Zadania z arytmetyki (II rok s. MU niestacjonarne)

Zadania z arytmetyki (II rok s. MU niestacjonarne)
Zestaw I
Jednoznaczność rozkładu na czynniki
1. Wykaż tożsamości:
(a) xn − y n = (x − y)(xn−1 + xn−2 y + ... + y n−1 ) dla każdej liczby naturalnej n,
(b) xn + y n = (x + y)(xn−1 − xn−2 y + xn−3 y 2 − ... + y n−1 ) dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n.
2. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n :
(a) a − b|an − bn o ile a 6= b,
(b) a + b|a2n+1 + b2n+1 o ile a 6= −b,
(c) a + b|a2n − b2n , o ile a 6= −b.
3. Wykaż, że dla każdych liczb naturalnych n, m :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
(g)
(h)
6|n(n2 + 5),
6|n(n + 1)(2n + 1),
30|mn(m4 − n4 ),
42|n7 − n,
jeśli n jest liczbą nieparzystą, to 8|n2 − 1 .
30|n5 − n,
jeśli n jest liczbą parzystą, to 24|n(n + 2)(2n − 1),
jeśli n jest liczbą nieparzystą, to 48|n3 + 3n2 − n − 3,
4. Wykaż, że jeżeli liczba naturalna pięciocyfrowa dzieli się przez 41, to wszystkie liczby powstałe z niej przez
cykliczne przestawianie cyfr dzielą się przez 41.
5. Udowodnij, że jeśli m, n są liczbami całkowitymi i liczba m2 + n2 jest podzielna przez 3, to liczby m i n są
podzielne przez 3.
6. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba
n3
n2
n
+
+ jest liczbą naturalną.
6
2
3
n3 − n2 + 2
jest liczbą całkowitą ?
n−1
14n + 3
n3 + 2n
8. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n ułamki
oraz 4
są nieskracalne.
21n + 4
n + 3n2 + 1
7. Dla jakich całkowitych n liczba
9.
10. Załóżmy, że a, b, c, d są liczbami całkowitymi różnymi od 0 , liczby a i b oraz liczby c i d są względnie pierwsze
oraz
a
b
+
c
d
jest liczbą całkowitą. Wykaż, że b = ±d.
11. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n > 1 , liczba
1 1
1
+ + ... +
2 3
n
12. Wykaż następujące własności N W D i N W W :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
N W D(a, b) = N W D(a, a ± b),
N W D(ac, bc) = cN W D(a, b),
N W D(b, a ± bq) = N W D(a, b),
,
c|a ∧ c|b ⇒ N W D ac , cb = N W D(a,b)
c
N W D (a1 , a2 , ..., an ) = N W D (N W D (a1 , a2 , ...an−1 ) , an ),
a|b ⇔ N W D(a, b) = a ⇔ N W W (a, b) = b,
N W D(a, b) · N W W (a, b) = ab,
N W W (a1 , a2 , ..., an ) = N W W (N W W (a1 , a2 , ...an−1 ) , an ),
N W D(a, N W W (b, c)) = N W W (N W D(a, b), N W D(a, c)),
N W W (a, N W D(b, c)) = N W D(N W W (a, b), N W W (a, c)),
N W D(a + b, N W W (a, b)) = N W D(a, b),
d = N W D(a, b) ⇒ N W D ad , db = 1.
13. Wykazać,że:
(a) N W D(a, b) = 1 ∧ N W D(a, c) = 1 ⇒ N W D(a, bc) = 1,
(b) N W D(a, b) = 1 ∧ a|bc ⇒ a|c,
(c) N W D(a, b) = 1 ∧ a|c ∧ b|c ⇒ ab|c,
1
nie jest całkowita.
(d)
(e)
(f )
(g)
N W D(a, b) = 1
N W D(a, b) = 1
N W D(a, b) = 1
N W D(a, b) = 1
⇒
⇒
⇒
⇒
N W D ak , bl = 1,
N W D (ac, b) |c,
N W D (ac, b) = N W D(c, b),
N W D (a + b, ab) = 1.
14. Wykaż, że jeżeli liczby całkowite a, b są względnie pierwsze, to również liczby całkowite 5a + 3b i 8a + 5b są
względnie pierwsze.
15. Wykaż, że jeżeli liczby całkowite a, b są względnie pierwsze, to N W D(11a + 2b, 18a + 5b) jest równy 1 lub 19.
a+b
3
=
.
2
+ ab + b
13
17. Podaj przykład trzech liczb naturalnych, które są względnie pierwsze, ale nie są parami względnie pierwsze.
16. Znajdź liczby całkowite a, b wiedząc, że N W D(a, b) = 1 oraz
a2
18. Wykaż, że abc = N W W (a, b, c)N W D(bc, ac, ab) = N W D(a, b, c)N W W (bc, ac, ab).
19. Wykaż, że abc = N W W (a, b, c)N W D(a, b, c) ⇔ a, b, c są parami względnie pierwsze.
20. Wykaż, że jeśli a = cq + r, b = cq1 + r1 , gdzie a, b, q, q1 , r, r1 są liczbami całkowitymi nieujemnymi, zaś c jest
liczbą całkowitą dodatnią, to N W D(a, b, c) = N W D(c, r, r1 ). Wyprowadź stąd metodę wyznaczania N W D
trzech liczb.
21. Wyznacz możliwie najprostszym sposobem: N W D(1001, 6253), N W W (318, 477), N W W (374, 1599, 9061),
N W D(1411, 4641, 5253), N W D(299, 391, 667), N W D(279, 372, 1395).
22. Rozwiąż w liczbach naturalnych następujące układy równań:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(
x + y = 180
N W D(x, y) = 30
(
xy = 720
N W D(x, y) = 4
(
N W D(x, y) = 15
N W W (x, y) = 420
(
x + y = 667
N W W (x,y)
= 120
( N W D(x,y)
11
x
y = 7
N W D(x, y) = 45
23. Niech n, m będą liczbami naturalnymi oraz niech m nie będzie n-tą potęgą liczby całkowitej. Wykaż, że
√
n
m
jest liczbą niewymierną.
24.
25.
26.
27.
Wyznacz wszystkie liczby naturalne n , dla których log10 n jest liczbą wymierną.
Niech p będzie liczbą pierwszą oraz n liczbą naturalną. Wyznacz ordp (n!) oraz wykaż, że ordp (n!) ¬
n
p−1 .
Iloma zerami kończy się 121! ?
Sprawdź, że 6! · 7! = 10! i 5! · 119! = 120!.
n
28. Niech p będzie liczbą pierwszą. Wykaż, że jeżeli x = ordp k , to px ¬ n.
29. Wykaż, że
√
n
n! ¬
Q
1
p p−1 (gdzie iloczyn przebiega po liczbach pierwszych p), dla dowolnej liczby naturalnej
p¬n
n > 1.
2