Część I Część II

Badania operacyjne – przykładowe kolokwium
Część I
Zadanie 1. Rozwiązać geometrycznie następujące zadanie programowania liniowego:
1
J(u) = − u1 + u2 → min
2
u ∈ U = {u = (u1 , u2 ) ∈ R2 ;
u ­ 0,




5
1 −1



1 u ¬  2 
}.
 −2
2
−2
− 5 −1
Zadanie 2. Znaleźć jeden punkt wierzchołkowy zbioru:

u ∈ U = {u = (u1 , u2 , u3 , u4 ) ∈ R4 ;
u ­ 0,



1 0 0 1
0




 0 2 0 1  u =  3 }.
0 0 3 1
0
Podać jego bazę i określić, czy jest to punkt osobliwy, czy nie.
Zadanie 3. Dokonaj analizy następująch tablic sympleksowych oraz wyciągnij odpowiednie wnioski dotyczące rozwiązania zadań programowania liniowego, dla których zostały
one utworzone
u2
u3
∆
u1
-2
1
1
u2
1
0
0
u3
0
1
0
u4
-1
3
-2
v2 = 1
v3 = 2
J(v) = 3
u1
u4
∆
u1
1
0
0
u2
-1
-4
2
u3
4
-4
-5
u4
0
1
0
v1 = 3
v4 = 2
J(v) = 7
Zadanie 4. Zbadaj warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji

J(u
= u21 − u1 u2 + u22 − 2u1 + u2 + 1
(u1 , u2 ) ∈ R2 .
1 , u2 )
Część II
Rozwiązać dwa z trzech następujących zadań
Zadanie 5. Zbadaj warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji z zadania 4.
Zadanie 6. Producent papierowych wyrobów higienicznych chce określić, ile sztuk chusteczek higienicznych i ile sztuk ręczników higienicznych powinien wyprodukować tak, aby
zysk osiągnięty z ich sprzedaży był maksymalny. Do produkcji wykorzystywane są dwa typy
bibuły: A i B. Producent posiada 150m2 bibuły A i 100m2 bibuły B oraz dysponuje kapitałem 600 minut roboczych. Zamówienia wymagają wyprodukowania co najmniej 2200
chusteczek i co najwyżej 1000 ręczników. Do produkcji jednej chusteczki i jednego ręcznika
potrzeba odpowiednio:
0, 4m2 bibuly A i 0, 2m2 bibuly B,
0, 75m2 bibuly A i 0, 25m2 bibuly B.
1
Ponadto, wyprodukowanie jednej chusteczki wymaga 3 minut pracy, a jednego ręcznika - 4
minut. Przy sprzedaży jednej chusteczki producent osiąga zysk 4 groszy, jednego ręcznika
- 6 groszy.
Zapisać powyższe zadanie jako minimalizacyjne zadanie programowania liniowego. Podać
wektor c określający funkcjonał kosztu oraz macierz A i wektor b występujące w opisie
ograniczeń.
Zadanie 7. Niech dane będzie zadanie:
J(u) = u1 + u3 − u4 → min
"
4
u ∈ U = {u = (u1 , u2 , u3 , u4 ) ∈ R ;
u ­ 0,
1 2 0 1
1 0 −1 0
#
"
u=
#
1
}.
0
Wyznaczyć tablicę sympleksową dla punktu wierzchołkowego v = (0, 12 , 0, 0), wiedząc, że
jego bazą jest układ kolumn A2 , A3 .
2