Proces Wienera, osrodkowosc procesów Procesy Stochastyczne
Transkrypt
Proces Wienera, osrodkowosc procesów Procesy Stochastyczne
Proces Wienera, ośrodkowość procesów Procesy Stochastyczne, wykład 3 Proces Wienera, ośrodkowość procesów Niech T ⊂ [0, ∞) będzie zbiorem indeksów. Załóżmy, że dla dowolnego n ∈ N i t1 , . . . , tn ∈ T istnieje miara probabilistyczna Pt1 ,...,tn na (Rn , B n ). Powiemy, że rodzina {Pt1 ,...,tn } jest zgodna gdy spełnia warunki: 1. Jeżeli t1 , . . . , tn ∈ T , oraz i1 , . . . , in jest permutacją liczb 1, . . . , n i A1 , . . . , An są dowolnymi zbiorami z B, to Pti1 ,...,tin (Ai1 × . . . × Ain ) = Pt1 ,...,tn (A1 × . . . × An ). 2. Jeżeli t1 , . . . , tn , tn+1 ∈ T , oraz A1 , . . . , An są dowolnymi zbiorami z B, to Pt1 ,...,tn ,tn+1 (A1 × . . . × An × R) = Pt1 ,...,tn (A1 × . . . × An ) Twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu procesu Jeżeli rodzina miar {Pt1 ,...,tn } jest zgodna, to istnieje proces stochastyczny {Xt }t∈T (o wartościach w R) o rozkładach skończenie wymiarowych zadanych przez tę rodzinę, czyli P(X (t1 ) ∈ A1 , . . . , X (tn ) ∈ An ) = Pt1 ,...,tn (A1 × . . . × An ). Proces Wienera, ośrodkowość procesów Proces Wienera (ruch Browna) R. Brown (1827) - chaotyczny ruch pyłku unoszącego się w cieczy; L. Bachalier (1900) - analiza cen na giełdzie paryskiej; A. Einstein, M. Smoluchowski (1905-1906) - opis fizyczny; N. Wiener (1926) - konstrukcja matematyczna. Postulaty procesy Wienera {W (t)}t≥0 (i) W (0) = 0, (ii) W jest procesem o przyrostach niezależnych, (iii) W (t + s) − W (s) ma rozkład normalny o średniej 0 i wariancji t, (iv) trajektorie procesu W są z prawdopodobieństwem 1 ciągłe. Proces Wienera, ośrodkowość procesów Załóżmy, że istnieje proces spełniający (i) - (iii). Niech T = [0, ∞), n ∈ N, 0 < t1 < t2 < . . . < tn < ∞, pt (x) = (2πt)−1/2 exp(−x 2 /(2t)). Y = (W (t1 ), W (t2 ), . . . , W (tn )), X = (W (t1 ), W (t2 ) − W (t1 ), . . . , W (tn ) − W (tn−1 )). Zachodzi Y = TX = T ((W (t1 ), W (t2 ) − W (t1 ), . . . , W (tn ) − W (tn−1 ))), gdzie T (x1 , x2 , . . . , xn ) = (x1 , x1 + x2 , . . . , x1 + x2 + . . . + xn ). Niech A macierz odpowiadająca T . X ma gęstość n-wymiarową: gt1 ,...,tn (x1 , . . . , xn ) = pt1 (x1 )pt2 −t1 (x2 ) . . . ptn −tn−1 (xn ). Y = TX ma gęstość n-wymiarową: gt1 ,...,tn (x) = | det A|−1 gt1 ,...,tn (A−1 x) = gt1 ,...,tn (x1 , x2 − x1 , . . . , xn − xn−1 ) = pt1 (x1 )pt2 −t1 (x2 − x1 ) . . . ptn −tn−1 (xn − xn−1 ). Proces Wienera, ośrodkowość procesów Uzasadnimy, że istnieje proces spełniający (i) - (iii). Dla dowolnych n ∈ N, 0 < t1 < t2 < . . . < tn < ∞ definiujemy miarę probabilistyczną Pt1 ,...,tn na (Rn , B n ) o gęstości pt1 (x1 )pt2 −t1 (x2 − x1 ) . . . ptn −tn−1 (xn − xn−1 ). Dla 0 = t1 < t2 < . . . < tn < ∞ definiujemy Pt1 ,...,tn = δ0 × Pt2 ,...,tn , n ≥ 2 (oraz P0 = δ0 ). Gdy i1 , . . . , in jest permutacją liczb 1, . . . , n to definujemy Pti1 ,...,tin (Ai1 × . . . × Ain ) = Pt1 ,...,tn (A1 × . . . × An ). Uzasadnimy, że Pt1 ,...,tn jest zgodną rodziną miar. Warunek 1 jest spełniony z powyższej definicji. Niech 0 < t1 < t2 < . . . < tn < ∞. Pt1 ,...,ti−1 ,ti ,ti+1 ,...,tn (A1 × . . . × Ai−1 × R × Ai+1 × . . . × An ) Z Z Z Z Z = ... ... . . . pti −ti−1 (xi − xi−1 )pti+1 −ti (xi+1 − xi ) . . . dx1 . . . dxn A1 Ai−1 Z Z R Ai+1 Z ... = A1 An Z ... Ai−1 Ai+1 An . . . pti+1 −ti−1 (xi+1 − xi−1 ) . . . dx1 . . . dxn Pt1 ,...,ti−1 ,ti+1 ,...,tn (A1 × . . . × Ai−1 × Ai+1 × . . . × An ). Z tw. Kołmogorowa istnieje proces o rozkładach skończenie wymiarowych zadanych przez powyższą rodzinę miar Pt1 ,...,tn . Proces Wienera, ośrodkowość procesów Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja. Ośrodkowość procesu Proces (X (t))t∈T nazywamy ośrodkowym, jeśli istnieje zbiór przeliczalny S ⊆ T oraz zbiór N, P(N) = 0, taki, że dla ω ∈ /N i dla dowolnego t ∈ T zachodzi \ X (I ∩ S, ω) Xt (ω) ∈ I ;I 3t gdzie I przebiega zbiór J odcinków relatywnie otwartych w T . S nazywamy zbiorem ośrodkowości procesu (X (t))t∈T . Równoważnie: Proces (X (t))t∈T jest ośrodkowy ⇐⇒ dla dowolnego ω ∈ /N i dowolnego u ∈ / S istnieje ciąg S 3 sj −→ u taki, że X (u, ω) = limj X (sj , ω). Proces Wienera, ośrodkowość procesów Ośrodkowość procesów Wniosek. Proces o trajektoriach ciągłych (prawostronnie, lewostronnie ciągłych) jest ośrodkowy. Tw. 1. Niech (X (t))t∈T będzie procesem ośrodkowym oraz S zbiorem ośrodkowości procesu. Istnieje zbiór N, P(N) = 0 taki, że dla dowolnego domkniętego zbioru K ⊆ R oraz dowolnego relatywnie otwartego przedziału I ⊆ T zachodzi {X (t) ∈ K , t ∈ I ∩ S} \ {X (t) ∈ K , t ∈ I } ⊆ N. Stąd wynika, że zbiory {X (t) ∈ K , t ∈ I } są zdarzeniami (∈ Σ) oraz P(X (t) ∈ K , t ∈ I ) = P(X (t) ∈ K , t ∈ I ∩ S). Proces Wienera, ośrodkowość procesów Ośrodkowość procesów Wniosek. Dla ω ∈ / N zachodzi sup X (t, ω) = sup X (t, ω), inf X (t, ω) = inf X (t, ω); I I ∩S I ∩S I lim sup X (t, ω) = lim sup X (t, ω), lim inf X (t, ω) = lim inf X (t, ω). t→u S3t→u t→u S3t→u Stąd, powyższe wzory określają zmienne losowe. Analogiczne wzory zachodzą dla granic jednostronnych. Dowód Tw. 1. Z definicji ośrodkowości zachodzi / N. X (u, ω) ∈ X (I ∩ S, ω), dla dowolnego u ∈ I ∈ J oraz ω ∈ Zatem X (I , ω) = X (I ∩ S, ω), I ∈ J, ω ∈ / N. Teza tw. 1 wynika teraz z następującej równoważności: X (t, ω) ∈ K , ∀t ∈ T0 ⇐⇒ X (T0 , ω) ⊆ K , K −domkn. ⊆ R, T0 ⊆ T . Proces Wienera, ośrodkowość procesów Ciągłość stochastyczna, środkowość procesów Definicja. Ciągłość stochastyczna procesu Proces (X (t))t∈T nazywamy ciągłym stochastycznie, gdy odwzorowanie t −→ X (t) jest ciągłe w sensie zbieżności wg. prawdopodobieństwa. Tw. 2. Jeśli (X (t))t∈T jest ciągły stochastycznie i ośrodkowy to dowolny zbiór przeliczalny gęsty w T jest zbiorem ośrodkowości procesu. Lemat. Niech (X (t))t∈T będzie ciągły stochastycznie oraz niech S będzie zbiorem przeliczalnym, gęstym w T . Istnieje rodzina {N u ; u ∈ T } zbiorów zerowych, taka, że dla dowolnego u ∈ T oraz ω ∈ / Nu \ X (u, ω) ∈ X (I ∩ S, ω) I 3u Proces Wienera, ośrodkowość procesów Ciągłość stochastyczna, ośrodkowość procesów Dowód Lematu. Dla dowolnego u ∈ T i dowolnego {sj }, sj ∈ S, sj −→ u zachodzi Xsj −→ Xu wg. prawdopodobieństwa. Istnieje wiec podciąg {sk 0 } taki, że dla ω ∈ / N u zachodzi Xsk 0 −→ Xu więc X (u, ω) ∈ \ X (I ∩ S, ω). I 3u Dowód Tw. 2. Niech S0 - zbiór ośrodkowości procesu oraz N zbiór zerowy z definicji ośrodkowości. Jeśli S jest zbiorem przeliczalnym gęstym w T , to na podstawie lematu [ X (I ∩ S0 , ω) ⊆ X (I ∩ S, ω), dla ω ∈ / Nu. S0 Stąd X (u,Sω) ∈ X (I ∩ S, ω), dla dowolnego u ∈ I ∈ J i dowolnego ω∈ / N ∪ S0 N u . Proces Wienera, ośrodkowość procesów Stochastyczna równoważność i ośrodkowość procesów Definicja. Stochastyczna równoważność procesów Procesy X i Y nazywamy stochastycznie równoważnymi jeśli dla każdego t ∈ T zachodzi P(X (t) = Y (t)) = 1. Procesy stochastycznie równoważne mają te same rozkłady skończenie wymiarowe więc ten sam rozkład procesu. Tw. Stochastyczna równoważność z procesem ośrodkowym Dla dowolnego procesu X o wartościach w R istnieje stochastycznie równoważny proces ośrodkowy Y o wartościach w R. Proces Wienera, ośrodkowość procesów Proces Wienera, lematy pomocnicze Lemat 1. Niech Ja = R∞ a e −v 2 /2 dv . Dla a > 0 zachodzi: a 1 2 2 e −a /2 ≤ Ja ≤ e −a /2 . 2 1+a a Dowód. Z Ja = a ∞ ∞ −1 −v 2 /2 0 (e ) dv = v a Z ∞ −v 2 /2 1 e dv 2 = e −a /2 − . 2 a v a 1 2 v e −v /2 dv = v Z Proces Wienera, ośrodkowość procesów Proces Wienera, lematy pomocnicze Ponieważ R∞ a e −v 2 /2 dv v2 ≤ Ja /a2 więc Z ∞ −v 2 /2 e dv Ja 1 + a2 1 −a2 /2 e = Ja + ≤ J + = Ja , a a v2 a2 a2 a Stąd otrzymujemy lewą część nierówności. Prawa wynika bezpośrednio z pierwszego wzoru. Lemat 2. Niech ξ1 , . . . , ξn będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Połóżmy U0 = Vn = 0, Uk = ξ1 + . . . + ξk , Vk = ξk+1 + . . . + ξn , k = 0, . . . . . . , n. Jeśli P(Vk ≥ b) ≥ p > 0 dla każdego k, b ≤ 0 ≤ a, to p P(max Uk > a) ≤ P(Un > a + b). k Jeśli P(|Vk | ≤ b) ≥ q > 0 dla wszystkich k, b ≥ 0, to qP(max |Uk | > a + b) ≤ P(|Un | > a). k Proces Wienera, ośrodkowość procesów Proces Wienera, lematy pomocnicze Dowód Lematu 2. Oznaczmy A0 = {U0 > a}, Bk = {Vk ≥ b} oraz Ak = {U0 ≤ a, . . . , Uk−1 ≤ a, Uk > a}. Dowód pierwszej nierówności: X X P(Un > a + b) ≥ P(Ak ∩ Bk ) = P(Ak ) P(Bk ) ≥ k k p X k P(Ak ) = p P(max Uk > a). k Dla dowodu drugiej, niech A00 = {|U0 | > a + b}, Bk0 = {|Vk | ≤ b}, A0k = {|U0 | ≤ a + b, . . . , |Uk−1 | ≤ a + b, |Uk | > a + b}. |U A0k ∩ Bk0 ⊂ {|Un | > a}. Stąd P(|Un | > a) ≥ k | − |Vk | więc Pn | ≥ |U P 0 0 0 0 k P(Ak ∩ Bk ) = k P(Ak ) P(Bk ) ≥ q P(maxk |Uk | > a + b). Proces Wienera, ośrodkowość procesów Oszacowanie maksimum w procesie Wienera Tw. 3. P(sup 0≤s≤t |Ws | > a) ≤ 2 P(|Wt | > a) Niech W = (W (t))≥0 będzie procesem ośrodkowym spełniającym postulaty (i)-(iii). Oznaczmy Mt = sup 0≤s≤t Ws , mt = inf 0≤s≤t Ws . Dla a ≥ 0 zachodzi P(Mt > a) ≤ 2 P(Wt > a), P(mt < −a) ≤ 2 P(Wt < −a), P( sup |Ws | > a) ≤ 2 P(|Wt | > a). 0≤s≤t Dowód. Udowodnimy pierwszą nierówność. Z ośrodkowości i ciągłości stochastycznej wynika, że wystarczy pokazać nierówność dla sups∈[0,t]∩S Ws dla dowolnego zbioru S = {s1 , s2 , . . .}, przeliczalnego i gęstego w [0, t]. Niech s1 = 0, s2 = t oraz niech 0 = t0 < t1 < . . . < tn = t będzie układem n pierwszych wyrazów tego zbioru, uporządkowanym rosnąco. Kładąc ξk = Wtk − Wtk−1 otrzymujemy Uk = ξ1 + . . . + ξk = Wtk , Vk = ξk+1 + . . . + ξn = Wt − Wtk oraz P(Vk ≥ 0) ≥ 1/2. Proces Wienera, ośrodkowość procesów Oszacowanie maksimum w procesie Wienera Stosując Lemat 2 dla b = 0 oraz p = 1/2 otrzymujemy P( sup Wtk > a) ≤ 2 P(Wt > a). 0≤k≤n Gdy n −→ ∞ otrzymujemy dowodzoną nierówność. Ponieważ { sup |Ws | > a} ⊆ { sup Ws > a} ∪ { inf Ws < −a} 0≤s≤t 0≤s≤t 0≤s≤t więc pierwsze dwie nierówności pociągają za sobą trzecią. Druga nierówność wynika z pierwszej i z symetrii Wt : sup Ws = − inf (−Ws ); 0≤s≤t 0≤s≤t (−Ws )s≥0 ma taki sam rozkład jak (Ws )s≥0 . Proces Wienera, ośrodkowość procesów Ciągłość trajektorii procesu Wienera Tw. 4. Ciągłość trajektorii procesu Wienera Niech (Wt )t≥0 będzie ośrodkowym procesem spełniającym postulaty (i)-(iii) procesu Wienera. Trajektorie procesu (Wt )t≥0 są ciągłe z prawdopodobieństwem 1. Dokładniej, dla każdego 0 < p < 1/2 istnieje Np = Np (ω) takie, że gdy n ≥ Np to z prawd. 1 zachodzi |Ws − Wt | < 4/np dla |s − t| < 1/n, s, t ∈ [0, n]. Dowód. Wystarczy udowodnić ostatnią nierówność. Niech Yn = sup|s−t|<1/n |Ws − Wt |, s, t ∈ [0, n] oraz niech Zk = supt∈Jk |Wt − W(k−1)/n |, Jk = [(k − 1)/n, k/n], k = 1, . . . , n2 . Z nierówności trójkąta mamy Yn ≤ 3 maxk Zk . Rzeczywiście, gdy |s − t| < 1/n, s ∈ Jk to |Ws − Wt | ≤ 2 Zk + Zk+1 ≤ 3 maxk Zk . Zk mają jednakowe rozkłady, więc Proces Wienera, ośrodkowość procesów Ciągłość trajektorii procesu Wienera [ pn = P(max Zk > ε) = P( {Zk > ε}) X P(Zk > ε) = n2 P(Zk > ε). k Na mocy Tw. 3 r Z 2 ∞ −v 2 /2 P(Zk > ε) ≤ 2 P(|W1/n | > ε) = 2 e dv , π ε√n więc z Lematu 1 otrzymujemy q 2 pn ≤ 2 n2 P(|W1/n | > ε) ∼ 2 π2 n3/2 e −nε /2 /ε . P Kładąc ε = εn = 1/np dla p < 1/2 otrzymujemy pn < ∞. Z lematu Borella - Cantelliego z prawdopodobieństwem 1 zachodzi n > Np =⇒ maxk Zk ≤ 1/np czyli Yn ≤ 3/np . Proces Wienera, ośrodkowość procesów