Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek prostej x−2y

Zadanie (geometria analityczna)
Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek prostej x − 2y − 6 = 0
wycięty przez hiperbolę xy = 8. Sporządź odpowiedni rysunek.
Rozwiązanie
Oznaczmy sobie punkty przecięcia się prostej x − 2y − 6 = 0 z hiperbolą
xy = 8 jako A i B. Musimy rozwiązać zatem układ równań:
(
x − 2y − 6 = 0
xy = 8
Możemy wyznaczyć z pierwszego równania x, czyli: x = 2y + 6 i podstawić
do drugiego równania:
(2y + 6)y = 8
otrzymujemy następujące równanie kwadratowe:
2y 2 + 6y − 8 = 0
y 2 + 3y − 4 = 0
Liczymy deltę i pierwiastki tego równania kwadratowego:
∆ = 9 + 16 = 25
√
∆=5
−3 − 5
y1 =
= −4
y2 = 1
2
Stąd otrzymujemy współrzędne punktów A i B, czyli: A(−2, −4) i B(8, 1).
Wiemy z treści zadania, że odcinek AB to średnica szukanego okręgu, stąd:
r = 21 |AB|. Mając współrzędne końców odcinka AB możemy policzyć jego
długość:
q
√
√
|AB| = (8 + 2)2 + (1 + 4)2 = 100 + 25 = 5 5
możemy zatem wyliczyć długość promienia szukanego okręgu:
√
5 5
r=
2
Możemy wyznaczyć teraz środek okręgu, czyli: S(xS , yS )
xS =
xA + xB
2
yS =
yA + yB
2
1
−2 + 8
=3
2
−4 + 1
3
yS =
=−
2
2
3
S 3, −
2
Mamy już wszystkie dane do wypisania równania okręgu, czyli:
xS =
3
(x − 3) + y +
2
2
2
2
=
125
4