algebra z geometrią analityczną/geometria w R3

Poni»sze zadania zostaªy wybrane z list zada« przygotowanych przez prof. Krystyn¦ Zi¦tak, prof.
Wiesªawa Dudka i dra Stanisªawa Roguskiego oraz z listy Wst¦p do algebry i geometrii opublikowanych na stronach internetowych Instytutu Matematyki i Informatyki PWr pod adresem
http://prac.im.pwr.wroc.pl/kursy-ogolnouczelniane/listy-zadan.html.
Stanowi¡ one uzupeªnienie listy zada« obowi¡zuj¡cej na ¢wiczeniach do mojego wykªadu i maj¡
pomóc Pa«stwu lepiej opanowa¢ materiaª Algebry z geometri¡ analityczn¡.
Paulina Frej
Geometria analityczna w R
3
1. Punkty
ku
A(3, −1, 2), B = (1, 2, −4), C = (−1, 1, 2)
ABCD.
2. Punkty
Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne punktu
B = (2, 0, 2)
wspóªrz¦dne punktów
3. W rombie
ABCD
C = (5, −2, 0)
i
oraz
AD
na trzy równe cz¦±ci. Wyznaczy¢
AD = ~a
wektorów ~
a i ~b.
i
BD = ~b.
Wyrazi¢ wektory odpowiadaj¡ce
√
√ √
~a = (3, −4, 12), ~b = ( 3, − 5, 2 2), ~c = (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, h),
ϕ, h ∈ R.
5. Wyznaczy¢ wektor
wektora
dziel¡ odcinek
dane s¡ przek¡tne
4. Obliczy¢ dªugo±ci wektorów
ρ≥0
D.
A i D.
bokom rombu za pomoc¡
gdzie
s¡ kolejnymi wierzchoªkami równolegªobo-
~e
o dªugo±ci jeden oraz o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem
~a = (3, 4, −12).
Jak nazywamy wektor o dªugo±ci jeden?
6. Obliczy¢ iloczyn skalarny
~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1)
~a ◦~b wektorów ~a = 4~i − 3~k
oraz ~
b
= −~i + 3~j + 2~k , gdzie ~i = (1, 0, 0),
s¡ wersorami osi ukªadu wspóªrz¦dnych
7. Dla jakich warto±ci parametru
p∈R
k¡t mi¦dzy wektorami
Oxyz .
~u = (0, 1, 1)
oraz
~v = (p, 4, p)
π
jest równy
3?
~a = (3, −1, 2) przedstawi¢ w postaci sumy wektorów, z których jeden jest równolegªy,
drugi prostopadªy do wektora ~
b = (−1, 4, 5).
8. Wektor
a
9. Wyznaczy¢ warto±¢ parametru
C = (0, p, p)
dla którego punkty
A = (2, 4, 6), B = (0, 0, 2)
s¡ wierzchoªkami trójk¡ta prostok¡tnego o k¡cie prostym przy wierzchoªku
10. Znale¹¢ wektor
~a
wiedz¡c, »e jest on prostopadªy do wektorów
oraz speªnia warunek
oraz
B.
~b = (2, 3, −1) i ~c = (1, −2, 3)
~a ◦ (2, −1, 1) = −6.
11. Dla jakich warto±ci parametru
C = (p, 0, p)
p ∈ R,
jest równe
√
4 3?
p ∈ R pole trójk¡ta o wierzchoªkach A = (2, 3, 2), B = (3, 5, 7),
12. Jak zmieni si¦ pole równolegªoboku rozpi¦tego na wektorach
~a i ~b, je±li oba wektory zwi¦ksz¡
swoj¡ dªugo±¢ dwukrotnie?
13. Dla jakich warto±ci parametrów
a, b ∈ R
punkty
A = (0, 2, 1), B = (1, 2, 3), C = (a, b, 7)
le»¡
na jednej prostej?
14. Jak poªo»one s¡ w przestrzeni punkty
(a)
x = 0,
(b)
P = (x, y, z),
x = y = 0,
(c)
dla których
x = y,
(d)
x = y = z.
Odpowied¹ zilustrowa¢ rysunkiem.
15. Dany jest punkt
P = (3, −1, 2).
Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne punktów symetrycznych do tego
punktu wzgl¦dem pªaszczyzn ukªadu wspóªrz¦dnych.
16. Znale¹¢ wspóªrz¦dne punktu na osi
17. Przez które z punktów
równaniem
Oy ,
który le»y najbli»ej punktu
Q = (3, −4, 2).
A(−1, 6, 3), B = (2, 0, 5), C = (2, 7, 0) przechodzi pªaszczyzna π
dana
4x − y + 3z + 1 = 0.
18. Sprawdzi¢, czy punkty
A, B , C i D nale»¡ do jednej pªaszczyzny. Je±li s¡ wspóªpªaszczyznowe,
to wyznaczy¢ równanie tej pªaszczyzny.
(a)
A = (3, 1, 0), B = (0, 7, 2), C = (−1, 0, −5), D = (4, 1, 5),
(b)
A = (1, −1, 1), B = (0, 2, 4), C = (1, 3, 3), D = (4, 0, −3).
19. Napisa¢ równania ogólne pªaszczyzn
czyzny
Oxz
Oxy , Oxz , Oyz
i przechodz¡cej przez punkt
oraz pªaszczyzny równolegªej do pªasz-
P = (2, −5, 3).
20. Wykaza¢ osobliwo±ci poªo»enia pªaszczyzny
π
wzgl¦dem osi ukªadu wspóªrz¦dnych (np. rów-
nolegªo±¢ do osi lub pªaszczyzny ukªadu wspóªrz¦dnych, przechodzenie przez pocz¡tek ukªadu
wspóªrz¦dnych).
(a)
π : 3x − 5y + 1 = 0,
(b)
π : 9y − 2 = 0,
(d)
π : 2x + 3y − 7z = 0,
(e)
π : 8y − 3z = 0.
(c)
π : x + y − 5 = 0,
Narysowa¢ te pªaszczyzny, które s¡ równolegªe do osi lub pªaszczyzn ukªadu wspóªrz¦dnych.
21. Zbada¢ wzajemne poªo»enie par pªaszczyzn
π1 i π2
(równolegªo±¢, prostopadªo±¢)
(a)
π1 : 4x − y + 2z = 5,
π2 : 7x − 3y + 4z = 8,
(b)
π1 : 3x − y + z − 4 = 0,
π2 : x + 2z = −1,
(c)
π1 : x − 4y − 3z − 2 = 0,
π2 : 3x − 12y − 9z − 7 = 0,
(d)
π1 : x − 2y + 3z = 4,
π2 : −2x + 5y + 4z = 0.
Wsk. Wyznaczy¢ wektory normalne obu pªaszczyzn i zbada¢ zale»no±¢ mi¦dzy nimi.
22. Wyznaczy¢ równanie pªaszczyzny
przez punkt
P = (1, 2, 3)
π1
przechodz¡cej przez pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych i
oraz prostopadªej do pªaszczyzny
23. Wyznaczy¢ równanie pªaszczyzny
prostopadªej do pªaszczyzn
przechodz¡cej przez pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych i
π1 : 2x − y + 5z + 3 = 0
24. Rzutem prostopadªym punktu
P = (2, 1, 3)
Wyznaczy¢ równanie pªaszczyzny
25. Dla jakiej warto±ci parametru
π : 4x + 8y + 3z + 4 = 0
π
m
π2 : x − y + 2z − 4 = 0.
oraz
π2 : x + 3y − z + 7 = 0.
na pªaszczyzn¦
π
jest punkt
P 0 = (2, 3, 1).
π.
punkt
P = (1, 2, m)
b¦dzie równoddalony od pªaszczyzny
oraz od pªaszczyzny zawieraj¡cej przez punkty
A = (0, 1, 0),
B = (1, 2, 4), C = (2, 0, 0).
26. Wyznaczy¢ równanie pªaszczyzny symetralnej odcinka
P Q, gdzie P = (5, 3, −3), Q = (3, −1, 2).
27. Znale¹¢ wspóªrz¦dne punktu symetrycznego do punktu
P = (4, −2, 3)
wzgl¦dem punktu
P = (4, −2, 3)
wzgl¦dem prostej
Q = (5, 1, 2).
28. Znale¹¢ wspóªrz¦dne punktu symetrycznego do punktu
y+1
z−1
x−3
=
=
.
l:
1
−1
−1
29. Znale¹¢ wspóªrz¦dne punktu symetrycznego do punktu
P = (4, −2, 3) wzgl¦dem pªaszczyzny
π : 2x + y − 2z = 0.
30. Dane s¡ punkty
A = (1, 1, 4), B = (−1, 0, 0)
C = (0, 0, −1).
i
Je»eli punkty s¡ wspóªlinio-
we, to wyznaczy¢ równanie prostej przechodz¡cej przez te punkty. W przeciwnym wypadku
wyznaczy¢ równanie pªaszczyzny zawieraj¡cej te punkty.
31. Pokaza¢, »e prosta
l : x = 0, y = t, z = t, t ∈ R,
32. Zbada¢ dla jakich warto±ci parametru
m
nale»y do pªaszczyzny
prosta
l1 : x = 1 + 2t, y = −2, z = 3t, t ∈ R,
przecina prost¡ dan¡ równaniem kraw¦dziowym
(
l2 :
π : 6x + 4y − 4z = 0.
x − 2y + z + m = 0,
x − 2y + 3 = 0.