lista5

EMF
matematyka finansowa, I rok, I stopień
lista 5
renty proste
Zadania z podręcznika Kellisona
1. A family wishes to accumulate $50000 in a college education fund at the end of 20 years. If they deposit $1000 in
the fund at the end of each of the first 10 years and $1000 + X in the fund at the end of each of the second 10
years, find X to the nearest dollar if the fund earns 7% effective.
2. The cash price of a new automobile is $10000. The purchaser is willing to finance the car at 18% convertible
monthly and to make payments of $250 at the end of each month for four years. Find the down payment which
will be necessary.
3. An annuity provides a payment of n at the end of each year for n years. The annual effective interest rate is
What is the present value of the annuity?
1
n.
4. If an = x and a2n = y, express d as a function of x and y.
5.
a) Show that am+n = am + v m an = v n am + an .
b) Show that sm+n = sm + (1 + i)m sn = (1 + i)n sm + sn .
c) Verbally interpret the results in (a) and (b).
6.
a) Show that am−n = am − v m sn = (1 + i)n am − sn , m > n.
b) Show that sm−n = sm − (1 + i)m an = v n sm − an , m > n.
c) Verbally interpret the results in (a) and (b).
7. You are given the following annuity values:
a7 = 5, 153 a11 = 7, 036 a18 = 9, 180
Find i.
8. Show that
1
1
1
=
(s + ).
1 − v 10
s10 10
i
9. Find the present value of payments of $200 every six months starting immediately and continuing through four
years from the present, and $100 every six months thereafter through ten years, if i(2) = 0, 06.
10. A worker aged 40 wishes to accumulate a fund for retirement by depositing $1000 at the beginning of each year
for 25 years. Starting at age 65 the worker plans to make 15 annual withdrawals at the beginning of each year.
Assuming that all payments are certain to be made, find the amount of each withdrawal starting at age 65 to the
nearest dollar, if the effective rate of interest is 8% during the first 25 years but only 7% thereafter.
11. Find ä8 if the effective rate of discount is 10%.
12. Derive formula
13.
1
1
=
+ d.
än
s̈n
a) Show that än = an + 1 − v n ;
b) Show that s̈n = sn − 1 + (1 + i)n ;
c) Verbally interpret the results in (a) and (b).
14. Show that
15. If äp = x and sq = y, show that ap+q =
s̈2n
s̈
s̈n
+
− 3n = 1.
s̈n
s̈2n
s̈2n
vx+y
1+iy .
16. Payments of $100 per quarter are made from June 7, Z, through December 7, Z + 11, inclusive. If the nominal
rate of interest convertible quarterly is 6%:
a) Find the present value on September 7, Z - 1.
b) Find the current value on March 7, Z + 8.
c) Find the accumulated value on June 7, Z + 14.
17. Show that
15
X
(s̈t − st ) = s16 − s10 − 6.
t=10
18. Annuities X and Y provide the following payments:
End of Year Annuity X Annuity Y
1-10
1
K
11-20
2
0
21-30
1
K
Annuities X and Y have equal present values at an annual effective interest rate i such that v 10 = 12 . Determine
K.
19. At an annual effective interest rate i it is known that:
• the present value of 2 at the end of each year for 2n years, plus additional 1 at the end of the first n years, is
36;
• the present value of an n-year deferred annuity-immediate paying 2 per year for n years is 6.
Find i.
20. Simplify a15 (1 + v 15 + v 30 ) to one symbol.
21. Deposits of $1000 are placed into a fund at the beginning of each year for the next 20 years. After 30 years annual
payments commence and continue forever, with the first payment at the end of the 30th year. Find the expression
for the amount of each payment.
22. A benefactor leaves an inheritance to four charities, A, B, C, and D. The total inheritance is a series of level
payments at the end of each year forever. During the first n years A, B, and C share each payment equally. All
payments after n years revert to D. If the present value of the shares of A, B, C, and D are all equal, find (1 + i)n .
23. A level perpetuity-immediate is to be shared by A, B, C, and D. A receives the first n payments, B the second n
payments, C the third n payments, and D all payments thereafter. It is known that the ratio of the present value
of C’s share to A’s share is 0,49. Find the ratio of the present value of B’s share to D’s share.
24. A loan of $1000 is to be repaid by annual payments od $100 to commence at the end of the fifth year and to be
continue thereafter for as long as necessary. Find the time and amount of the final payment, if the final payment
is to be larger than the regular payments. Assume i = 4, 5$
25. A fund of $2000 is to be accumulated by n annual payments of $50, followed by n annual payments $100, plus
smaller final payment made one year after the last regular payment. If the effective rate of interest is 4,5%, find
n and the amount of the final irregular payment.
26. A borrower has the following two options for repaying a loan:
• sixty monthly payments of $100 at the end of each month;
• a single payment of $6000 at the end of K months.
Interest is at the nominal annual rate of 12% convertible monthly. The two options have the same present value.
Find K.
Zadania ze zbioru zadań Podgórskiej i inne
27. Jaka jest różnica między wartościami początkowymi dwóch rent o 12 ratach w wysokości 100 zł przy okresowej
stopie procentowej 9,5%, jeśli jedna z nich jest płatna z góry, a druga z dołu? Przy jakiej stopie procentowej ta
różnica byłaby równa 80% wysokości raty?
28. Czy roczna stopa procentowa renty płaconej z dołu przez 10 lat jest mniejsza, czy większa od 20%, jeśli roczne
raty są stałe i wynoszą 100 jp oraz wiemy, że:
a) wartość końcowa renty wynosi 2500 jp;
b) wartość początkowa renty wynosi 400 jp.
29. Przyjmując kwartalną stopę procentową w wysokości 2% wycenić rentę nieskończoną o stałych kwartalnych ratach
w wysokości 3000 zł płatną:
a) z góry,
b) z dołu.
30. Oblicz wysokość raty renty nieskończonej o wartości początkowej 300 jp płatnej:
a) z dołu,
b) z góry,
jeśli okresowa stopa procentowa wynosi 6%.
31. Mecenas zaproponował 3 warianty wsparcia dla pewnego teatru:
a) jednorazowa wpłata w wysokości 240 tys zł;
b) wpłata w 10 równych rocznych ratach w wysokości 30 tys zł (pierwsza wpłata natychmiast);
c) stworzenie specjalnej fundacji, która zarządzałaby pewnym kapitałem i po wsze czasy przeznaczałaby na rzecz
teatru na koniec każdego roku 15 tys zł.
Który wariant powinna wybrać dyrekcja teatru, jeśli przewidywana roczna stopa procentowa wynosi 7,5%.
32. Obliczyć liczbę rat renty o wartości początkowej 1000 jp, jeśli stopa procentowa renty wynosi 10%, a raty są płatne
z dołu, stałe i równe 180 jp. Jeśli będzie to potrzebne, przeprowadzić korektę ostatniej raty.
33. Pan Beniamin przez 3 lata pod koniec każdego miesiąca wpłacał na konto w pewnym banku kwotę 200 zł. Przez
cały rozpatrywany okres efektywna roczna stopa oprocentowania jego oszczędności wynosiła 14%. Po jakim czasie
kwota zgromadzona w ciągu 3 lat na koncie pana Beniamina podwoi się, jeżeli:
a) nadal będzie oszczędzał po 200 zł,
b) zwiększy wpłaty do 300 zł.
34. Na rachunek w Banku Nowoczesnym pani Hiacynta wpłacała przez 6 lata pod koniec każdego półrocza po 500
zł. Jaka suma jest zgromadzona po 6 latach od rozpoczęcia oszczędzania na jej rachunku, jeżeli rachunek jest
oprocentowany zgodnie z zasadami oprocentowania ciągłego przy rocznej stopie 6%.
35. Rozważmy 20 comiesięcznych wpłat w wysokości 700 zł na konto bankowe oprocentowane według rocznej nominalnej stopy procentowej z kapitalizacją miesięczną 6%. Oblicz stan konta 31 grudnia 2014 roku, jeśli pierwsza
wpłata miała miejsce 1 lutego 2011 roku i z tego konta nie wypłacono w międzyczasie żadnych środków.