PDF version - Politechnika Śląska, Wydział Elektryczny

ELEKTRYKA
Zeszyt 2-3 (226-227)
2013
Rok LIX
Janusz WALCZAK, Agnieszka JAKUBOWSKA
Politechnika Śląska w Gliwicach
REZONANS W RÓWNOLEGŁYM OBWODZIE REAKTANCYJNYM
UŁAMKOWEGO RZĘDU
Streszczenie. Artykuł dotyczy analizy zjawiska rezonansu fazy w prostym
równoległym obwodzie RLβCα, zawierającym rzeczywistą cewkę i kondensator
(np. superkondesator), modelowane jako elementy ułamkowego rzędu. W artykule
przyjęto proste modele matematyczne rzędu ułamkowego i wyprowadzono zależności na
admitancję zastępczą analizowanego obwodu. Z ogólnego warunku rezonansu fazy
wyprowadzono zależności, opisujące częstotliwość rezonansową i przeanalizowano różne
przypadki parametrów α i β, mogące wystąpić w obwodzie. Uzyskane wyniki
zilustrowano przykładem i wyciągnięto wnioski z przeprowadzonej analizy.
Słowa kluczowe: rezonans fazy, równoległy obwód RLC, pojemność i indukcyjność ułamkowego
rzędu
RESONANCE IN PARALLEL FRACTIONAL – ORDER REACTANCE
CIRCUIT
Summary. The article analyzes phase resonance phenomenon in a simple parallel
RLβCα circuit consisting of a real coil and a capacitor (eg. supercapacitor), modelled as
fractional – order elements. Simple fractional – order models have been assumed and
relations for equivalent admittance of the concerned circuit have been derived. From the
general phase resonance condition, relations describing resonance frequency have been
derived too. Various cases of parameters α and β occuring in the circuit have been
analyzed. Obtained results have been illustrated by an example and some conclusions
from the analysis have been drawn.
Keywords: phase resonance, parallel RLβCα circuit, fractional – order capacitance and inductance
1. WPROWADZENIE
W teorii obwodów wprowadza się elementy ułamkowego rzędu Lβ, Cα jako uogólnienie
klasycznie znanych elementów reaktancyjnych L, C, opisujących rzeczywiste cewki
i kondensatory [4]. Ich modele wywodzą się z analiz wykorzystujących matematyczny
42
J. Walczak, A. Jakubowska
rachunek różniczkowo-całkowy niecałkowitego rzędu [3]. W najprostszym przypadku
impedancje częstotliwościowe tych elementów zapisuje się w postaci [1-2, 5-7, 12]:
Z L  j    R L   j  L ,
(1)
Z C  j   RC   j  C 1 ,
(2)

oraz:

gdzie: RL, RC – szeregowe rezystancje wewnętrzne, L, C – indukcyjność i pojemność
znamionowa, α, β – parametry ułamkowego rzędu (bezwymiarowe).
Modele ułamkowego rzędu elementów reaktancyjnych powinny opisywać w sposób
poprawny zjawiska zachodzące w obwodach z tymi elementami. Klasycznie, rezonans fazy
dla równoległego obwodu RLC zachodzi dla innej częstotliwości fr w przypadku idealnego
obwodu LC niż dla obwodu z szeregową rezystancją, np. wewnętrzną kondensatora (por.
rys. 1).
Rys. 1. Częstotliwości rezonansowe fr dla wybranych prostych obwodów RLC
Fig. 1. Resonance frequencies fr for selected simple classic RLC circuits
W zależności od wartości rezystancji w równoległym obwodzie RLC (rys. 1b) zjawisko
rezonansu może, lecz nie musi wystąpić. Poprzez szeregowe połączenie elementów rzędu
ułamkowego Lβ, Cα można zrealizować ujemną lub dodatnią rezystancję, indukcyjność - dla
wąskiego pasma częstotliwości, pojemność, stan zwarcia obwodu lub obwód o swobodnych
oscylacjach, wówczas, gdy α + β = 2 [4]. Zjawisko rezonansu fazy i amplitudy w prostym
szeregowym obwodzie RLβCα zostało przenalizowane w pracach [8, 10, 11], natomiast
rezonans w prostym obwodzie równoległym z superkondensatorem, jako elementem
ułamkowego rzędu i idealną, bezstratną cewką, opisano w pracy [9]. Niniejszy artykuł
dotyczy analizy warunków zajścia zjawiska rezonansu w prostym równoległym obwodzie
zawierającym dwa rzeczywiste elementy rzędu ułamkowego – cewkę Lβ, oraz
kondensator Cα .
Rezonans w równoległym obwodzie…
43
2. MODEL OBWODU REZONANSOWEGO
Na rys. 2 pokazany jest schemat równoległego obwodu RLβCα, zawierający indukcyjność
Lβ, oraz pojemność Cα rzędu niecałkowitego. W przypadku pojemności została również
uwzględniona jej szeregowa wewnętrzna rezystancja RC, która modeluje w rzeczywistych
kondensatorach (np. superkondensatorach) straty energii ładunków w elektrolicie, na
elektrodach i na doprowadzeniach kondensatora. Pominięto przy tym rezystancję wewnętrzną
uzwojenia cewki, zakładając, że straty mocy są opisywane przez ułamkowy współczynnik β.
Rys. 2. Schemat analizowanego równoległego obwodu RLβCα z pojemnością i indukcyjnością rzędu
ułamkowego
Fig. 2. Model of the analyzed parallel RLβCα circuit with fractional – order capacitance and inductance
Obwód z rys. 1 zasilony jest ze źródła prądu, które generuje prąd o postaci:
iS t   2 I sint    ,
(3)
gdzie: |I| – wartość skuteczna prądu, ϕ – faza.
Admitancja zastępcza obwodu z rys. 2, zapisana w uproszczonej postaci, dana jest
wzorem:
Y  j  
1
 j 

L
1

RC 
1
.
(4)
 j  C
Z admitancji danej wzorem (4) można wyznaczyć jej części rzeczywistą i urojoną, które
przedstawiają się następująco:
Re{Y  j } 
 π 
cos 
 C
 π 
 2 
    L1 cos 
1
 π 
 2 
 2 RC  cos   RC2
 C
 2 
RC 
1
 C 

2
1

(5)
44
J. Walczak, A. Jakubowska
oraz:
 π 
sin 
 C  2 
 π 
    L1 sin  .
1

π
 
 2 
 2 RC  cos   RC2
2
 C
 
1

Im{Y  j } 
1
 C 

2
(6)
Zapisując admitancję obwodu z rys. 2 w postaci wykładniczej, jej moduł |Y(jω)| i fazę
φ(ω) można wyrazić w postaci:
Y  j  
1
 C 

2
1
1


1
 π 
 L
 2 RC  cos   RC2
2
 C
 


2


1
 π 
    
2   L1  RC cos    cos
2
 2   C



1
1
 π 
2
RC  2 RC  cos  

 C  2   C2


 

(7)

oraz:




    L1 sin π  R 2  2 R 1 cos π   1   1 sin π  
C
C

  C  2    C 2    C  2  
 2 

.
    arctg

   1  π  2
1

π
1
1

π
 
 
  L cos  RC  2 RC  cos    2   RC   cos  

 C  2   C 
 C  2  
 2 




(8)

Wyprowadzone zależności admitancji dla prostego równoległego obwodu RLβCα
z elementami reaktancyjnymi ułamkowego rzędu zostały zasymulowane oraz zilustrowane na
wykresach z rys. 4 i 5. Ilustracje zostały umieszczone w dalszej części artykułu.
3. WARUNKI REZONANSU FAZY
Częstotliwość rezonansowa fr rezonansu fazy w równoległym obwodzie RLβCα
z elementami reaktancyjnymi ułamkowego rzędu może być wyznaczona z ogólnego warunku
rezonansu Im{Y(jω)} = 0. Należy wówczas rozwiązać nieliniowe równanie dane wzorem:
Rezonans w równoległym obwodzie…
45
 π 
sin 
2

2
 π  
    LC     RC2   C  2 RC   C cos   1  0 .

π
 
 2  
sin  
2
 


(9)
W przypadku pominięcia szeregowej rezystancji wewnętrznej kondensatora ułamkowego
rzędu (np. superkondensatora) (RC = 0) częstotliwość rezonansowa idealnego obwodu LβCα
dana jest zależnością:
1
fr 
2
 
1
LC
 π 
sin 
 2 .
 π 
sin 
 2 
(10)
W szczególnych przypadkach, wówczas gdy α = β, wzór (10) przybiera postać:
fr 
1
2
fr 
1
2
2
1
,
LC
(11)
1
,
LC
(12)
natomiast gdy α = β = 1:
czyli opisującą klasyczny równoległy obwód RLC (LC). Jak się okazuje, częstotliwości
rezonansu fazy prostego równoległego i szeregowego obwodu LβCα nie są jednakowe.
Częstotliwość rezonansu fazy szeregowego obwodu RLβCα została wyprowadzona w pracy
[11] i jest określona za pomocą wzoru:
fr 
1
2
 
 π 
sin 
1
 2 .
LC
 π 
sin 
 2 
(13)
Analizując wzór (10), tak jak w przypadku opisanym wzorem (13), widać, że nie dla
wszystkich wartości współczynników α i β rezonans może wystąpić. Na rys. 3 przedstawiono
warunki istnienia rezonansu fazy w równoległym obwodzie RLβCα w funkcji ewolucji
współczynników α i β.
46
J. Walczak, A. Jakubowska
Rys. 3. Warunki istnienia rezonansu w równoległym obwodzie RLβCα w funkcji ewolucji
współczynników α i β
Fig. 3. Conditions of phase resonance occurring in parallel RLβCα circuit as a function of α and β
coefficients
W przypadku uwzględnienia szeregowej rezystancji wewnętrznej kondensatora
ułamkowego rzędu, która dla superkondensatorów może wynosić nawet kilkadziesiąt Ω,
należy rozwiązać nieliniowe równanie dane wzorem (9). W kolejnym rozdziale artykułu
zostanie przedstawiony przykład obliczeniowy równoległego obwodu RLβCα z elementami
reaktancyjnymi ułamkowego rzędu oraz pokazany graficzny sposób rozwiązania równania (9)
i wyznaczania częstotliwości rezonansu fazy tego obwodu. Polega on na numerycznym
szukaniu punktu przecięcia funkcji:
 π 
sin 
2
f1        LC   ,
 π 
sin 
 2 
(14)
oraz:
2

 π  
f 2     RC2   C  2 RC   C cos   1 .
 2  



(15)
Analiza drugiego warunku rezonansu fazy Im{Z(jω)} = 0 dla omawianego obwodu
pokazuje, że równanie opisujące częstotliwość rezonansową fr ma postać identyczną z równaniem (9). Oznacza to, że dla danego równoległego obwodu RLβCα z elementami
reaktancyjnymi ułamkowego rzędu istnieje jedna częstotliwość rezonansu fazy.
4. PRZYKŁADOWY OBWÓD UŁAMKOWEGO RZĘDU
Na podstawie wcześniejszych analiz zostały przeprowadzone symulacje zjawiska
rezonansu fazy w przykładowym równoległym obwodzie RLβCα z elementami reaktancyjnymi ułamkowego rzędu. Parametry modelowanego obwodu zostały dobrane następująco:
cewka o indukcyjności L = 1 H, kondensator o pojemności znamionowej C = 0,1 F
Rezonans w równoległym obwodzie…
47
i rezystancji wewnętrznej RC = 2 Ω. Wyprowadzone zależności admitancji (5–8) zostały
przedstawione na wykresach z rys. 4 i 5.
Rys. 4. Wykresy funkcji: a. Re{Y(jω,α)} oraz b. Im {Y(jω,α)} dla wybranych wartości
współczynnika β
Fig. 4. Graphs of the functions: a. Re{Y(jω,α)} and b. Im {Y(jω,α)}for selected coefficient β values
Rys. 5. Wykresy funkcji: a. |Y(jω,α)| oraz b. φ(ω,α) dla wybranych wartości współczynnika β
Fig. 5. Graphs of the functions: a. |Y(jω,α)| and b. φ(ω,α) for selected coefficient β values
Z rys. 4b można zauważyć, że część urojona admitancji osiąga wartość zero dla danej
wartości pulsacji rezonansu fazowego. Punkt ten zależy od dwóch wartości współczynników
ułamkowego rzędu – α oraz β. Wyznaczenie konkretnej wartości pulsacji rezonansowej jest
możliwe przez numeryczne rozwiązanie równania (9). Rysunek 6 przedstawia graficzny
sposób rozwiązania, opisany w poprzednim rozdziale (por. wzory (14) i (15)).
48
J. Walczak, A. Jakubowska
Rys. 6. Ilustracja graficznej metody szukania pulsacji rezonansowej ωr dla β =0.9
Fig. 6. Graphical method of finding the resonance radial frequency ωr for β =0.9
Na rys. 7 pokazano wykresy zależności pulsacji rezonansowej układu z rys. 1 w funkcji
parametru α dla kilku wybranych wartości rzędu β. Z wykresów tych wynika, że w zależności
od wartości rezystancji wewnętrznej RC kondensatora ułamkowego rzędu rezonans nie zawsze
występuje. Parametr β również ma wpływ na możliwość wystąpienia zjawiska rezonansu fazy
w równoległym obwodzie RLβCα oraz na wartość częstotliwości rezonansowej. Im mniejsza
wartość β, tym częstotliwość osiąga większe wartości, przy α→0, ωr → ∞. Jednocześnie
malejący parametr β umożliwia wystąpienie rezonansu dla większych wartości szeregowej
rezystancji kondensatora RC. W praktycznych zastosowaniach oznacza to, że parametr β
w rzeczywistości osiąga większe wartości dla idealnej, bezstratnej cewki β → 1.
Rys. 7. Zależność pulsacji rezonansowej ωr w funkcji parametru α dla wybranych wartości rezystancji
szeregowej kondensatora RC oraz współczynnika β: a. β = 0.1, b. β = 0.5, c. β = 0.9 oraz
d. β = 1
Fig. 7. Dependence of resonance radial frequency ωr as a function of parameter α for selected
capacitor series resistance values RC and coefficient β: a. β = 0.1, b. β = 0.5, c. β = 0.9 and
d. β = 1
Rezonans w równoległym obwodzie…
49
5. PODSUMOWANIE
W artykule zostały przeanalizowane warunki zajścia zjawiska rezonansu fazy w równoległym obwodzie RLβCα z dwoma elementami reaktancyjnymi: stratną cewką oraz kondensatorem, modelowanymi jako elementy ułamkowego rzędu. Wyprowadzono zależności na
admitancję zastępczą obwodu, a z ogólnego warunku rezonansu fazy wyprowadzono
zależności na częstotliwość (pulsację) rezonansową. W szczególnych przypadkach wzory
redukują się do klasycznych zależności, opisujących równoległy obwód RLC całkowitego
rzędu. W ogólnym przypadku okazuje się, że na zajście zjawiska rezonansu ma wpływ szereg
parametrów: pojemność znamionowa C, indukcyjność L, wartości współczynników rzędu
ułamkowego α i β oraz wartość szeregowej rezystancji wewnętrznej kondensatora
ułamkowego rzędu, którą często (np. w przypadku superkondensatorów) należy uwzględnić
w analizie. Zbyt duża wartość rezystancji wewnętrznej może uniemożliwić zajście zjawiska
rezonansu w równoległym obwodzie RLβCα, tak jak w przypadku klasycznego równoległego
obwodu RLC, natomiast odpowiednia identyfikacja i dobór współczynników rzędu
ułamkowego (α i β mniejsze od 1) może zwiększyć zakres istnienia częstotliwości
rezonansowej, nawet dla dużych rezystancji wewnętrznych kondensatora.
BIBLIOGRAFIA
1. Freeborn T.J., Maundy B., Elwakil A.S.: Measurement of supercapacitor fractionalorder model parameters from voltage excited step response. „IEEE Journal on Emerging
and Selected Topics in Circuits and Systems” 2013, Vol. 3, No. 3, p. 367-376.
2. Martin R.: Modeling electrochemical double layer capacitor, from classical to fractional
impedance. The 14th Medditeranean Electrotechnical Conf., Ajaccio, 4 – 7 May 2008, p.
61-66.
3. Podlubny I.: Fractional differential equations, Academic Press, San Diego, 1999.
4. Radwan A.G., Salama K.W.: Passive and active elements using fractional LβCα circuit.
“IEEE Trans. on CAS, Part I” 2011, Vol. 58, No. 10, p. 2388-2397.
5. Sarwas G.: Modelowanie superkondensatorów przy użyciu rachunku różniczkowego
ułamkowego rzędu. „Prace Instytutu Elektrotechniki” 2008, Zeszyt 239, s. 17-28.
6. Schafer J., Kruger K.: Modelling of coils using fractional derivatives. „Journal of
Magnetism and Magnetic Materials” 2006, Vol. 307, p. 91-98.
7. Schafer J., Kruger K.: Modelling of lossy colis using fractional derivatives. „Journal of
Applied Physics D: Applied Physics” 2008, Vol. 41, p. 1-8.
50
J. Walczak, A. Jakubowska
8. Walczak J., Jakubowska A.: Analiza zjawisk rezonansowych w szeregowym obwodzie
RLC z superkondensatorem. „Pomiary Automatyka Kontrola” 2013, Vol. 10, p. 11051108.
9. Walczak J., Jakubowska A.: Analysis of the parallel resonance circuit with
supercapacitor. ZKWE 2014, 28-29 April, 2014 (w druku).
10. Walczak J., Jakubowska A.: Phase resonance in RLC circuit with ultracapacitor,
Materiały XXXVI IC – SPETO 2013, Ustroń, 22-25 May, 2013, p. 47-48.
11. Walczak J., Jakubowska A.: Phase resonance in series RLβ Cα circuit, CPEE-AMTEE
2013, Roztoky k. Krivoklatu, 4-6 września 2013, Czechy, part III-4.
12. Westerlund S., Ekstam L.: Capacitor Theory. „IEEE Transactions on Dielectrics and
Electrical Insulation” 1994, Vol. 1, No. 5, p. 826-839.
Prof. dr hab. inż. Janusz WALCZAK, Mgr inż. Agnieszka JAKUBOWSKA
Politechnika Śląska, Wydział Elektryczny
Instytut Elektrotechniki i Informatyki
ul. Akademicka 10
44-100 Gliwice
e-mail: [email protected]
[email protected]