Hybrydowy układ regulacji typu MFC/IMC

Pomiary Automatyka Robotyka 9/2007
Hybrydowy układ regulacji typu MFC/IMC
Jerzy Brzózka
Artykuł przedstawia nowy hybrydowy układ regulacji ze śledzeniem modelu
– Model Following Control/Internal Model Control (MFC/IMC). W miejsce
jednego modelu procesu – używanego w dotychczasowych układach
regulacji tego typu – zastosowano przełączanie modeli. Takie rozwiązanie
prowadzi do poprawy jakości działania układu i dopuszcza jednocześnie
szerszy zakres zmian parametrów regulowanego procesu. Przeprowadzono
analizę stabilności układu hybrydowego oraz porównano jakość procesu
regulacji w hybrydowym i klasycznym układzie MFC/IMC.
ostatnich latach wiele uwagi poświęca się odpornym (mocnym) układom regulacji automatycznej. Do tej grupy układów należą różne struktury ze
śledzeniem modelu (Model Following Control – MFC)
szeroko przedstawione w [2, 3, 8]. Wśród tych struktur
najbardziej interesującą jest struktura MFC/IMC (Internal Model Control) przedstawiona na rys. 1. Ma ona
dobre właściwości śledzenia wartości zadanej oraz niską
wrażliwość zakłóceniową. Proces P(s) jest sterowany
sumą dwóch sygnałów: z regulatora Rm (s) i R(s), przy
czym sygnałem wejściowym regulatora Rm (s) jest błąd
procesu ep (s), a sygnałem wejściowym regulatora R(s)
sygnał błędu y*m (s) – y(s).
Rys. 1. Klasyczna struktura MFC/IMC. Przyjęte oznaczenia
transmitancji i transformat: M(s) – model; P(s) – proces;
Rm(s) – regulator modelu; R(s) – regulator procesu;
y(s) – wielkość regulowana; r(s) – wartość zadana;
d(s) – zakłócenia; ep(s) – błąd regulacji w pętli procesu;
ym
*(s) – wielkość wyjściowa z modelu
Zgodnie z [8] można napisać:
y( s ) =
+
Rm ( s ) P ( s ) (1 + R( s ) M ( s ))
(
1 + P ( s ) Rm ( s ) + R( s ) + Rm ( s ) R( s ) M ( s )
)
r(s) +
1
d(s)
1 + P ( s ) ( Rm ( s ) + R( s ) + Rm ( s ) R( s ) M ( s ))
(1)
12
dr inz. Jerzy Brzózka – Akademia Morska
w Szczecinie, Zakład Automatyki Okrętowej,
[email protected]
Aby zapewnić stabilną pracę tej struktury, należy
zagwarantować stabilną pracę pętli Rm (s)P(s) oraz
R(s)P(s).
Jak wynika z rys. 1 udział regulatora R(s) w sterowaniu procesem P(s) jest tym mniejszy, im bardziej dokładnie model M(s) przybliża proces P(s). W przypadku gdy
M(s) = P(s), na podstawie (1) można napisać:
y( s ) =
Rm ( s ) P ( s )
r(s) +
1 + Rm ( s ) P ( s )
(2)
1
+
d(s)
(1 + Rm ( s ) P ( s ))(1 + R( s ) P ( s ))
Tak więc – jak wynika z zależności (2) – dla śledzenia wartości zadanej należy zapewnić stabilność pętli
Rm (s)P(s), a dla tłumienia zakłóceń – tak jak poprzednio
– pętli Rm (s)P(s) oraz R(s)P(s).
W strukturze z rys. 1 zakłada się, że M(s) jest transmitancją modelu procesu nominalnego. W przypadku
znacznych perturbacji procesu „powyżej” lub „poniżej”
procesu nominalnego, układ nie ma żadnej możliwości
wyboru innego modelu „bliższego” aktualnemu procesowi. Taką możliwość daje zaproponowany nowy, hybrydowy układ typu MFC/IMC z przełączaniem modelu.
Układem hybrydowym nazywa się taki układ, w którym występuje przełączanie między jego podukładami
(ciągłymi, dyskretnymi).
W praktyce istnieje bardzo wiele układów, w których
zachodzi przełączanie między różnymi podsystemami,
np. w przemyśle samochodowym, podczas sterowania
przepływem danych w sieciach komputerowych, w robotyce, we wbudowanych układach sterowania, w układach regulacji z regulatorem nadzorczym (supervisory
control) itp. Układy hybrydowe stosuje się też wtedy,
gdy nie można ustabilizować fragmentu danego procesu za pomocą pojedynczej pętli ujemnego sprzężenia
zwrotnego.
Pewną odmianę systemów hybrydowych stanowią
– bardzo popularne obecnie – układy (modele i regulatory) rozmyte, w których zaletą jest to, że w algorytmie ich pracy można wykorzystać wiedzę ekspertów
zawartą w nieostrych sformułowaniach formalnych [7].
Układy rozmyte dysponują bardzo dużą liczbą stopni
Pomiary Automatyka Robotyka 9/2007
swobody, co wynika z zasady ich działania (rozmywanie,
wnioskowanie, ostrzenie). Układy rozmyte mają więc
ogromną liczbę możliwych do strojenia parametrów.
Synteza układu rozmytego prowadzi w konsekwencji do
sumatora – wzmacniacza nieliniowego, którego charakterystykę trudno jest kształtować przy wykorzystaniu
metodologii zbiorów rozmytych.
Łatwiejszą metodą jest sformułowanie tablicy lub
reguł przełączeń pomiędzy poszczególnymi stanami
ciągłymi. Takiej właśnie metody dotyczy prezentowany
artykuł.
Propozycja hybrydowego układu
regulacji MFC/IMC
Schemat blokowy nowego, hybrydowego układu regulacji typu MFC/IMC nazwanego switched MFC/IMC przedstawiono na rys. 2. W układzie tym decyzję o przełączeniu podejmuje zaprojektowany blok, umownie nazwany
min, wybierający wartość minimalną ze zbioru swoich
sygnałów wejściowych, z których każdy stanowi moduł
* (s) z danego modelu
z różnicy sygnału wyjściowego ymi
Mi (s) i sygnału wyjściowego z procesu y(s). Po wyborze
wartości minimalnej na wejście regulatora R(s) podawana jest bieżąca wartość wybranego wejścia, tj. różnica
* (s) – y(s). Analogicznie układy regulacji (z blokiem
ymi
minimum i/lub maksimum) nazywane są w literaturze
[1] selector control.
R1
R2
Rn
u1
u2
element
decyzyjny
obiekt
(proces)
y
un
Rys. 3. Wieloregulatorowa struktura hybrydowego układu
regulacji
W projektowaniu układów hybrydowych wykorzystuje się metody sterowania optymalnego (minimalizacja funkcji kosztów z jednoczesnym wyborem trajektorii sterowania gwarantującej wymagane działanie;
minimalizacja czasu obliczeń), stochastycznego (poszczególne regulatory gwarantują wymagane działanie
z określonym poziomem ufności), tzw. viable control
[4, 5] (regulator wykorzystuje algorytm identyfikujący
trajektorie sterowania i wybiera tę, która gwarantuje
pożądane działanie). Spośród innych metod stosowanych do projektowania układów hybrydowych można
wymienić sterowanie predykcyjne z modelem (Model
Predictive Control, MPC) i metody z zastosowaniem regulatorów odpornych.
W przypadku prezentowanego hybrydowego układu
regulacji MFC/IMC zachodzi przełączanie między modelami procesu.
Stabilność układów
hybrydowych
Stabilność jest jednym z podstawowych wymagań, jakie musi spełnić
hybrydowy układ regulacji. Z powodu występowania elementu przełączającego jest to zawsze układ
nieliniow y, nawet w przypadku
przełączania liniowych elementów
składowych [9].
Powszechnie stosowaną metodą
wyznaczania warunków stabilności
globalnej układów hybrydowych jest
Rys. 2. Schemat blokowy hybrydowego układu regulacji MFC/IMC (switched
MFC/IMC): M1(s), M2(s), M3(s), M4(s) – transmitancje modeli procesu;
metoda funkcji Lapunowa. W przyy*m1(s)¸ y*m4(s) wielkości wyjściowe z odpowiednich modeli; min – blok
padku układów hybrydowych poszuwyszukiwania minimum
kiwana jest wspólna (dla wszystkich
przełączanych układów) funkcja LaProjektowanie hybrydowych układów
punowa. Jest to warunek dostateczny. Istnienie takiej
funkcji zapewnia stabilność układu hybrydowego.
regulacji
Załóżmy, że istnieje rodzina autonomicznych układów
Najpopularniejszą strukturą hybrydowego układu reliniowych (uzyskana w wyniku i przełączeń) opisana
gulacji jest struktura z przełączalnymi regulatorami
układem równań stanu (3):
(rys. 3).
(3)
W takich układach hybrydowych, poszczególne, przełączane regulatory R1 ... Rn realizują różne, często wykluczające się zadania, np. osiąganie dobrych wskaźników
gdzie Ai są macierzami stanu o ujemnych wartościach
jakościowych procesu regulacji i zapewnienie wysokiej
własnych.
odporności [6].
13
Pomiary Automatyka Robotyka 9/2007
Dalej, niech P1 ... Pi oznaczają symetryczne, dodatnio określone macierze,
spełniające równania Lapunowa (4):
⎫
⎪
⎬
⎪
T
A i Pi + Pi A i = −Pi −1 ⎭
i = 2, … m
a)
b)
c)
d)
A1T P1 + P1A1 = −I
(4)
wtedy, według [6] dla układu (3), istnieje wspólna funkcja Lapunowa V(x)
określona następująco:
V ( x ) := x T Pm x
(5)
Przykład symulacyjny
Eksperymenty symulacyjne układu
MFC/IMC (klasycznego i nowego)
zostały przeprowadzone w programie MATLAB®/Simulink®. Oba układy
miał y ident yczne transmitancje:
procesu
P(s) =
Rys. 4. Charakterystyki skokowe w klasycznym i hybrydowym układzie MFC/IMC:
a) kob = 1, Tp = 7 s, r = 1, d = 0; b) kob = 1, Tp = 7 s, r = 0, d = 1; c) kob = 2, Tp
= 7 s, r = 1, d = 0; d) kob = 2, Tp = 7 s, r = 0, d = 1
kob
(2s + 1)(2s + 1)(T p s + 1)
(kob, Tp – zmieniane parametry procesu), regulatora
procesu
1
R( s ) =
7s
i regulatora modelu
1⎞
⎛
Rm ( s ) = 1.5 ⎜1 + ⎟ .
⎝
7s ⎠
W przypadku hybrydowego układu MFC/IMC zostały
przyjęte następujące modele procesu:
M1 ( s ) =
M3 ( s ) =
1
;
( s + 1)3
1
;
(2s + 1)2 (3s + 1)
M2 ( s ) =
1
;
(2s + 1)3
M4 ( s ) =
1
(2s + 1)2 (4 s + 1)
Dla klasycznego układu regulacji MFC/IMC model
procesu stanowiła transmitancja M3(s). Przyjęto czas
symulacji 150 s. Przykładowe przebiegi symulacyjne
przedstawiono na rys. 4.
Sprawdzenia stabilności hybrydowego układu regulacji MFC/IMC (dla parametrów jak w tabelach 1 i 2)
przeprowadzono numerycznie wykorzystując wielokrotnie polecenie lyap 1 (z MATLAB Control Toolbox)
do rozwiązania każdego z równań w zależności (4) dla
różnych macierzy stanu Ai, wyznaczonych na podstawie
transmitancji (1). Pozwoliło to określić wspólną funkcję Lapunowa V(x) według zależności (5). Wszystkie
warunki stabilności przedstawione powyżej w „Stabilność układów hybrydowych” zostały spełnione,
1)
14
lyap rozwiązuje ciągłe w czasie równanie Lapunowa o postaci,
jak poszczególne równania w zależności (4).
a więc hybrydowy układ regulacji MFC/IMC jest stabilny
dla przyjętych parametrów.
Przykładowe charakterystyki skokowe obu układów
przedstawiono na rys. 4.
Do porównania jakości działania obu układów jako
kryterium przyjęto całkę z wartości bezwzględnej sygnału błędu (dla skokowej zmiany wartości zadanej lub
zakłócenia). Uzyskane wartości całek kryterialnych – dla
różnych parametrów procesu P(s) – zostały zestawione
w tabeli 1 i 2. Ponieważ z praktycznego punktu widzenia ważne są generowane maksymalne wartości sygnału
sterującego procesem, w tabeli 3 zestawiono wartości
całek w obecności występowania nasycenia na wyjściu
regulatora Rm (s).
Tabela 1
Pomiary Automatyka Robotyka 9/2007
Tabela 2
Bibliografia
1. Åström K.J., Hägglund T., PID Controllers: Theory, De-
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Uwaga: kursywą zaznaczono wartości większe w układzie hybrydowym niż
w klasycznym układzie MFC.
Tabela 3
8.
9.
sign and Tuning, 2nd edition, Instrument Society of
America, 1995, pp. 343.
Brzózka J., Regulatory cyfrowe w automatyce, Wydawnictwo MIKOM, Warszawa 2002, s. 258.
Brzózka J., Regulatory i układy automatyki, Wydawnictwo MIKOM, Warszawa 2004, s. 344.
Deshpande A., Varaiya P., Viable Control of Hybrid
Systems, Hybrid Systems II, LNCS 999, Springer Verlag
1995, pp. 128–147.
de Lara M., Doyen L., Guilbaud T., Rochet M.J., Monotonic Properties for the Viable Control of Discrete Time
Systems, Rapport de recherché du CERMICS 2006-299,
Janvier 2006, pp. 14.
Liberzon P., Morse A.S., Basic Problems in Stability and
Design of Switched Systems, IEEE Control Systems Magazine 1999, vol. 19, pp. 59–70.
Piegat A., Modelowanie i sterowanie rozmyte, Wydawnictwo EXIT, Warszawa 1998 (również Springer Verlag,
2001), s. 678.
Skoczowski S., Osypiuk R., Pietrusewicz K., Odporna
regulacja PID o dwóch stopniach swobody, PWN-MIKOM, Warszawa 2006, s. 360.
Žefran M., Burdick J.W., Stabilization of Systems with
Changing Dynamics by Means of Switching, International Conference on Robotics and Automation, Leuven,
Belgium 1998.
Wnioski
W artykule przedstawiono nową strukturę układu regulacji typu MFC/IMC różniącego się od klasycznego
układu regulacji zastosowaniem przełączanych modeli
procesów. Parametry modeli wynikają z dopuszczalnych
lub przewidywanych zmian parametrów procesu. Zastosowanie przełączania modeli powoduje, że powstaje nieliniowy układ hybrydowy i konieczna jest analiza jego
stabilności. W artykule wykorzystano metodę poszukiwania wspólnej funkcji Lapunowa dla wszystkich układów uzyskanych w wyniku przełączeń. Stwierdzono, że
taka funkcja istnieje. Jak można też było się spodziewać,
działanie układu hybrydowego jest lepsze niż konwencjonalnego układu MFC/IMC, co zostało potwierdzone
wyznaczeniem wartości całki z modułu sygnału błędu
przy skokowych zmianach wartości zadanej i zakłóceń
dla różnych wartości parametrów procesu.
15