Filtry adaptacyjne

Filtry adaptacyjne
Spis treści
1. Przykłady
2. Filtr Wienera
3. Algorytm filtracji adaptacyjnej
4. Algorytm rekursywnej adaptacji filtrów typu FIR
1
Telefon głośno mówiący
P.A. Regalia: Adaptive IIR Filtering in Signal Procesing
2
Tłumienie hałasu
S.Haykin: Adaptive Filter Theory
3
Wielokanałowe tłumienie hałasu
S.Haykin: Adaptive Filter Theory
4
Elektrokardiografia
S.Haykin: Adaptive Filter Theory
5
Zastosowania
Cztery podstawowe klasy zastosowań
filtracji adaptacyjnej:
a) identyfikacja,
b) odwrotne modelowanie,
c) predykcja,
d) likwidacja zakłóceń.
S.Haykin: Adaptive Filter Theory
6
Filtr Wienera
 n 
sn 

Obiekt
sobs n  Filtr Wienera
en 
s (n)
sest n 

- sygnał zawierający informację
 (n)
- zakłócenie
s obs (n) - sygnał obserwowany
s est (n)
- sygnał estymujący
e(n)
- błąd
Zadanie: sest n   s (n)
7
Estymacja sygnału
N
s est (n)   hm s obs ( n  m)
 n 
s n 
Obiekt

m 0
sobs n 
Filtr Wienera
e(n)  s (n)  s est (n)

s est ( n)  h T s obs ( n)
gdzie
s obs (n)  sobs (n), sobs (n  1),..., s obs (n  N )   N 1
T
N – rząd filtru
8
Kryterium


M
1
Q  E e 2 ( n) 
e 2 ( n)

M  N  1 n N

Q  E s ( n)  h T s obs ( n)

  E s
2
df
2

( n)  2h T s obs ( n) s ( n)  h T s obs ( n) s obs ( n) h
T

 E s 2 (n)  2hT  kor  hT  obs h
dla
 kor  Es obs (n) s (n)  N 1


 obs  E s obs (n) s Tobs (n)   ( N 1)( N 1)
M+1 - ilość próbek w sygnale
N – rząd filtru Wienera
9
Wektor korelacji i macierz autokorelacji
 kor
 obs
M

2
( n)
sobs


n N
 M
 s (n  1) s (n)
obs
obs
 n
N
1
M

M  N  1   sobs ( n  2) sobs (n)
n  N


 M
  sobs (n  N ) sn ( n)
 n N
M
s
n N
obs
(n) sobs (n  1)
s
n N
s
n N
obs
s
n N
2
obs
(n  1)
obs
M
s
n N
M
s
n N
(n  N ) sn (n  1)
obs

(n  1) sobs (n  2)

s
n N
s
( n  2)

M
n N
2
obs
obs

(n) sobs (n  N ) 
n N

M
sobs (n  1) sobs (n  N ) 


n N
M

 sobs (n  2) sobs (n  N )
n N


M

2
sobs
(n  N )


n N

M
(n) sobs (n  2)
obs
M
(n  2) sobs (n  1)

M
M
M
M
M
T

N 1
s
(
n
1
)
s
(
n
)

s
(
n
N
)
s
(
n
)




obs
obs
 
n N
n N

1
M
sobs (n) s (n)



M  N  1 n N


( n  N ) sobs (n  2) 
s
obs
dim  obs   N  1  N  1
10
Optymalizacja
  2 
Q
 E
e ( n) 
h j
 h j


e(n) 
E  2e ( n )

h j 

Podstawiając do powyższego wzoru
N
e(n)  s (n)  h s obs (n)  s (n)   hm sobs (n  m)
T
otrzymujemy
m0
N

Q
 

 E  2e ( n )
 s (n)   hm s obs ( n  m)   E 2e(n) s obs ( n  j )
h j 
h j

m 0

M
2

e( n) sobs (n  j )  

M  N  1 n N
dla
j  0,1,..., N
Pochodne te zapiszemy w postaci wektorowej.
11
Rozwiązanie optymalne
Zapisując pochodne wektorowo otrzymujemy gradient
 s obs (n) 

 Q h0 



(
1
)

s
n

 e(n)
      2 E  obs





Q hN 


 s obs (n  N )








  2 E s obs ( n) s ( n)  hT s obs (n)  2 Es obs (n) s(n) 2 E s obs (n) sTobs (n) h
  2 kor  2 obs h  0   N 1
 obs hopt   kor

 

Q  E e 2 ( n)  E s 2 ( n)  2hT  kor  hT  obs h


T
Qopt  E s 2 (n)  hopt
 kor
12
Algorytm filtracji adaptacyjnej
Parametry filtru są iteracyjnie modyfikowane.
hm (n  1) m-ty parametr filtru wyznaczony w chwili n-1
N
s est ( n)   hm (n  1) s obs (n  m)  h T (n  1) s obs (n)
m 0
 obs (n) h(n)   kor (n)
 obs hopt   kor
Posługując się wartościami dla poprzednich chwil wyliczamy z definicji
 obs (n) 
 kor ( n) 
n
 s obs (m) s obs (m)
T
m N
n
s
m N
obs
( m) s ( m)
 obs (n)   obs (n  1)  s obs (n) s
T
obs
 kor (n)   kor (n  1)  s obs (n) s (n)
( n)
13
Algorytm filtracji adaptacyjnej
 obs (n)   obs (n  1)  s obs (n) s
T
obs
( n)
 kor (n)   kor (n  1)  s obs (n) s (n)
 kor (n)   obs (n) h(n)
 obs (n) h(n)   obs (n  1) h(n  1)  s obs (n) s (n)


 obs (n) h(n)   obs (n)  s obs (n) s obs (n) h(n  1)  s obs (n) s(n)
T

 obs ( n) h( n)   obs ( n) h( n  1)  s obs ( n) s ( n)  h T ( n  1) s obs ( n)
1
h( n)  h(n  1)   obs
(n) s obs (n) e(n)

e(n)  s (n)  s est (n)
14
Algorytm rekurencyjnego wyznaczania
macierzy odwrotnej
Sherman - Mossison
1
1
 obs
(n  1) s obs (n) s obs (n)  obs
(n  1)
T
1
1
 obs
(n)   obs
(n  1) 
K
1
1  s obs (n) obs
(n  1) s obs (n)
T
Q   s (n)  sest (n)   K  n
2
n N
0  1
T
1
1





(
n
1
)
s
(
n
)
s
(
n
)
1
1
1
obs
obs
obs
obs ( n  1)
 obs (n)   obs (n  1) 

T
1
 
  s obs (n) obs (n  1) s obs (n)

15
Algorytm rekursywnej adaptacji filtrów
FIR
1. Przyjąć:
a) rząd filtru N i oznaczyć chwilę początkową
n : N,
1
(n)   I N 1 gdzie  jest małą liczbą
b) macierz  obs
dodatnią, a I N 1 jest macierzą jednostkową o
wymiarach N  1 N  1,
c) współczynniki filtru
h(n  1)  0   N 1,
d) numer chwili końcowej K.
16
Algorytm rekursywnej adaptacji filtrów
FIR
2. Wprowadzić wartości obserwowanego sygnału s obs (m) dla
m  0,1,..., n i umieścić w wektorze s obs (n) oraz za s (n)
wstawić N-tą wartość sygnału wejściowego s .
3. Obliczyć s est (n)  h T ( n  1) s obs (n)
oraz e(n)  s(n)  s est (n)
i na końcu poprawić filtr
1
1
 obs
(n)   obs
(n  1) 
1
1
 obs
(n  1) s obs (n) s obs (n)  obs
(n  1)
T
1
1  s obs (n) obs
(n  1) s obs (n)
T
1
h( n)  h( n  1)   obs
(n) s obs (n) e( n).
4. Jeżelin  K zakończyć obliczenia.
5. Wprowadzić kolejne wartości sygnałówsobs (n  1) i s ( n  1).
Utworzyć wektors obs (n  1) a następnie zwiększyć
wskaźnik n o jeden i przejść do punktu 3.
17