DMAD - kolorowanie grafów, planarnoą˘ A Zadania na ¢wiczenia B

DMAD - kolorowanie grafów, planarno±¢
Jak przygotowa¢ si¦ do rozwi¡zywania zada«?
Przeczyta¢ rozdziaªy 8.5 8.7 z materiaªów.
Przed zaj¦ciami powinnam/powinienem zna¢:
denicj¦ k kolorowania (wªa±ciwego wierzchoªkowego), k kolorowania (wªa±ciwego) kraw¦dziowego;
grafu kkolorowalnego (wierzchoªkowo) i grafu kkolorowalnego kraw¦dziowo;
χ(G) liczb¦ chromatyczn¡;
χ0 (G) indeks chromatyczny;
denicj¦ grafu planarnego i grafu pªaskiego;
twierdzenie 8.9;
twierdzenie 8.11;
wniosek 8.13 (z dowodem).
A
Zadania na ¢wiczenia
Zadanie A.1. Okre±l liczb¦ chromatyczn¡ i indeks chromatyczny grafu na rysunku.
Zadanie A.2. Dla ka»dego grafu na rysunku okre±l, czy zawiera on K3,3 lub K5 , lub ich podziaª. Na tej podstawie
rozstrzygnij, czy graf jest planarny.
Zadanie A.3. Spójny prosty graf 3regularny o 8 wierzchoªkach jest planarny. Ile ±cian ma pªaska reprezentacja tego
grafu?
B
Zadania na ¢wiczenia - je±li czas pozwoli
Zadanie B.1. Graf prosty G jest dwudzielny o
a) 21 kraw¦dziach i 12 wierzchoªkach.
b) 20 kraw¦dziach i 12 wierzchoªkach.
Czy G mo»e by¢ planarny?
Zadanie B.2. Korzystaj¡c ze wzoru Eulera, znajd¹ oszacowanie górne na liczb¦ kraw¦dzi (w stosunku do liczby wierzchoªków) dwudzielnego, planarnego grafu prostego. Udowodnij, »e oszacowanie jest optymalne.
Zadanie B.3. Czy spójny graf prosty bez trójk¡tów na 15 wierzchoªkach i o 27 kraw¦dziach mo»e by¢ planarny?
1
C
Zadania do samodzielnej pracy w domu
Zadanie C.1. Okre±l liczb¦ chromatyczn¡ i indeks chromatyczny grafów na rysunku.
Zadanie C.2. Dla ka»dego grafu na rysunku okre±l, czy zawiera on K3,3 lub K5 , lub ich podziaª. Na tej podstawie
rozstrzygnij, czy graf jest planarny.
Zadanie C.3. Udowodnij wzór Eulera indukcj¡ ze wzgl¦du na liczb¦ ±cian.
Zadanie C.4. Spójny prosty graf pªaski jest 4regularny na 6 wierzchoªkach. Ile ma ±cian?
Zadanie C.5. Spójny prosty graf pªaski o 30 kraw¦dziach ma 20 ±cian. Wyznacz liczb¦ wierzchoªków tego grafu.
2