Laboratorium Dynamiki Maszyn

Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa, Politechnika Rzeszowska
Laboratorium Dynamiki Maszyn
Laboratorium nr 05
Temat: Badania eksperymentalne drgań wzdłużnych i giętnych układów
mechanicznych
Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa, Politechnika Rzeszowska
Cel ćwiczenia:
1. Zbudować model o jednym stopniu swobody dla zadanego układu mechanicznego
2. Wyznaczyć częstość własną układu mechanicznego metodą energetyczną.
3. Opisać drgania swobodne tłumione układu.
4. Przeprowadzić badania doświadczalne i wyznaczyć współczynnik tłumienia
jednostkowego i częstość drgań własnych układu.
A. Drgania wzdłużne.
Model układu mechanicznego
Rozważmy układ mechaniczny w postaci ciężarka o masie m zamocowanego na dwóch
sprężynach, którego model pokazano na rys. 1.
Rys .1. Model układu mechanicznego
W przedstawionym modelu nie uwzględniono oporów ruchu oraz pominięto masy sprężyn,
gdyż są one niewielkie w porównaniu do masy m ciężarka.
Wyznaczenie częstości drgań własnych metodą energetyczną
Jeśli, zgodnie z modelem, pominiemy tłumienie w układzie, to możemy traktować go jako
zachowawczy, czyli taki, w którym nie ma strat energii. Skorzystamy z zasady zachowania
energii mechanicznej, która może być zapisana jako
H = E + V = const. ,
(1)
i wynika z niej, że
E max = Vmax .
(2)
W analizowanym przypadku będzie:
1
E = mz˙ 2 ,
(3)
2
1
1
1
V = k 1z 2 + k 2 z 2 = ( k 1 + k 2 ) z 2 .
(4)
2
2
2
Aby wyznaczyć maksimum energii kinetycznej i potencjalnej, należy opisać ruch masy.
Zgodnie z teorią drgań, przemieszczenie masy w przypadku drgań swobodnych
nietłumionych opisuje równanie
z = C1cos( ωt ) + C 2 sin ( ωt ) ,
(5)
ω
gdzie C1 , C 2 to stałe całkowania zależne od warunków początkowych,
to częstość własna
v
(drgań swobodnych nietłumionych) układu. Wartość stałych całkowania to C1 = z 0 , C 2 = 0
ω
Dynamika maszyn
Badania eksperymentalne drgań wzdłużnych i giętych układów mechanicznych
Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa, Politechnika Rzeszowska
, gdzie z 0 to początkowe wychylenie masy z położenia równowagi statycznej, v 0 to
początkowa prędkość masy. W analizowanym przypadku rozwiązanie (5) zapisujemy jako.
z = Acos( ωt − ϕ )
(6)
gdzie A = C 2 + C 2 to amplituda drgań, ϕ to kąt przesunięcia fazowego określony wzorem
1
2
C2
. Prędkość masy uzyskamy różniczkując zależność (6) względem czasu
C1
ż = − Aω sin ( ωt − ϕ ) .
(7)
Można teraz zapisać energię kinetyczną i potencjalną jako
1
E = mA 2 ω 2 sin 2 ( ωt − ϕ ) ,
(8)
2
1
V = ( k 1 + k 2 ) A 2 cos 2 ( ωt − ϕ ) .
(9)
2
Maksima energii kinetycznej i potencjalnej to
1
E max = mA 2 ω 2 ,
(10)
2
1
Vmax = ( k 1 + k 2 ) A 2 .
(11)
2
Korzystając z (2) określimy częstość własną układu jako
k1 + k 2
.
(12)
ω=
m
Aby wyznaczyć częstość drgań własnych należy określić współczynniki sprężystości sprężyn
oraz masę ciężarka. Innym sposobem określenia częstości własnej układu będzie identyfikacja
modelu na podstawie badań eksperymentalnych.
tgϕ =
Opis drgań swobodnych tłumionych układu
Wiadomo, że w układach rzeczywistych drgania swobodne z czasem zanikają, ze względu na
występujące tłumienie. Gdyby chcieć dokładniej zamodelować układ rzeczywisty, należy do
modelu przedstawionego na rys. 1 wprowadzić tłumik. Model układu z tłumieniem
przedstawiono poniżej.
Rys .2. Model układu oscylacyjnego z tłumieniem
Siły działające na masę m pokazano na poniższym rysunku
Dynamika maszyn
Badania eksperymentalne drgań wzdłużnych i giętych układów mechanicznych
Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa, Politechnika Rzeszowska
Rys .3. Siły działające na masę
Różniczkowe równanie ruchu opisujące ruch masy to
m˙z˙ = P − G 1 − G 2 − S1 − S 2 ,
(13)
gdzie P = mg , G1 i G 2 to siły reakcji tłumików, S1 i S 2 to siły reakcji sprężyn. Zwykle
przyjmuje się liniowa charakterystykę tłumienia i sprężystą, pokazane poniżej.
Rys .4. Charakterystyka tłumienia i charakterystyka sprężysta
Siły reakcji tłumików to G 1 = c1 z˙ i G 2 = c 2 z˙ , gdzie c1 i c 2 to współczynniki tłumienia
wiskotycznego, siły reakcji sprężyn to S1 = k 1 ∆ i S 2 = k 2 ∆ , gdzie k 1 i k 2 to współczynniki
sprężystości sprężyn, Δ = z + λ to deformacja całkowita sprężyny 1 i 2, λ to deformacja
statyczna sprężyny 1 i 2. Zatem równanie (13) zapiszemy teraz jako
m˙z˙ = P − ( c1 + c 2 ) z˙ − ( k 1 + k 2 ) z − ( k 1 + k 2 ) λ .
(14)
Deformację statyczną sprężyny λ określimy, rozważając układ będący w stanie równowagi
statycznej, czyli
P
λ=
.
(15)
k1 + k 2
Uwzględniając (15) w (14) otrzymamy
m˙z˙ + ( c1 + c 2 ) z˙ + ( k 1 + k 2 ) z = 0 .
(16)
Powyższe równanie sprowadzimy do postaci
(17)
˙z˙ + 2hz˙ + ω 2 z = 0 ,
gdzie
c + c2
2h = 1
to tzw. współczynnik tłumienia jednostkowego,
m
k1 + k 2
to częstość drgań własnych,
ω=
m
W przypadku małego tłumienia, tzn. gdy ω > h (to tzw. tłumienie podkrytyczne – taki
przypadek najczęściej występuje w technice), rozwiązanie równania różniczkowego (17) ma
formę
z = e − ht [ C1cos( ω * t ) + C 2 sin ( ω * t ) ] ,
(18)
Dynamika maszyn
Badania eksperymentalne drgań wzdłużnych i giętych układów mechanicznych
Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa, Politechnika Rzeszowska
gdzie C1 , C 2 to stałe całkowania zależne od warunków początkowych, Wartość stałych
v 0 + hz 0
całkowania to C1 = z 0 , C 2 =
, gdzie z 0 to początkowe wychylenie masy z
ω*
położenia równowagi statycznej, v 0 to początkowa prędkość masy natomiast ω* oznacza
częstość drgań tłumionych i jest ona wyrażona zależnością
(19)
ω* = ω 2 − h 2 .
W analizowanym przypadku rozwiązanie (29) zapiszemy jako
z = A 0 e − ht cos( ω * t − ϕ ) ,
(20)
gdzie A = C 2 + C 2 to amplituda drgań, ϕ to kąt przesunięcia fazowego określony
0
1
2
C2
.
C1
Przykładowy przebieg rozwiązania (20) przedstawiono poniżej. Amplituda tych drgań maleje,
po pewnym czasie drgania zanikają
wzorem tgϕ =
Rys .5. Przebieg drgań swobodnych tłumionych
Z równania (20) wynika, że drgania tłumione wygasają po nieskończenie długim czasie oraz
że ich częstość ω* jest stała. Dlatego wprowadza się pojęcie okresu drgań tłumionych
2π
2π
2π
T* =
=
> T=
,
(21)
ω*
ω
ω2 − h 2
gdzie T to okres drgań swobodnych nietłumionych. Wprowadza się też pojęcie
logarytmicznego dekrementu tłumienia D, który jest zdefiniowany przez zależność
Dynamika maszyn
Badania eksperymentalne drgań wzdłużnych i giętych układów mechanicznych
Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa, Politechnika Rzeszowska
An
,
(22)
A n+ 1
gdzie An i An+1 to kolejne amplitudy drgań, przy czym
 A 
2π
D = ln n  = hT* =
h.
(23)
ω*
 A n+ 1 
Znając logarytmiczny dekrement tłumienia można określić współczynnik tłumienia
jednostkowego.
eD =
Badania doświadczalne
W celu doświadczalnego wyznaczenia współczynnika tłumienia i częstości drgań własnych
układu, należy na stanowisku pomiarowym dokonać pomiaru drgań swobodnych
nietłumionych. Pomiar drgań będzie dokonywany przy pomocy akcelerometru
umieszczonego na cięzarku. W wyniku całkowania zmierzonego sygnału otrzymuje się
przebieg prędkości i przemieszczenia masy. Z przebiegu przemieszczenia należy odczytać
okres drgań tłumionych T* i dwie kolejne amplitudy A n i A n + 1 . Następnie obliczyć częstość
2π
 A 
drgań tłumionych ω * =
oraz określić logarytmiczny dekrement tłumienia D = ln n  i
T*
 A n+ 1 
D
wyznaczyć współczynnik tłumienia jednostkowego h =
, częstość drgań własnych
T*
ω=
ω *2 + h 2 .
Przykładowy zarejestrowany przebieg drgań przedstawiono na poniższym rys. 6.
Dynamika maszyn
Badania eksperymentalne drgań wzdłużnych i giętych układów mechanicznych
Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa, Politechnika Rzeszowska
Rys .6. Przebieg drgań masy
Dynamika maszyn
Badania eksperymentalne drgań wzdłużnych i giętych układów mechanicznych
Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa, Politechnika Rzeszowska
Rys .7. Charakterystyka fazowa
B. Drgania giętne.
Model układu mechanicznego
Rozważmy układ mechaniczny w postaci belki jednorodnej o długości l i masie m1 , na końcu
której znajduje się masa m 2 > > m1 . Załóżmy, że w chwili początkowej belka była wychylona
z położenia równowagi statycznej i została swobodnie puszczona. Układu pokazano na rys. 8.
Rys .8. Układu rzeczywisty
W przypadku, gdy m 2 > > m1 , masę układu ciągłego, czyli belki, można pominąć lub
uwzględnić tylko jej część. Ta część masy m1 , która powinna być uwzględniona, wyliczana
jest z warunku, aby energia kinetyczna układu rzeczywistego i modelu w czasie drgań nie
zmieniła się. Wyznaczmy zatem energię kinetyczną układu rzeczywistego.
Wytnijmy myślowo z belki element o długości dx w odległości x od miejsca
zamocowania. Przemieszczenie h tego elementu wyznaczymy z wzoru na linię ugięcia belki
wspornikowej obciążonej na swobodnym końcu siłą skupioną, czyli
x 2 ( 3l − x )
,
(24)
h= z
2l 3
Jego prędkość wynosi
x 2 ( 3l − x )
.
(25)
h˙ = z˙
2l 3
Wobec czego energia kinetyczna elementu to
l
1
E 1 = ∫ dmh˙ 2 ,
(26)
20
gdzie dm to masa trójwymiarowego elementu belki o przekroju A i długości dx. Wobec tego
masę elementu zapiszemy jako
γ
dm = Adx ,
(27)
g
gdzie γ to ciężar właściwy belki, A to przekrój poprzeczny belki, g to przyspieszenie
ziemskie. Energię kinetyczną elementu zapiszemy teraz następująco
l
l
2
1 γ ˙2
1 γ 2 x 4 ( 3l − x )
E 1 = ∫ Ah dx =
Az˙ ∫
dx .
(28)
20g
2g
4l 6
0
Obliczmy teraz całkę
l
∫
0
x 4 ( 3l − x )
1
dx = 6
6
4l
4l
2
l
∫(
0
)
1 9
1 
9l x − 6lx + x dx = 6  l 2 x 5 − lx 6 + x 7 
7 
4l  5
2
4
5
6
1 9
1 
1 33 7 33
= 6  l7 − l7 + l7  = 6
l =
l.
7  4l 35
140
4l  5
Dynamika maszyn
Badania eksperymentalne drgań wzdłużnych i giętych układów mechanicznych
l
=
0
(29)
Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa, Politechnika Rzeszowska
Podstawiając wynik całkowania do (28) otrzymamy
1 γ 2 33
E1 =
Az˙
l,
2g
140
γ
Uwzględniając, że Al = m1 otrzymamy
g
1 33
E1 =
m1 z˙ 2 .
2 140
Energia kinetyczna masy m 2 to
1
E 2 = m 2 z˙ 2 .
2
Wobec tego energia kinetyczna całego układu to
1
E = E 1 + E 2 = Mz˙ 2 ,
2
33
m1 + m 2 . Ze wzoru (33) wynika, że uwzględniając masę belki należy
gdzie M =
140
33
m1 .
do masy m 2 tylko
140
(30)
(31)
(32)
(33)
dodać
Obliczając energię potencjalną układu pomijamy potencjał masy w polu ziemskim, jeżeli w
położeniu równowagi statycznej sprężyna jest zdeformowana siłą ciężkości, uwzględnimy
jedynie potencjał sił sprężystości. Współczynnik sprężystości na zginanie belki wspornikowej
wyznaczymy ze wzoru na strzałkę ugięcia swobodnego końca pod wpływem siły skupionej Q
przyłożonej na tym końcu, czyli
Ql 3
,
(34)
z=
3EJ
gdzie, E to moduł sprężystości wzdłużnej, J to moment bezwładności przekroju belki. Z (34)
wynika, że współczynnik sprężystości giętej belki
Q 3EJ
k=
= 3 .
(35)
z
l
Potencjał modelu dyskretnego to
1
V = kz 2 .
(36)
2
W wyniku dokonanej dyskretyzacji układu rzeczywistego zamodelowano go w postaci masy
zawieszonej na sprężynie, jak to przedstawiono na rys. 9.
Rys .9. Model układu rzeczywistego
Wyznaczenie częstości drgań własnych metodą energetyczną
Dynamika maszyn
Badania eksperymentalne drgań wzdłużnych i giętych układów mechanicznych
Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa, Politechnika Rzeszowska
Sposób wyznaczania częstości drgań własnych będzie podobny jak poprzednio, gdyż drgania
giętne belki zamodelowaliśmy drganiami wzdłużnymi. W efekcie otrzymamy
k
3EJ
ω=
=
(37)
M
 33
 .
m1 + m 2  l 3

 140

Zakładając, że belka ma przekrój prostokątny o wymiarach b x h ( b > h ), moment
bh 3
bezwładności przekroju belki będzie wynosił J =
[m 4 ] jeśli drgania będą odbywać się w
12
płaszczyźnie najmniejszej sztywności.
Rys .10. Przekrój poprzeczny belki
Opis drgań swobodnych tłumionych układu
Sposób opisu drgań swobodnych tłumionych będzie podobny jak poprzednio, gdyż drgania
giętne belki zamodelowaliśmy drganiami wzdłużnymi. Przyjęto model przedstawiony na rys.
11.
Rys .11. Model układu oscylacyjnego z tłumieniem
Siły działające na masę M pokazano na rys. 12.
Rys .12. Siły działające na masę
Różniczkowe równanie ruchu opisujące ruch masy to
M˙z˙ = P − G − S ,
(38)
P
=
Mg
gdzie
, G to siła reakcji tłumika, S to siła reakcji sprężyny. Postępując podobnie jak
poprzednio można wyznaczyć deformację statyczną sprężyny λ = P/k oraz różniczkowe
równanie ruchu masy w postaci
(39)
˙z˙ + 2hz˙ + ω 2 z = 0 ,
c
k
gdzie 2h =
, oraz ω =
.
M
M
Dynamika maszyn
Badania eksperymentalne drgań wzdłużnych i giętych układów mechanicznych
Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki
Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa, Politechnika Rzeszowska
Dalszy opis drgań tłumionych jest analogiczny jak poprzednio.
Badania doświadczalne
W celu doświadczalnego wyznaczenia współczynnika tłumienia jednostkowego i częstości
drgań własnych układu, należy na stanowisku pomiarowym dokonać pomiaru drgań
swobodnych nietłumionych. Pomiar drgań będzie dokonywany przy pomocy akcelerometru
umieszczonego na swobodnym końcu belki. W wyniku całkowania zmierzonego sygnału
otrzymuje się przebieg prędkości i przemieszczenia końca belki. Z przebiegu przemieszczenia
odczytać okres drgań tłumionych T* i dwie kolejne amplitudy A n i A n + 1 . Następnie obliczyć
2π
częstość drgań tłumionych ω * =
oraz określić logarytmiczny dekrement tłumienia
T*
D
 A 
D = ln n  i wyznaczyć współczynnik tłumienia jednostkowego h =
, a następnie
T*
 A n+ 1 
częstość drgań własnych ω =
ω *2 + h 2 .
Sprawozdanie z laboratorium powinno zawierać następujące elementy:
A. Drgania wzdłużne.
1. Model układu mechanicznego
2. Schemat układu pomiarowego.
3. Wyznaczenie częstości własnej układu na podstawie zapisów analitycznych (równanie
(12)).
4. Wykresy przedstawiające przebiegi przyspieszenia, prędkości i przemieszczenia masy
z zaznaczeniem charakterystycznych parametrów przebiegów koniecznych do
przeprowadzenia identyfikacji układu.
5. Wyznaczenie współczynnika tłumienia jednostkowego i częstości drgań własnych
układu.
a) Wykres przedstawiający charakterystykę fazową układu.
B.
1.
2.
3.
Drgania giętne
Model układu mechanicznego
Schemat układu pomiarowego.
Wyznaczenie częstości własnej układu na podstawie zapisów analitycznych (równanie
(37)).
4. Wykresy przedstawiające przebiegi przyspieszenia, prędkości i przemieszczenia masy
z zaznaczeniem charakterystycznych parametrów przebiegów koniecznych do
przeprowadzenia identyfikacji układu.
5. Wyznaczenie współczynnika tłumienia jednostkowego i częstości drgań własnych
układu.
b) Wykres przedstawiający charakterystykę fazową układu.
C. Wnioski.
Dynamika maszyn
Badania eksperymentalne drgań wzdłużnych i giętych układów mechanicznych