Dr inż. Michał Chłędowski PODSTAWY AUTOMATYKI I ROBOTYKI

Dr inż. Michał Chłędowski
PODSTAWY AUTOMATYKI I ROBOTYKI
Materiały dydaktyczne
dotyczące zagadnień przewidzianych na II kolokwium zaliczeniowe
Zakres tematyczny: Stabilność układów automatycznej regulacji, kryterium Hurwitza, dobór
optymalnych nastaw regulatora, metodyka Nicholsa-Zieglera, uchyb ustalony
Treść zadania: Należy dla UAR, którego schemat blokowy, transmitancja przejścia oraz ich dane
liczbowe przedstawione są na rysunku, określić kkr, kopt oraz wartość εust..
Uwaga! Funkcje i dane liczbowe są przykładowe. Na kolokwium na pewno będą inne.
Tok postępowania:
1. Określić krytyczną wartość współczynnika wzmocnienia regulatora kkr . Do tego celu
wykorzystamy kryterium Hurwitza. Dla jego zastosowania konieczna jest znajomość
równania charakterystycznego albowiem jego współczynniki decydują o stabilności lub
niestabilności układu. Równaniem charakterystycznym nazywamy mianownik „ładnej”
transmitancji zastępczej przyrównany do zera. Tak więc wykonamy w kolejności
następujące czynności:
- wyliczymy transmitancję zastępczą,
- przekształcimy transmitancję zastępczą do postaci stosunku dwóch wielomianów
(zlikwidujemy ułamki piętrowe),
- mianownik transmitancji zastępczej przyrównamy do zera i otrzymamy równanie
charakterystyczne,
- sprawdzimy, czy współczynniki równania charakterystycznego istnieją i są tego samego
znaku (pierwszy warunek Hurwitza),
- napiszemy wyznacznik główny Hurwitza,
- sprawdzimy, czy podwyznaczniki wyznacznika głównego niezawierające kr są większe od
zera (warunek konieczny),
- przyrównamy do zera podwyznacznik zawierający kr i z otrzymanej równości wyliczymy
kr = kkr .
2. Określimy optymalny współczynnik wzmocnienia kopt według metodyki Nicholsa-Zieglera.
Ponieważ w rozważanym przypadku mamy do czynienia z regulatorem typu P
(proporcjonalnym) to zgodnie z regułami metodyki Nicholsa-Zieglera kopt = 0,5kkr .
3. Wyznaczenie wartości liczbowej uchybu ustalonego εust..
Mając liczbową wartość kopt możemy wyliczyć wartość uchybu ustalonego εust. korzystając
z transmitancji uchybowej i ze wzoru na uchyb ustalony. Przyjmiemy sygnał wymuszający
1
w postaci skoku jednostkowego czyli w zad (s)= .
s
Transmitancja uchybowa ze względu na sygnał zadany w(s) ma postać:
Gε w (s )=
ε (s)
1
=
w (s) 1+G R ( s) Go (s )GUP (s)
Natomiast wartość uchybu ustalonego w tym przypadku liczymy ze wzoru:
ε 0w=lim ε w ( t)=lim s ε w ( s)=lim s
t →∞
s→0
s→0
1
w ( s)
1+G R (s) Go (s )G UP (s) zad
Przykład rozwiązania
Uwaga! Przykładowe rozwiązanie wykorzystuje transmitancje ze schematu blokowego
Krok I – określenie transmitancji zastępczej
Korzystając ze wzorów na transmitancję zastępczą połączenia szeregowego członów oraz
połączenia ze sprzężeniem zwrotnym (szczegóły patrz Wykład Nr5, w szczególności rozdział 5.3)
napiszemy wzór na transmitancję zastępczą układu przedstawionego na schemacie:
10k r
2
10k r (s+1)
(10s+1)( 400s +30s+1)
G zas =
=
10k r
(10s+1)(400s 2+30s+1)(s+1)+10k r
1+
(10s+1)( 400s 2+30s+1)( s+1)
Krok II – określenie równania charakterystycznego
Równaniem charakterystycznym nazywamy mianownik transmitancji zastępczej
przyrównany do zera. Ważnym jest, aby transmitancja zastępcza była „ładna” to znaczy, aby była
wyrażona w postaci stosunku dwóch wielomianów. Nie mogą w transmitancji zastępczej
występować ułamki piętrowe. Tak więc w omawianym przykładzie równanie charakterystyczne
przyjmie postać:
2
4
3
2
(10s+1)( 400s +30s+1)( s+1)+10k r=4000s +4700s +740s +41s+1+10k r =0 .
Warto sobie równocześnie napisać ogólną postać równania charakterystycznego 4-go stopnia
4
3
2
a 4 s +a 3 s +a 2 s +a1 s+a 0=0
i podpisać jedno nad drugim, czyli
4000s 4+4700s 3+740s 2+41s+1+10k r=0
4
3
2
a 4 s + a 3 s + a 2 s +a 1 s+ a 0 =0
Taki zapis ułatwi za chwilę badanie podwyznaczników.
Krok III – główny wyznacznik Hurwitza dla układu 4-go stopnia
Zastosowanie kryterium Hurwitza do wyznaczenia krytycznej wartości współczynnika
wzmocnienia regulatora kr wymaga badania podwyznaczników wyznacznika głównego Hurwitza
(szczegóły: wykład 8, pkt. 8.4). Dlatego teraz napiszemy ogólną postać tego wyznacznika dla
układu 4-go stopnia a następnie sam wyznacznik.
Wyznacznik główny dla układu 4-go stopnia ma postać:
∣
∣
a3 a4 0 0
a a 2 a3 a 4
Γ= 1
0 a 0 a1 a 2
0 0 0 a0
.
Wyznacznik główny w omawianym przykładzie zapiszemy następująco:
4700
4000
0
0
41
740
4700
4000
Γ=
0
(1+10k r ) 41
740
0
0
0
(1+10k r )
∣
∣
Krok IV -sprawdzamy pierwszy warunek Hurwitza
Pierwszy warunek Hurwitza brzmi: wszystkie współczynniki równania charakterystycznego
muszą istnieć i być tego samego znaku (szczegóły: wykład 7, pkt. 7.3).
Sprawdzamy: współczynniki a4 , a3 , a2 , a1 istnieją i są dodatnie. Po to aby a0 również
istniało i były dodatnie, kr musi być:
−1
1+10k r >0 → k r >
→ k r >−0,1
•
10
Widzimy więc, że jeśli kr będzie dodatnie to pierwszy warunek będzie spełniony.
Krok V – sprawdzamy drugi warunek Hurwitza
Drugi warunek Hurwitza powiada: wszystkie podwyznaczniki Δi. > 0, gdzie i = 2,3,...,n-1.
W przypadku, kiedy n = 4 należy sprawdzić dwa podwyznaczniki: Δ2 oraz Δ3 .
Sprawdzamy Δ2 :
a a4
Δ 2= 3
=a 2 a 3−a1 a 4=740⋅4700−41⋅4000=3478000−164000=3314000>0
a1 a2
∣ ∣
Sprawdzamy Δ3 :
a3 a4 0
Δ 3= a 1 a 2 a 3 =a1 a 2 a 3−a 0 a 23−a12 a 4=41⋅740⋅4700−(1+10k r )⋅47002 −412⋅4000
0 a0 a1
∣ ∣
Δ 3=142598000−22090000−220900000k r −6724000=113784000−220900000k r >0
k r<
113784000
<0,515
22090000
Krok VI – określenie krytycznej wartości współczynnika wzmocnienia regulatora, kr
Z przeprowadzonych rozważań i wyliczeń wynika, że graniczna wartość współczynnika
wzmocnienia regulatora kr przy której układ będzie na granicy stabilności to kr = 0,515. Tę
wartość wzmocnienia nazywamy krytyczną (szczegóły: wykład 8, pkt. 8.4).
Tak więc w rozważanym przykładzie kkr =0,515 .
Krok VII – określenie optymalnej wartości współczynnika wzmocnienia regulatora, kopt
Jednym ze znanych sposobów doboru optymalnych nastaw regulatora jest metodyka
Nicholsa-Zieglera (szczegóły: wykład 10, pkt. 10.3). Dla przypadku, kiedy stosujemy regulator
proporcjonalny P ( a tak mamy w tym przypadku albowiem pytamy tylko o jeden parametr
regulatora i to parametr charakteryzujący regulator P) sprawa jest bardzo prosta. Zgodnie z
zaleceniami Nicholsa-Zieglera dla UAR z regulatorem P kopt = 0,5kkr .
Tak więc w omawianym
przykładzie kopt = 0,257.
Krok VIII– określenie wartości uchybu ustalonego, εust
Uchyb ustalony wyliczymy ze wzoru na uchyb ustalony przyjmując kr = kopt (szczegóły:
wykład 9, pkt. 9.1 oraz przykład 9.1).
Wstawimy do wzoru na uchyb ustalony transmitancje z rozważanego przykładu a za sygnał
wejściowy wzad przyjmiemy wymuszenie jednostkowe.
Otrzymamy
1
1
1
ε 0w=lim s
w zad ( s)=lim s
⋅
1+G R ( s) G o( s)G UP (s)
k opt⋅10
s
s→0
s→0
1+
2
(10s+1)(400s +30s+1)(s+1)
1
1
ε 0w=
=
=0,28
1+10k opt 1+10⋅0,257
Taka wartość uchybu ustalonego oznacza, że w stanie ustalonym na wyjściu obiektu w
rozpatrywanym przykładowym UAR sygnał ustali się na poziomie: yust =1-0,28 = 0,72.