Wzory skróconego mnożenia i nie tylko

Joanna Jaszuńska, Olimpijskie seminarium dla nauczycieli matematyki
Wzory skróconego mnożenia i nie tylko
Kilka zadań na początek
1. Co√jest większe:
√
√
√
a) 6 + 10 czy 5 + 12?
2. (1/I/V OMG)
a2 = b2 + c.
b)
√
√
√
2011 + 2013 czy 2 2012?
Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych a, b, c, dla których
3. (2/II/VI OMG) Dane są dodatnie liczby całkowite a i b. Wykaż, że jeżeli liczba a2
jest podzielna przez liczbę a + b, to także liczba b2 jest podzielna przez liczbę a + b.
4. (matex 2008) Czy iloczyn dwóch dodatnich liczb naturalnych różniących się o 2
może być kwadratem liczby naturalnej?
5. Wykaż, że dla żadnego n naturalnego liczba n4 + 2n3 + n2 + 2n + 1 nie jest
kwadratem liczby naturalnej.
Liczba i jej odwrotność
6. Wykaż, że dla dowolnej liczby dodatniej a prawdziwa jest nierówność a + a1 ­ 2.
7. (matex 1995) Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c spełniających
warunek abc = 1 zachodzi nierówność ab + bc + ca + a + b + c ­ 6.
8. Dana jest taka liczba a 6= 0, że a +
1
a
= 5. Wyznacz a2 +
1
.
a2
9. (matex 1992) Udowodnij, że jeśli a + a1 jest liczbą całkowitą, to również a3 + a13 jest
liczbą całkowitą.
Zwijanie do kwadratu
10. Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność
4
9
a4 + b4 + 2 + 2 ­ 6a + 4b.
a
b
11. (1/6/KM SEM) Znajdź wszystkie trójki (x, y, z) liczb rzeczywistych, które są
rozwiązaniami równania 5(x2 + y 2 + z 2 ) = 4(xy + yz + zx).
12. (matex 2004)
Wyznacz takie liczby rzeczywiste x, y, dla których wyrażenie
2x2 + 4y 2 − 4xy − 6x + 2004 przyjmuje najmniejszą wartość.
13. (matex 1995) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność
x4 − 6x3 + 10x2 − 2x + π > 0.
14. (2/10/KM SEM) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi
nierówność a2 + b2 + 1 ­ ab + a + b.
15. Rozwiąż równanie a2 + b2 + 9 = 3(a + b) + ab.
Układy równań
16.
(4/I/I OMG)
Wyznacz wszystkie rozwiązania układu równań

2


25x
+ 9y 2 = 12yz
9y 2 + 4z 2 = 20xz



4z 2 + 25x2 = 30xy
w liczbach rzeczywistych x, y, z.
Joanna Jaszuńska, Olimpijskie seminarium dla nauczycieli matematyki
17. (1/II/II OMG)
układ równań
Wyznacz wszystkie trójki (a, b, c) liczb rzeczywistych spełniające

 a2
+ b2 + c2 = 23
a + 2b + 4c = 22.
18.
(5/1/KM SEM)
Rozwiąż układ równań

2

a

+ 24 = 9b + a+c
2
b+a
2
b + 25 = 9c + 2


 2
c + 26 = 9a + c+b
.
2
Rozkład na czynniki
19. (1/II/IV OMG) Wyznacz wszystkie trójki (a, b, c) liczb nieparzystych dodatnich
spełniające zależność
a+c−b
a
= .
b+c−a
b
20. (4/I/IV OMG) Wyznacz wszystkie takie pary (a, b) dodatnich liczb całkowitych,
że liczba a + b jest liczbą pierwszą oraz liczba a3 + b3 jest podzielna przez 3.
21. Czy ta liczba jest pierwsza?
a) 2222 − 1
b) 999991
c) 210 + 512
22. Dla jakich liczb naturalnych n liczba n4 + 4 jest pierwsza?
23. (3/1/KM SEM) Wyznacz liczbę par (x, y) liczb całkowitych spełniających równanie
x4 = y 4 + 1223334444.
Pierwiastki, wymierność
24.
q (6/3/KM SEM) Znajdź wszystkie liczby całkowite dodatnie n, dla których liczba
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 jest całkowita.
25.
26.
(1/I/I OMG)
(test/VII OMG)
Udowodnij, że
Czy liczba
q
q
q
q
√
√
√
3 − 8 + 5 − 24 + 7 − 48 = 1.
√
√
3 − 2 2 − 2 jest wymierna?
27. (1/II/III OMG) Liczby dodatnie a, b spełniają warunek
że co najmniej jedna z liczb a, b jest niewymierna.
a+b
2
=
√
ab + 3. Wykaż,
Geometryczne
28. (3/I/VII OMG) Dane są dwa prostokąty o równych polach i równych obwodach.
Wykaż, że długości przekątnych obu prostokątów także są równe.
29. (matex 1989) Pole pewnego prostokąta jest równe 6, a kwadrat jego przekątnej 24.
Wyznacz obwód tego prostokąta, nie licząc długości jego boków.
30. (2/I/IV OMG) Dany jest prostopadłościan o podstawie kwadratowej. Przekątna
tego prostopadłościanu ma długość d, a jego pole powierzchni jest równe b. Oblicz
sumę długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu.
Joanna Jaszuńska, Olimpijskie seminarium dla nauczycieli matematyki
Sumy teleskopowe
1
1
1
1
√ +√
√ +√
√ + ... + √
√
31. Wyznacz √
.
1+ 2
2+ 3
3+ 4
99 + 100
1
1
1
1
+
+
+ ... +
.
1·2 2·3 3·4
99 · 100
32. Wyznacz
33. Wyznacz
n
X
k · k!.
k=1
34. Wyznacz
n
X
k
.
(k
+
1)!
k=1
1
1
1
1
√ + √ + √ + ... + √
< 20.
1
2
3
100
35. Wykaż, że
36. Wyznacz
1
1− 2
2
1
1− 2
3
1
1
1 − 2 · ... · 1 −
.
4
1002
37. Wykaż, że 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 .
Kwadrat sumy wielu liczb, wyższe potęgi sumy etc.
(a + b + c + . . . + z)2 = a2 + b2 + . . . + z 2 + 2(ab + ac + . . . + yz)
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + . . . + abn−2 + bn−1 )
an + bn = (a + b)(an−1 − an−2 b + an−3 b2 − . . . − abn−2 + bn−1 ) dla n nieparzystych
(a + b)n =
n P
n
an−k bk
k=0
k
n P
n
ak bn−k
=
k=0
k
38. (2/3/KM SEM)
Rozstrzygnij, czy istnieją takie liczby rzeczywiste x, y, z, że
x + y + z = xy + yz + zx = 2.
39.
OMG)
Dane są takie dodatnie liczby wymierne
√
√
√a i b, dla których liczba
√ (6/I/VII
√
a + b + ab jest wymierna. Wykaż, że liczby a oraz b także są wymierne.
40. a) Czy liczba 2333 − 1 jest pierwsza?
b) Czy liczba 2333 + 1 jest pierwsza?
41. Oblicz
n P
n
a)
,
k
c) 1 + 3 + 32 + 33 + . . . + 3n−1 .
k=0
b)
n
P
(−1)k
k=0
n
k
,
42. (2/5/KM SEM) Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że p + 27 jest sześcianem
liczby naturalnej.
43. (1/I/L OM) Udowodnij, że wśród liczb postaci 50n + (50n + 1)50 , gdzie n jest
liczbą naturalną, występuje nieskończenie wiele liczb złożonych.
44. √Wyznacz piętnastą cyfrę po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby
(2 + 3)2012 .
X/Y/Z OM(G) — zadanie nr X z etapu nr Y Olimpiady Matematycznej (Gimnazjalistów) nr Z.
X/Y/KM SEM — zadanie nr X z serii nr Y Koła Matematycznego SEM.
matex — zadanie z egzaminu wstępnego do klas matematycznych w XIV LO im. S. Staszica w Warszawie.
Rozwiązania większości zadań z OMG i z Koła Matematycznego SEM można znaleźć na stronie www.omg.edu.pl.
Zadania z egzaminów do matexu dostępne są na stronie www.staszic.waw.pl.