WYMAGANIA Z LOGIKI i TEORII MNOGOŚCI (czyste i stosowane

WYMAGANIA Z LOGIKI i TEORII MNOGOŚCI (czyste i stosowane)- na 12 lutego
1. Rachunek zdań i reguły wnioskowania.
Pojęcia tautologii, formuły spełnialnej i sprzecznej. Metoda zerojedynkowa.
Sprawdzanie za pomocą metody zerojedynkowej poprawności danego schematu
wnioskowania. Jeżeli konieczna okaże się znajomość reguł wnioskowania, to
odpowiedni fragment tabeli zostanie dołączony do treści zadań. Notacja polska.
2. Algebra zbiorów
Suma, iloczyn, różnica, różnica symetryczna i dopełnienie. Dowód łączności
różnicy symetrycznej nie jest wymagany. Iloczyn kartezjański i zbiór potęgowy
P (A), Sprawdzanie zależności za pomocą rachunku zdań.
3. Kwantyfikatory
Zapisywanie prostych zdań (własności) za pomocą kwantyfikatorów. Uzasadnianie (poprzez wskazanie kontrprzykładu), że odpowiednia formuła rachunku
kwantyfikatorów nie jest tautologią (tzn. prawem logiki). Kwantyfikatory ograniczone. Dowód praw de Morgana dla kwantyfikatorów ograniczonych.
4. Relacje
Ogólne pojęcie relacji (czyli relacja jako zbiór). Działania na relacjach.
Porządki częściowe (elementy minimalne, najmniejsze, łańcuchy itd.) i porządki liniowe.
Relacje równoważności. Klasy abstrakcji
5. Funkcje
Składanie funkcji i funkcja odwrotna. Injekcje, surjekcje i bijekcje. Obraz i
przeciwobraz. Proste dowody odpowiednich własności.
6. Aksjomaty teorii mnogości (tylko MC)
Umiejętność zapisania początkowych aksjomatów za pomocą symboli formalnych. Można pominąć aksjomaty regularności, zastępowania i wyboru.
7. Kraty, drzewa i algebry Boole’a (tylko MS)
Pojęcie drzewa i kraty. Aksjomaty algebry Boole’a. Upraszczanie wyrażeń boole’owskich. Sieci logiczne
8. Przeliczalność, równoliczność i liczby kardynalne
Określenia: zbiór przeliczalny, równoliczność zbiorów, zbiory równej mocy.
Działania na zbiorach przeliczalnych. Uzasadnianie przeliczalności zbioru.
Twierdzenie Cantora-Bernsteina (bez dowodu). Hipoteza continuum.
Działania na liczbach kardynalnych. Obliczanie mocy zbiorów.
DOWODY: Przeliczalność Q. NIEPRZELICZALNOŚĆ R.
9. MOGĄ BYĆ PROSTE PYTANIA o definicje, np.:
- co to jest relacja n-argumentowa na zbiorze X?
- co to jest bijekcja?
- co to znaczy, że zbiory X oraz Y są równoliczne?
- i określenia innych pojęć pojawiających się na dotychczasowych egzaminach
(kolokwiach).
10. A poza tym lepiej kojarzyć, kto to taki i kiedy z grubsza żył:
Georg CANTOR,
Kurt Gödel,
Paul Joseph Cohen
Polscy matematycy:
Wacław .....,
Kazimierz .......,
Stefan .....,
Hugo Dionizy ....,
Alfred......
Stanisław ... (co prawda nie pojawił się na naszych wykładach, ale jest współtwórca bomby wodorowej, co przynajmniej na matematyce stosowanej powinno
zostać docenione (a w czystej też ma wspaniałe wyniki))