BALTIC WAY 2010 Czas pisania: 41 godziny. Pytania można

Polish
BALTIC WAY 2010
REYKJAVIK, 6 LISTOPADA 2010
Czas pisania: 4 12 godziny.
Pytania można zadawać przez pierwsze 30 minut.
Dozwolonymi przyrządami są tylko cyrkiel i linijka.
Za każde zadanie można otrzymać 5 punktów.
Zadanie 1. Wyznaczyć wszystkie czwórki liczb rzeczywistych (a, b, c, d) spełniające układ

(b + c + d)2010 = 3a



(a + c + d)2010 = 3b

(a + b + d)2010 = 3c



(a + b + c)2010 = 3d.
Zadanie 2. Niech x będzie taką liczbą rzeczywistą, że 0 < x < π2 . Udowodnić, że
cos2 (x) ctg(x) + sin2 (x) tg(x) ≥ 1.
Zadanie 3. Niech x1 , x2 , . . ., xn (n ≥ 2) będą liczbami rzeczywistymi większymi niż 1. Przypuśćmy, że |xi − xi+1 | < 1 dla i = 1, 2, . . . , n − 1. Udowodnić, że
x1 x2
xn−1 xn
+
+ ... +
+
< 2n − 1.
x2 x3
xn
x1
Zadanie 4. Wyznaczyć wszystkie takie wielomiany P (x) o współczynnikach rzeczywistych, że
(x − 2010)P (x + 67) = xP (x)
dla każdej liczby całkowitej x.
Zadanie 5. Niech R oznacza zbiór liczb rzeczywistych. Znaleźć wszystkie funkcje f : R → R,
takie że
f (x2 ) + f (xy) = f (x)f (y) + yf (x) + xf (x + y)
dla dowolnych x, y ∈ R.
Zadanie 6. Szachownica n×n jest pomalowana n kolorami: główna przekątna (z górnego lewego
do dolnego prawego rogu) jest pokolorowana pierwszym kolorem, dwie przyległe przekątne —
drugim, kolejne dwie (jedna na górze i jedna na dole) — trzecim, itd., dwa rogi (górny prawy
i dolny lewy) — n-tym kolorem. Załóżmy, że można ustawić n nieatakujących się wież w taki
sposób, że żadne dwie nie stoją na polach jednakowego koloru. Wykazać, że n ≡ 0 (mod 4) lub
n ≡ 1 (mod 4).
Zadanie 7. W pewnym kraju jest wiele miast, wśród nich stolica. Dla dowolnych miast A i B
istnieje bezpośrednie połączenie lotnicze z A do B oraz z B do A, oba w tej samej cenie.
Przypuśćmy, że wszystkie podróże okrężne z dokładnie jednym lądowaniem w każdym mieście
mają jednakowy całkowity koszt. Dowieść, że wszystkie podróże okrężne omijające stolicę oraz
mające dokładnie jedno lądowanie w pozostałych miastach także mają równy całkowity koszt.
Zadanie 8. Każdy z 30 członków klubu miał początkowo kapelusz. Pewnego dnia każdy z nich
wysłał swój kapelusz innemu członkowi klubu (można było otrzymać więcej niż jeden kapelusz).
Udowodnić, że istnieje grupa 10 członków, z których żaden nie otrzymał kapelusza od innej osoby
z tej grupy.
2
BALTIC WAY 2010
Zadanie 9. Dany jest stos 1000 zapałek. Dwaj gracze naprzemiennie zabierają od 1 do 5 zapałek. Ponadto, wolno co najwyżej 10 razy podczas całej gry zabrać 6 zapałek, przykładowo jeśli
pierwszy gracz wykonał 7 wyjątkowych ruchów, a drugi — 3 takie ruchy, to dalsze takie ruchy są
niedopuszczalne. Wygrywa ten z graczy, który zabrał ostatnią zapałkę ze stosu. Rozstrzygnąć,
który gracz ma strategię wygrywającą.
Zadanie 10. Dana jest liczba całkowita n ≥ 3. Rozważamy wszystkie podziały n-kąta wypukłego na trójkąty przy użyciu n − 3 nieprzecinających się przekątnych, i wszystkie takie kolorowania tych trójkątów na biało i czarno, że trójkąty mające wspólny bok są różnokolorowe.
Znaleźć najmniejszą możliwą liczbę czarnych trójkątów.
Zadanie 11. W kwadracie ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie S. Okręgi
k oraz k 0 przechodzące odpowiednio przez punkty A i C oraz B i D przecinają się w dwóch
różnych punktach P i Q. Wykazać, że punkt S leży na prostej P Q.
Zadanie 12. Dany jest trapez ABCD nie będący równoległobokiem.
a) Wykazać, że długości boków AB, BC, CD, DA (w tej kolejności) nie tworzą ciągu
arytmetycznego.
b) Wykazać, że istnieje taki trapez, dla którego długości boków AB, BC, CD, DA tworzą
ciąg arytmetyczny po zmianie kolejności.
Zadanie 13. W trójkącie ostrokątnym ABC odcinek CD jest wysokością, zaś H — punktem
przecięcia wysokości. Wiadomo, że środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży na prostej
zawierającej dwusieczną kąta ∠DHB. Wyznaczyć wszystkie możliwe miary kąta ∠CAB.
Zadanie 14. Punkty D i E leżą odpowiednio na bokach AC i BC trójkąta ostrokątnego ABC.
Punkty A, B, D i E leżą na jednym okręgu, a okrąg przechodzący przez punkty D, E i C przecina
bok AB w dwóch punktach X i Y . Udowodnić, że środek odcinka XY jest spodkiem wysokości
opuszczonej z wierzchołka C na bok AB.
Zadanie 15. Punkty M i N leżą na dwusiecznej AL w trójkącie ABC, przy czym zachodzą
równości ∠ABM = ∠ACN = 23◦ . Punkt X leży wewnątrz tego trójkąta i spełnia warunki
BX = CX i ∠BXC = 2∠BM L. Znaleźć miarę kąta ∠M XN .
Zadanie 16. Dla liczby całkowitej dodatniej k, niech d(k) oznacza liczbę dzielników liczby k
(np. d(12) = 6), natomiast s(k) — sumę cyfr liczby k (np. s(12) = 3). Liczba całkowita n jest
zabawna, jeśli d(k) = s(k) = n dla pewnej dodatniej liczby całkowitej k. Jaka jest najmniejsza
nieparzysta liczba zabawna większa niż 1?
Zadanie 17. Wyznaczyć wszystkie takie dodatnie liczby całkowite n, że zapis dziesiętny liczby
n2 składa się tylko z nieparzystych cyfr.
Zadanie 18. Dana jest liczba pierwsza p. Dla dowolnego k, 1 ≤ k ≤ p − 1, istnieje dokładnie
jedna taka liczba k −1 , że 1 ≤ k −1 ≤ p − 1 oraz k −1 · k ≡ 1 (mod p). Wykazać, że ciąg
1−1 ,
1−1 + 2−1 ,
1−1 + 2−1 + 3−1 ,
...,
1−1 + 2−1 + . . . + (p − 1)−1
(z dodawaniem modulo p) zawiera co najwyżej (p + 1)/2 różnych wyrazów.
Zadanie 19. Dla jakich k istnieje k parami różnych liczb pierwszych p1 , p2 , . . . , pk , dla których
p21 + p22 + . . . + p2k = 2010?
Zadanie 20. Znaleźć wszystkie dodatnie liczby całkowite n, dla których istnieje taki nieskończony podzbiór A zbioru N dodatnich liczb całkowitych, że dla dowolnych parami różnych
elementów a1 , . . . , an ∈ A liczby a1 + . . . + an i a1 · . . . · an są względnie pierwsze.