Adam Clayton
Transkrypt
Adam Clayton
Modelowanie zależności warunkowych pomiędzy zwrotami finansowymi za pomocą modeli kopuli z przełączaniem typu Markowa Ryszard Doman Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Motywacje Zależność między zwrotami z różnych akcji jest o wiele większa podczas bessy niż w czasie hossy. Zjawisko to, zwane zależnością asymetryczną, jest dobrze udokumentowane w licznych badaniach. Wielowymiarowe modele zmienności z eliptycznymi rozkładami standaryzowanych innowacji nie są w stanie uwzględnić zależności asymetrycznej. Właściwe rozpoznanie zależności asymetrycznej może przełożyć się na osiągnięcie istotnych korzyści w inwestowaniu na rynkach finansowych (Ang i Bekaert 2002, Patton 2004). Cel referatu Propozycja modelu zależności warunkowych uwzględniającego asymetrię zależności asymptotycznej (ogonowej) w rozkładach warunkowych, wykorzystującego kopule z przełączaniem reżimów typu Markowa Zastosowanie zaproponowanego modelu do estymacji zależności warunkowych pomiędzy zwrotami indeksów WIG20 i MIDWIG Ogólny wielowymiarowy model heteroskedastyczności warunkowej rt = ( r1, t ,… , rk , t )′ rt = µ t + y t yt = H E ( y t y ′t | Ω t −1 ) = H t µ t = E ( rt | Ω t −1 ) ε 1/ 2 t t E (ε t ε t′ | Ω t −1 ) = I Model dynamicznych korelacji warunkowych (1) (DCC) Engle (2002) y t | Ω t − 1 ~ N ( 0, H t ) ( H t = Dt Rt Dt = ρ ij , t hii , t h jj , t Dt = diag ( h11, t ,… , hkk , t q hii ,t = ω i + ∑ α ij y j =1 2 i ,t − j ) ) p + ∑ β ij hii ,t − j j =1 Model DCC (2) Rt = (diag(Qt )) −1 2 Qt (diag(Qt )) −1 2 M N M N Qt = 1 − ∑ α m − ∑ β n Q + ∑ α m ut-m u′t-m + ∑ β n Qt − n m =1 n =1 m =1 n =1 −1 t ut = D y t Qt = cov( ut ) Słabość standardowego modelu DCC: Rozkład warunkowy zwrotów jest wielowymiarowym rozkładem normalnym, podczas gdy rozkłady zwrotów większości instrumentów finansowych charakteryzują się podwyższoną kurtozą. Remedium: W standardowym modelu DCC zastąpić rozkład normalny rozkładem eliptycznym o grubszych ogonach (Pelagatti i Rondena 2004) . Krótko o rozkładach eliptycznych Mówimy, że k-wymiarowy wektor losowy X ma rozkład eliptyczny ( X ~ EC k ( µ , Σ , φ )), jeśli jego funkcja charakterystyczna może być przedstawiona w postaci E (exp(it ′X ) = exp(it ′µ )φ ( t ′Σ, t ) gdzie µ jest wektorem k-wymiarowym, Σ jest dodatnio określoną (k × k) – macierzą symetryczną, a φ jest funkcją skalarną, zwaną generatorem charakterystycznym. Rozkłady eliptyczne (cd.) Jeśli X ma momenty rzędu k, k >2, to E(X) = µ, Cov(X) = γΣ Przykłady: (Rozkład wielowymiarowy) • normalny • t Studenta • Laplace’a Najważniejsza własność: Rozkład brzegowy jest rozkładem eliptycznym o tym samym generatorze. Słabość: symetryczność Alternatywne modelowanie zależności: kopula zmiennych losowych X~F Y ~G F , G - ciągłe dystrybuanty Jeśli funkcja C : [0,1] × [0,1] → [0,1] jest (obciętą do [0,1] × [0,1]) dystrybuantą rozkładu łącznego zmiennych U = F ( X ) , V = G (Y ) , to nazywamy ją kopulą zmiennych ( X , Y ) . Podstawowa własność kopuli (Sklar 1959): Jeśli H jest dystrybuantą wektora ( X , Y ) , to przy poprzednich założeniach istnieje dokładnie jedna kopula C taka, że H ( x, y) = . C ( F ( x ), G ( y )) . Miary zależności Pułapki współczynnika korelacji liniowej: Wartość współczynnika korelacji liniowej ρ może być bardzo mylącym wskaźnikiem (siły) zależności zmiennych losowych, w przypadku gdy ich rozkład łączny nie jest eliptyczny. Miary zależne jedynie od kopuli: współczynnik korelacji rang Spearmana ρ S ( X , Y ) = ρ ( F ( X ), G ( X )) współczynnik tau Kendalla ~ ~ τ ( X , Y ) = P{( X − X )(Y − Y ) > 0} − ~ ~ P{( X − X )(Y − Y ) < 0}, gdzie ~ ~ ( X ,Y ) jest niezależną kopia wektora ( X , Y ) Współczynnik tau Kendalla oraz współczynnik korelacji rang Spearmana mierzą stopień zależności monotonicznej zmiennch X i Y, podczas gdy zwykły współczynnik korelacji (Pearsona) mierzy jedynie stopień zależności liniowej. Jeśli (X,Y) jest wektorem ciągłych zmiennych losowych z kopulą C, to τ ( X ,Y ) = 4∫∫ [ 0 ,1 ] 2 C ( u, v )dC ( u, v ) − 1 Zależność asymptotyczna w ogonach Współczynniki zależności ogonowej X , Y losowe z dystrybuantami F i G λU = lim q →1 P (Y > G (q ) | X > F (q )) ← ← − λ L = lim q → 0 P (Y ≤ G (q ) | X ≤ F (q )) ← ← + ← F ( y ) = inf{ x ∈ R : F ( x ) ≥ y } Jeśli dystrybuanty F i G są ciągłe oraz C jest kopulą łącznego rozkładu zmiennych X i Y, to λ L = lim q → 0 λU = lim q → 0 + + C (q, q ) q Cˆ (q , q ) q , gdzie Cˆ ( u, v ) = u + v − 1 + C (1 − u,1 − v ) . Gęstość kopuli i kanoniczna reprezentacja gęstości rozkładu łącznego ∂ C (u , v) c(u , v) = ∂u∂v 2 Dla ciągłego wektora losowego z dystrybuantą rozkładu łącznego F i gęstościami brzegowymi f1 i f2, gęstość c kopuli jest związana z gęstością f rozkładu łącznego: f ( x, y ) = c( F1 ( x), F2 ( y )) f1 ( x) f 2 ( y )) Przykłady kopuli Kopula gaussowska C Gauss (u , v; ρ ) = Φ ρ (Φ (u ), Φ (v) ) −1 −1 Φρ - dystrybuanta standardowego dwuwymiarowego rozkładu normalnego ze współczynnikiem korelacji Φ - dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego ρ Gęstość kopuli gaussowskiej c Gauss (u , v; ρ ) = ς +ς 2 ρς 1ς 2 − ς − ς = exp + 2 2 2(1 − ρ ) 1− ρ 2 1 1 where ς 1 = Φ (u ) −1 ς 2 = Φ (v ) −1 2 2 2 1 2 2 2 Kopula t Studenta C Student ρ ,η −1 ( −1 ∫ ∫ −∞ t ρ ,η tη −1 ( u, v ) = t ρ ,η tη ( u), tη (v ) tη ( u ) tη ( v ) = −1 −∞ ) s + t − 2 ρst 1 + 2 2 η (1 − ρ 2π 1 − ρ 1 2 2 dystrybuanta rozkladu t Studenta z η stopniami swobody − η+2 dystrybuanta dwuwymiarowego rozkładu t Studenta z η stopniami swobody i współczynnikiem korelacji ρ 2 Gęstość kopuli t Studenta c (u, v) = S η,ρ −(η +2) / 2 η + 2 η 1+ ς + ς − 2ρς1ς 2 Γ Γ 2 η(1− ρ ) 1 2 2 = −(η +2) / 2 2 2 2 2 1− ρ η +1 ς j Γ 1 + ∏ 2 η j =1 2 1 ς 1 = tη (u ) −1 ς 2 = tη (v) −1 2 2 Kopula Joego i Claytona − Clayton CκJoe ( u, v ) = ,γ ( κ −γ κ −γ 1 − 1 − ([1 − (1 − u) ] + [1 − (1 − v ) ] − 1) κ ≥1 γ ∈ [−1, ∞) \ {0} ) −1 / γ 1 / κ Współczynnik tau Kendala i współczynniki zależności ogonowej dla kopuli gaussowskiej, t Studenta oraz Joego i Claytona τ Kopula Gauss Cρ C C Student ρ ,η J− C κ ,γ τ (κ , γ ) = 1 + 2 π 2 π λU 0 arcsin(δ ) 1/ κ τ (κ , γ ) κγ − 4 0 (η + 1)(1 − ρ ) 2tη +1 − + 1 ρ arcsin(δ ) 2 λL 2− 2 1 x ∫ κγ 0 1−κ 2 −1 / γ κ γ +1 (1 − (1 − x ) , γ >0 )dx Gęstość kopuli t Studenta: ρ = 0 , 6989 η = 8,6854 Gęstość kopuli Joego i Claytona: κ = 1.1997 γ = 1,0197 Model MSC kopuli z przełączaniem typu Markowa (Markov Switching Copula) (Tsafack 2006) rt = ( r1, t , r2, t )′ r1,t | Ω t −1 ~ Ft (⋅) r2,t | Ω t −1 ~ Gt (⋅) rt | Ω t −1 ~ C st ( Ft (⋅), Gt (⋅) | Ω t −1 ) st - jednorodny łańcuch Markowa z przestrzenią stanów {1, 2} Parametry modelu MSC • Parametry modeli jednowymiarowych dla warunkowych rozkładów brzegowych (GARCH(1,1) ze skośnym rozkładem t Studenta) • Parametry kopuli C1 i C2 • Prawdopodobieństwa przejścia: p11 = P (st = 1 | st −1 = 1) p22 = P (st = 2 | st −1 = 2) Najważniejszym „produktem ubocznym” estymacji modelu MSC są prawdopodobieństwa warunkowe P ( st = j | Ω t −1 ) obliczane za pomocą tzw. filtru Hamiltona: 2 P ( st = j | Ω t −1 ) = ∑ pij P ( st −1 = i | Ω t −1 ) i =1 P( st = j | Ωt ) = c j (ut | st = j, Ωt −1 )P( st = j | Ωt −1 ) 2 ∑ c (u | s i =1 i t t = i , Ωt −1 )P( st = i | Ωt −1 ) Estymacja modelu MSC Logarytm funkcji wiarygodności: 2 L = ∑ ln ∑ c j (ut | st = j, Ωt −1;θ )P( st = j | Ωt −1;θ ) + t =1 j =1 T + ∑ ln( f (r1,t | Ωt −1;θ1 )) + ∑ ln(g(r2,t | Ωt −1;θ2 )) , T T t =1 t =1 gdzie p12 =1− p11 ut = ( u1,t , u2 ,t )′ u1,t = Ft ( r1,t ) c j (⋅ | st = j , Ω t −1 ) p21 =1− p22 u2 ,t = Gt ( r2 ,t ) - gęstość kopuli warunkowej wiążącej warunkowe rozkłady brzegowe w reżimie j. Inne istotne charakterystyki modelu MSC Prawdopodobieństwa bezwarunkowe poszczególnych stanów: 1 − p22 P(st = 1) = 2 − p11 − p22 1 mtr ( i ) = P ( st = i ) 1 − p11 P(st = 2) = 2 − p11 − p22 - średni czas powrotu do reżimu i 1 - czas oczekiwanego trwania w reżimie i d (i ) = 1 − pii Statystyki opisowe badanych szeregów zwrotów 9. 01.2001 – 16.03.2007 rt = 100(log( Pt ) − log( Pt −1 )) Indeks WIG20 MIDWIG Średnia 0,0412 0,0966 Odchylenie standardowe 1,4583 0,8731 Minimum -5,7306 -5,6449 Maksimum 5,4830 4,1011 Skośność 0,0412 -0,5642 Kurtoza 4,0421 6,3457 Wyniki estymacji modeli jednowymiarowych WIG20 Estimate Std. Err. t Ratio p-Value Student's t d.f. 8.29292 1.712 ------ ------ [2]GARCH Intercept 0.01464 0.0083 ------ ------ GARCH Alpha1 0.03613 0.00866 4.173 0 GARCH Beta1 0.95753 0.00964 99.329 0 Student's t d.f. 7.57932 1.3435 ------ ------ Log(Skewness) (ln(ksi)) -0.11607 0.03785 -3.067 [2]GARCH Intercept 0.02255 0.0088 ------ ------ GARCH Alpha1 0.09354 0.01848 5.062 0 GARCH Beta1 0.87976 0.02456 35.821 0 MIDWIG 0.002 Oszacowania parametrów modelu MSC Reżim 1: kopula gaussowka C ρGauss Reżim 2: kopula Joego i Claytona C p11 p22 ρ κ γ 0.9555 (0.0361) 0.9152 0.7522 1.1997 1.0197 (0.0797) (0.0222) (0.1001) (0.1872) J− C κ ,γ Inne istotne charakterystyki estymowanego modelu MSC P(st = 1) 0.6558 P(st = 2) mtr (1) 1.5248 mtr (2) 2.9055 d (1) 22.4624 d (2) 0.3442 11.7882 Dynamika warunkowego współczynnika tau Kendalla oszacowana na postawie modeli MSC oraz t-DCC 0.65 Ke nda ll t Ke nda ll_n_J C 0.60 0.55 0.50 0.45 0.40 1551 1501 1451 1401 1351 1301 1251 1201 1151 1101 1051 1001 951 901 851 801 751 701 651 601 551 501 451 401 351 301 251 201 151 101 51 1 0.35 Dynamika warunkowych zależności ogonowych oszacowana za pomocą modelu MSC 0.5 lambda_L lambda _U 0.4 0.3 0.2 0.1 1551 1501 1451 1401 1351 1301 1251 1201 1151 1101 1051 1001 951 901 851 801 751 701 651 601 551 501 451 401 351 301 251 201 151 101 51 1 0.0 1552 1505 1458 1411 1364 1317 1270 1223 1176 1129 1082 1035 988 941 894 847 800 753 706 659 612 565 518 471 424 377 330 283 236 189 142 95 48 1 Warunkowe prawdopodobieństwa występowania w dniu t reżimu 1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 Wygładzone warunkowe prawdopodobieństwa występowania w dniu t reżimu 1 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 1551 1501 1451 1401 1351 1301 1251 1201 1151 1101 1051 1001 951 901 851 801 751 701 651 601 551 501 451 401 351 301 251 201 151 101 51 1 0.00 Podsumowanie Zwroty indeksów WIG20 i MIDWIG wykazują istotnie większą warunkową zależność asymptotyczną podczas bessy niż w czasie hossy. Zjawisko to można stwierdzić za pomocą modeli kopuli z przełączaniem typu Markowa. Wielowymiarowe modele zmienności z eliptycznymi rozkładami innowacji nie są w stanie wychwycić tego rodzaju asymetrii. Zależność warunkowa zwrotów indeksów WIG20 i MIDWIG, mierzona współczynnikiem tau Kendalla, oszacowana za pomocą modelu MSC, jest niższa, niż gdy szacuje się ją za pomocą modelu t-DCC.