
 

1
dt
dt 
0
0
0
Pęd układu izolowanego pozostaje stały,
tylko siły zewnętrzne są w stanie zmienić pęd układu
ZASADA ZACHOWANIA
PĘDU
II zasada dynamiki dla układu punktów materialnych
m1 F12
F21
m2
F13
F23
F31
F32
m3
Fzewn
P = ∑ p i = p1 + p 2 + p 3
Fzewn
dP
=
dt
Moment pędu
hantla
Fwyp = F1 + F2 = 0
F2
dp
a=
= 0 gdy Fwyp = 0.
dt
F1
Wypadkowa siła zewnętrzna jest równa zero, ale
doświadczenie uczy, że hantla mimo to może zostać
wyprowadzona ze stanu spoczynku (obrót)
z
Miarą „ilości” ruchu obrotowego jest nie pęd
ale moment pędu
m

r
   

L ≡ r × p = r × (mv)

p
y
x
Jak zmienia się moment pędu w czasie?

 


d L d ( r × p ) dr   d p    
= × p+r×
= v
× p + r
×F
=

dt
dt
dt
dt
M
0
Moment siły
  
M ≡r×F

M

F
II zasada dynamiki
∑ M = M wyp =
d L tot
dt

r

 
M = r ⋅ F sin α
Zasada zachowania momentu pędu
M wyp = 0 ⇒
d L tot
= 0 ⇒ L tot = const.
dt
Aby ciało było w równowadze, suma sił zewnętrznych i momentów sił zewnętrznych musi być równa zero
Inercjalny układ odniesienia - taki, w którym są spełnione zasady dynamiki Newtona w szczególności pierwsza
v bus = const.
v pił = 0 ⇒ F = 0
O'
v kul = v bus = const. ⇒ F = 0
O
Jeśli układ odniesienia (laboratoryjny) jest
inercjalny to każdy układ poruszający się
względem niego z v0=const. jest inercjalny
O'
a pił = - a bus
a bus
O
Układ związany z autobusem jest nieinercjalny - występują w nim siły pozorne (bezwładności)
W układzie nieinercjalnym poruszającym się z
przyspieszeniem a0 należy uwzględnić siły bezwładności
F' = F + Fbezwł , Fbezwł = - ma 0
Przykłady sił bezwładności (układów nieinercjalnych)
Ruch postępowy - winda, samolot
Ruch obrotowy:
- siła odśrodkowa (Ziemia nie jest układem inercjalnym!)
- siła Coriolisa

 
Fcoriol = 2mv '×ω

ω

v'

Fcoriol
Wahadło Foucaulta
Znaczenie w kształtowaniu pogody
- pasaty
- tajfunu
Rzeki syberyjskie
Zadanie:
Obliczyć przyspieszenie Coriolisa z rozważań
kinematycznych
Zadania
Znaleźć naprężenia nici i przyspieszenia
m2
m1
F=m1g
m1
m2
m3
F
Ruch po równi pochyłej z tarciem i bez
FN
F = mg
FS = μsFN
Fk = μkFN