wyklad 4

Energia kinetyczna i praca.
Energia potencjalna
Wykład 4
Wrocław University of Technology
1
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Praca
Kto wykonał większą pracę?
Hossein Rezazadeh
Olimpiada w Atenach 2004 WR
Podrzut 263 kg
Paul Anderson
Rekord Guinnessa 1957
Ciężar 27900N (2850kg)
2
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Energia
Termin energia pochodzi od greckiego słowa „energeia” używanego
już przez Arystotelesa i w różnych tłumaczeniach oznacza
działanie, przyczynę ruchu, moc.
A jak należy rozumieć słowo energia w języku fizyki?
Słownik wyrazów obcych PWN: „… wielkość fizyczna określająca
zdolność ciała lub układu ciał do wykonywania pracy przy
przejściu z jednego stanu do drugiego”
Energia – wielkość skalarna opisująca stan w jakim się w danym
momencie znajduje jedno lub wiele ciał.
3
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Energia kinetyczna
Energię kinetyczną Ek ciała o masie m, poruszającego się z prędkością
o wartości v, znacznie mniejszej od prędkości światła, definiujemy
jako:
1 2
Ek  mv
2
Jednostką energii kinetycznej (i każdego innego
rodzaju energii) w układzie SI jest dżul (J).
Nazwa ta pochodzi od nazwiska XIX-wiecznego
uczonego angielskiego, Jamesa Prescotta Joule'a.
m2
1J  kg  2
s
James Prescott Joule
4
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Energia kinetyczna
W 1896 roku w Waco, w Teksasie William Crush na oczach 30000 widzów
ustawił dwie lokomotywy naprzeciwko siebie, na końcach toru o długości
6.4km. Zablokował dźwignie w położeniu pełnego gazu i pozwolił
rozpędzonym lokomotywom zderzyć się ze sobą czołowo. Wyznacz łączną
energię kinetyczną lokomotyw tuż przed zderzeniem zakładając, że każda z
nich miała ciężar równy 1.2.106 N, a przyspieszenia obydwu lokomotyw
wzdłuż toru były stałe i wynosiły 0.26 m/s2.
przed
po
5
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Energia kinetyczna
Przyspieszenie każdej z lokomotyw było stałe, więc do obliczenia
jej prędkości v tuż przed zderzeniem możemy zastosować wzór:
v 2  v02  2ax  x0 
v  40.8m / s


1 2
Ek  2 mv   1.22 105 kg  40.8m / s   2 108 J
2

Energia wybuchu trotylu:
EWT  3.9 106 J / kg
Ezderzenia lokomotyw ≈ 51kg trotylu
6
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Praca
Praca W jest to energia przekazana ciału lub od niego odebrana na
drodze działania na ciało siłą. Gdy energia jest przekazana ciału,
praca jest dodatnia, a gdy energia jest ciału odebrana, praca jest
ujemna.

F

r
 
W  F  r  F  r cos 
7
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Praca
Jeśli siła jest funkcją położenia, tzn. F = F(r) to całkowite przemieszczenie
ciała rozkładamy na n odcinków, tak aby w każdym z nich siłę można
uważać za stałą. Wówczas praca całkowita wykonana przez siłę F(r) przy
przesunięciu ciała z punktu 1 do punktu 2, których położenia są dane przez
promienie wodzące r1 i r2 , wynosi:
  
W (1  2)   F ri  ri
n
i 1
r2
 
  
lim   F ri   ri   F r   dr
n
ri 0
i 1
r1
  
W   F r   dr
r2
r1
8
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Praca

F

F

r
r
 
W   F  r
n
dr
 
W   Fdr

r
9
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Praca
 
Jeśli cos( F , dr )  0 , tzn. kąt między kierunkiem F i dr jest mniejszy od
90o, to wówczas W>0, czyli praca wykonana przez siłę F jest dodatnia.
Przykładem takiej sytuacji jest praca wykonana przez siły
 grawitacji

podczas swobodnego spadku ciała. Jeśli natomiast cos( F , dr )  0 , tzn.
kąt między F i dr jest większy od 90o, to praca siły F jest ujemna.
Przykładem takich sił są siły oporu ruchu.
Jednostka pracy: dżul.
2
m
1J  1kg 1 2  1N 1m
s
10
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Praca
Gdy na ciało działa wektor siły

F  Fxiˆ  Fy ˆj  Fz kˆ
w wyniku której cząstka doznaje niewielkiego przesunięcia

dr  dxiˆ  dyˆj  dzkˆ
praca wynosi
 
W  F  dr  Fx dx  Fy dy  Fz dz
Całkowita praca z punktu pocz do punktu kon
 
W   F  dr 
rkon
rpocz
rkon
rkon
rkon
 F dx   F dy   F dz
x
rpocz
y
rpocz
z
rpocz
11
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Praca a energia kinetyczna

v0
y

F


v
x

d


v 2  v02  2ax  d
1 2 1 2
mv  mv0  max  d
2
2
EKkon  EK pocz  Fx  d
12
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Praca a energia kinetyczna
 
Ponieważ dr  v dt więc
   t2   
W   F r   dr   F r   v dt
r2
r1
t1
Jeśli założymy, że masa ciała jest stała, to wtedy



dv
F  ma  m
dt

v2
v
 
W  m  v  dv  m

2
v1
2
v2

v22
v12
  m  m
2
2
 v1
Gdzie v1 i v2 są prędkościami ciała odpowiednio w punkcie 1 i 2.
13
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Praca a energia kinetyczna
Zmiana energii kinetycznej ciała jest równa pracy wykonanej nad tym
ciałem:
EK  EKkon  EK pocz  W
ZMIANA ENERGII
KINETYCZNEJ CZĄSTKI
=
CAŁKOWITA PRACA
WYKONANA NAD CZĄSTKĄ
Związek ten można zapisać inaczej
EK kon  EK pocz  W
ENERGIA
KINETYCZNEJ PO
WYKONANIU PRACY
=
ENERGIA
KINETYCZNEJ PRZED
WYKONANIEM PRACY
+
CAŁKOWITA PRACA
WYKONANA NAD
CZĄSTKĄ
14
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Moc
Jeżeli w przedziale czasu Δt została wykonana praca ΔW, to średnia
moc P jest określana
W
P
t
Mocą chwilową nazywamy granicę do jakiej zmierza moc średnia
gdy Δt = 0
W dW
P  lim

t 0 t
dt
Moc chwilowa jest więc pochodną pracy względem czasu.
15
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Moc
dW F  dr
P

 F v
dt
dt
W zapisie wektorowym
 
P  F v
Moc danej siły F jest proporcjonalna do prędkości v.
Jednostką mocy w układzie SI jest wat [W]. Moc jest równa
jednemu watowi, jeżeli stała siła wykonuje pracę jednego dżula w
czasie jednej sekundy.
1J
1W 
1s
16
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Energia potencjalna
Definicja energii potencjalnej Ep: jest to energia związana z
konfiguracją (czyli ustawieniem) układu ciał, działających na
siebie siłami. Gdy zmienia się konfiguracja tych ciał, może się
również zmieniać energia potencjalna układu.
Zmianę grawitacyjnej energii potencjalnej ΔEp definiujemy —
zarówno dla wznoszenia, jak i dla spadku ciała — jako pracę
wykonaną nad ciałem przez siłę ciężkości, wziętą z przeciwnym
znakiem. Oznaczając pracę — jak zwykle — symbolem W,
zapisujemy to stwierdzenie w postaci:
E p  W
17
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Siły zachowawcze i niezachowawcze
W sytuacji, gdy zawsze spełniony jest związek W1 = — W2,
energia kinetyczna zamieniana jest na energię potencjalną, a siłę
nazywamy siłą zachowawczą. Siła ciężkości i siła sprężystości są
siłami zachowawczymi (gdyby tak nie było. nie moglibyśmy mówić
o grawitacyjnej energii potencjalnej i energii potencjalnej
sprężystości).
Siłę, która nie jest zachowawcza, nazywamy siłą niezachowawczą.
Siła tarcia kinetycznego i siła oporu są niezachowawcze.
18
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Siły zachowawcze i niezachowawcze
Ile wynosi praca przesunięcia masy m pod działaniem siły F(x,y) z punktu 1 do
2 po drodze A oraz B?
B
2
1
A
Jeśli praca przemieszczenia
masy m między punktami A i B
nie zależy od drogi po której
nastąpiło przemieszczenie to
mówimy, że siła jest
zachowawcza, albo potencjalna.
Praca przemieszczenia masy m z punktu A po drodze 1 do punktu B i potem z
punktu B po drodze 2 do punktu A wynosi zero.
19
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Energia potencjalna
Jeżeli praca przemieszczenia masy m po drodze (krzywej) zamkniętej wynosi
zero to mówimy, że siła jest zachowawcza, albo potencjalna.
Możemy zapisać pracę siły F(x,y) na drodze elementarnego przemieszczenia dr
jako:
dW = F o dr
Ponieważ praca siły F(x,y) nie zależy od drogi, a tylko od punktu startu i końca
przemieszczenia to można określić funkcję skalarną, zależną tylko od
współrzędnych (x,y). Nazywamy ją energią potencjalną i określamy jej
nieskończenie mały przyrost:
dU = - F o dr
Minus został wybrany ze względu na to, że ubytek energii potencjalnej jest
równy wykonanej elementarnej pracy.
20
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Gradient energii potencjalnej
Przyrost funkcji U(x,y) można wyrazić jako sumę przyrostów funkcji względem
obydwu zmiennych niezależnych x i y jako:
U
U
dU 
dx 
dy
x
y
Pochodne U względem x i y nazywają się pochodnymi cząstkowymi i liczymy
je tak, jakby druga zmienna była stałą przy liczeniu pochodnej cząstkowej po
pierwszej zmiennej.
 
U
U
Z drugiej strony: dU  F  d r  Fx  dx  Fy  dy  
dx 
dy
x
y
Grupując wyrazy z odpowiednimi przyrostami dx i dy otrzymamy:

U 
U 

dy  0
 Fx 
dx   Fy 
x 
y 


21
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Gradient energii potencjalnej
W przestrzeni trójwymiarowej równanie to obowiązuje dla dowolnych przyrostów
dx, dy i dz stąd muszą znikać tożsamościowo wyrażenia w nawiasach:
U
Fx  
x
U
Fy  
y
U
Fz  
z
Siła równa jest ujemnemu gradientowi energii potencjalnej:
 E p E p E p 
 E p  E p  E p
F  -E p   
;
;
i
j
  
y
z
 x y z 
 x
Stąd:

k 

 
E p    Fdr
rkon
rpocz
Grawitacyjna energia potencjalna
E p (y)  mgy
Energia potencjalna sprężystości
1
E p (x)  kx 2
2
22
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Zasada zachowania energii mechanicznej
Energia mechaniczna Emech układu jest sumą jego energii potencjalnej Ep oraz
energii kinetycznej Ek wszystkich jego składników:
E mech  E p  E k
Gdy siła zachowawcza wykonuje pracę W w układzie izolowanym nad jednym
z ciał układu, zachodzi zamiana energii kinetycznej Ek ciała w energię
potencjalną Ep układu. Zmiana energii kinetycznej ΔEk jest równa:
ΔE k  W
Z drugiej strony wiadomo, że zmiana energii potencjalnej wynosi:
ΔE p  W
Stąd otrzymujemy, że
ΔE k  ΔE p
23
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Zasada zachowania energii mechanicznej
ΔE k  ΔE p
E k2  E k1  E p1  E p2
przy czym wskaźniki 1 i 2 odnoszą się do dwóch różnych chwil, a zatem dwóch
różnych konfiguracji składników układu.
Przekształcając otrzymujemy zasadę zachowania energii mechanicznej:
E k1  E p1  E k2  E p2
SUMA Ek i Ep DLA
DOWOLNEGO STANU UKŁADU
=
SUMA Ek i Ep DLA
KAŻDEGO INNEGO STANU UKŁADU
W układzie izolowanym, w którym zamiana energii pochodzi jedynie od sił
zachowawczych energia kinetyczna i energia potencjalna mogą się zmieniać, lecz
ich suma czyli energia mechaniczna Emech nie może ulegać zmianie.
24
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Zasada zachowania energii mechanicznej
25
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Zasada zachowania energii
• Zmiana całkowitej energii E układu jest równa energii dostarczonej do układu
lub od niego odebranej.
W  ΔE  ΔE mech  ΔE term  ΔE wewn
przy czyni ΔEmech jest dowolną zmianą energii mechanicznej układu. ΔEterm —
dowolną zmianą jego energii termicznej, a ΔEwewn — dowolną zmianą innych
postaci jego energii wewnętrznej. Zmiana energii mechanicznej ΔEmech zawiera
w sobie zmianę energii kinetycznej ΔEk oraz zmianę energii potencjalnej ΔEp
układu (sprężystości, grawitacyjnej lub jakiejkolwiek innej).
• Całkowita energia E układu izolowanego nie może się zmieniać.
ΔE mech  ΔE term  ΔE wewn  0
26