Pobierz plik

Jaka matura z matematyki na poziomie rozszerzonym w 2015 roku ?
Janusz Karkut
Centralna Komisja Egzaminacyjna zorganizowała do tej pory dwie konferencje dla doradców metodycznych i konsultantów ds. matematyki, dotyczące analizy treści z nowej podstawy programowej:
I.
Analiza nowej podstawy programowej dla szkół ponadgimnazjalnych na poziomie podstawowym i rozszerzonym.
II. Matura z matematyki w 2015 r. na poziomie rozszerzonym – szczegółowa analiza wybranych nowych treści z podstawy programowej.
Program pierwszej konferencji (marzec 2012) obejmował kilka różnych tematów, z których dużym
zainteresowaniem cieszyły się Przykłady zadao sprawdzających umiejętności uczniów z poziomu rozszerzonego. Zadania te (z rozwiązaniami) można znaleźd w publikacji Zbiór zadao maturalnych z matematyki, dystrybuowanej bezpłatnie przez Centralną Komisję Egzaminacyjną (CKE, Warszawa 2012).
Zwraca uwagę następujący zabieg: jedenaście z przedstawionych „zwykłych” zadao przekształcono na
zadania typu „Uzasadnij”, czyli na zadania z podaną odpowiedzią. Dzięki takiemu zabiegowi możemy
uzyskad odpowiedź w ściśle określonej postaci lub uczynid zadanie łatwiejszym. Podam dwa przykłady.
1. (Zadanie 6.) Oblicz, ile jest nieparzystych liczb czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występuje co najmniej jedna siódemka.
(Zadanie 6a.) Uzasadnij, że istnieje dokładnie 1908 nieparzystych liczb czterocyfrowych,
w których zapisie dziesiętnym występuje co najmniej jedna siódemka (ułatwienie).
2. (Zadanie 7.) Dany jest nieskooczony ciąg geometryczny (an) określony wzorem
(√ )
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.
(Zadanie 7a.) Dany jest nieskooczony ciąg geometryczny (an) określony wzorem
(√ )
Uzasadnij, że suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
√ (wynik dokładny).
Do tego zestawu zadao dodam kilka innych, zwiększających liczbę dwiczeo.

Wyznacz zbiór wartości funkcji f określonej wzorem ( )
dla każdej liczby rzeczy-
wistej x. (Możemy się tu oprzed na stwierdzeniu: Zbiór wartości funkcji f jest to zbiór tych
wszystkich m, dla których równanie f(x) = m ma rozwiązanie.)

Na paraboli y 2  4 x znajdź punkt leżący najbliżej prostej y  2 x  4 . (Możemy się tu
oprzed na stwierdzeniu: Odległośd punktu (
się wzorem
|
|
√
.)
) od prostej o równaniu
wyraża



Znaleźd równanie stycznej do wykresu funkcji f określonej wzorem: ( )
w punkcie
o odciętej x = -1.
Dana jest funkcja f określona wzorem: ( )
Czy istnieje styczna do wykresu da√
nej funkcji o współczynniku kierunkowym równym 2?
Wyznacz takie współrzędne punktów leżących na wykresie funkcji f określonej wzorem:
( )
, by styczne w tych punktach były równoległe do prostej o równaniu

Niech

Użyj drzewa do matematyzacji następującego problemu:
Barman, obserwując zachowania klientów, zapisał następujące uwagi:
Wykaż, że
a) połowa konsumentów pije cappuccino, pije kawę, a pozostali – herbatę;
b) jeden na trzech z pijących herbatę słodzi ją, zaś pozostali piją herbatę bez cukru;
c) połowa z pijących kawę pije ją bez cukru, a z pijących cappuccino nie słodzi go jeden na
trzech;
d) codziennie rano jest dziesięciu klientów pijących gorzką herbatę.
Ilu konsumentów pije w tym lokalu poranny napój?
Czy w arkuszu z zakresu rozszerzonego mogą znaleźd się zadania zamknięte? Jest to pytanie , nad
którym warto się zastanowid. Proponuję (jako przykład) jedno takie zadanie:
 Najmniejszą wartością parametru
dla którego równanie
ma
przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty jest:
A. √
B. √
C. √
D. √
Prezentację zadao zakooczono stwierdzeniem, że w arkuszu powinno znaleźd się chodby jedno zadanie „z górnej półki”. Moja propozycja jest następująca:
 Niech ABCD będzie równoległobokiem, zaś AC jego przekątną. W trójkąt ABC wpisujemy
okrąg styczny do boku AC w punkcie P.
a) Wykaż, że DA + AP = DC + CP.
b) Rysujemy odcinek DP oraz dwa okręgi: wpisany w trójkąt DAP o promieniu r1 i wpisany
w trójkąt DCP o promieniu r2. Udowodnij, że
c) Załóżmy, że DA + DC = 3AC i DA = DP, zaś r1, r2 są promieniami okręgów określonych
w punkcie b). Oblicz stosunek
.
Przedstawione zadania są oczywiście tylko pewną propozycją. Dyskutujmy nad nią, byd może ustalimy pewien poziom interpretowania i realizowania obowiązujących wymagao.
W programie drugiej konferencji (grudzieo 2012) też dominowały zadania, przy czym poznaliśmy
bliżej typy zadao, które mogą znaleźd się w arkuszu:
 Zadania zamknięte (wielokrotnego wyboru lub prawda fałsz)
 Zadania z kodowaną odpowiedzią
 Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
 Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi.
Podam teraz kilka przykładów1.
1. Dana jest funkcja określona wzorem ( )
( ) jest rów-
. Granica
na:
A.
B. 0
2. Ciąg (
) określony jest wzorem
C. 6
(
D.
)
. Oblicz, dla jakiej
wartości p granica ciągu ( ) jest równa 0. Zakoduj odpowiedź.
Rozwiązanie.
Wyznaczamy granicę ciągu ( ) w zależności od p:
(
)
(
)
(
)
Rozwiązujemy równanie:
W arkuszu odpowiedzi należy zakodowad cyfry 0, 1, 4.
Inne prezentowane zadania dotyczyły następujących zagadnieo:
 pochodnej funkcji w punkcie,
 równania stycznej,
 monotoniczności funkcji,
 liczby rozwiązao równania,
 optymalizacji.
Podczas dyskusji pojawiła się też własnośd Darboux oraz - wywołująca dużo kontrowersji – reguła de
l’Hospitala dla ciągów. Całą dyskusję podsumował p. W. Guzicki, prezentując swoje opracowanie
O POCHODNYCH WIELOMIANÓW2.
Teraz podam kilka przykładów zadao, które mają związek z zadaniami prezentowanymi na konferencji.
1
Zadania 1 i 2 pochodzą z prezentacji p. Piotra Ludwikowskiego: Matura z matematyki w 2015 r. na poziomie
rozszerzonym – szczegółowa analiza wybranych nowych treści z podstawy programowej.
2
Tekst ten dostępny jest u doradców i konsultantów ds. matematyki.

Wykaż, że równanie
ma pierwiastek zawarty pomiędzy -1 i 0.
Rozwiązanie.
Rozważmy funkcję ( )
Szukanie pierwiastków rzeczywistych wyjściowego
równania sprowadza się tu do znalezienia miejsc zerowych funkcji f, czyli odciętych punktów przecięcia się jej wykresu z osią x. Funkcja f jest funkcją ciągłą w zbiorze R, a zatem istnieją co najmniej dwie
wartości x, dla których funkcja zmienia znak.
(
)
(
)
( )
Wyznaczmy funkcję pochodną funkcji f:
( )
Funkcja f ma w przedziale (-1, 0) miejsce zerowe, a ponieważ jest to funkcja rosnąca(f’(x) > 0), więc
dane równanie ma dokładnie jedno miejsce zerowe i należy ono do przedziału (-1, 0).
Kolejny przykład ma związek z dokonaną uwagą o dziedzinie funkcji, którą otrzymujemy, rozwiązując
zadania optymalizacyjne dotyczące figur płaskich lub brył.

Wiedząc, że suma długości krawędzi podstawy i wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi m, dobrad wymiary ostrosłupa tak, aby miał on maksymalną objętośd.
Rozwiązanie
Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku powyżej i oznaczmy ponadto przez V objętośd ostrosłupa.
Nietrudno zauważyd, że:
{
√
Wyznaczając z równania drugiego h i podstawiając do równania pierwszego mamy:
√
Dziedziną DV funkcji V jest przedział (
√
)
√
( )
√
Dziedziną DV’ pochodnej V’ jest również przedział (
( )
√
(
( )
(
( )
(
)
√
√
√
√
√
)
)
(
)
)
(
)
Jeśli krawędź boczna ma długośd b, to:
|
|
(
√
√
)
Z przeprowadzonych przeliczeo wynika, że spośród rozważanej rodziny ostrosłupów największą objętośd będzie miał ten, którego krawędź podstawy ma długośd
√
, zaś krawędź boczna ma długośd
.

Dany jest ciąg (
) określony wzorem rekurencyjnym:
{
Wówczas
Prawda/Fałsz
Podczas zajęd warsztatowych wiele uwagi poświęciliśmy obliczaniu granic ciągów. W Podstawie mamy:
Uczeo oblicza granice ciągów, korzystając:
•
z granic ciągów typu
i
• z twierdzeo o działaniach na granicach ciągów.
Liczne przykłady pozwoliły nam dokonad znanego podsumowania:
{
z którym powinien byd zapoznany każdy uczeo realizujący program matematyki w zakresie rozszerzonym.