Ciągi - ZSEG
Transkrypt
Ciągi - ZSEG
Powtórka przed klasówką z matematyki w klasie III – zadania CIĄGI 1. Dany jest wyraz ogólny nieskończonego ciągu . Oblicz , , , , , , , . 2. a) 4, b) 3 , c) 2 4 1, Które z wyrazów ciągu są równe zero, jeśli: a) 2 4 3 b) 3. 4. 5. ! c) d) Które wyrazy ciągu są ujemne, jeśli: a) 10, b) 10 11, Które wyrazy ciągu są dodatnie, jeśli: a) 2 7, b) ), , √3 1 1000 " # ! $ %! # c) , ' , d) % ) , # , ' c) d) Wykaż, że ciąg jest ciągiem rosnącym, jeśli: a) b) c) d) 6. ! d) √ 1, e) 5 , f) , e) 3 f) g) 1 h) 2 Wykaż, że ciąg jest ciągiem malejącym, jeśli: a) 0,1 20 e) # b) f) c) 7 1 g) 2 d) 1 h) 12 Ciąg arytmetyczny 7. Które z podanych ciągów są ciągami arytmetycznymi? ! a) 3 1 d) b) 7 e) 5 7 √ c) f) * * g) ! # h) 2 i) 8. ! ' Oblicz trzynasty wyraz ciągu arytmetycznego, jeśli: a) 1, + 3 c) 3, # 4 b) 10, + 2 d) 0, # 1,5 9. Wyznacz pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że: a) 92, + 3 c) ' 15,4; + 0,4 b) % 37, + 5,5 d) 44, + 1,25 10. Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego, jeśli: a) 7, ' 133 c) 28,5; # 6 b) 12, 65 d) 3√3, # 42√3 11. Wyznacz liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego, jeśli: 1 Opracowanie: mgr Mirosława Gałdyś Powtórka przed klasówką z matematyki w klasie III – zadania c) 2,3; 48,8; + 3,1 d) 2 , 33 , + 1 Między liczby 4 i 22 wstaw 5 liczb tak, aby wraz z danymi liczbami tworzyły ciąg arytmetyczny. Suma czwartego i siódmego wyrazu ciągu arytmetycznego wynosi 86, a suma drugiego i trzynastego wyrazu tego ciągu jest równa 22. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu. Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa 27, suma dwóch ostatnich wyrazów tego ciągu wynosi 105, a siódmy wyraz jest równy 30. Wyznacz pierwszy wyraz, różnicę oraz liczbę wyrazów tego ciągu. Drugi, szósty i ostatni wyraz ciągu arytmetycznego wynoszą odpowiednio 2, 22, 222. Wyznacz pierwszy wyraz oraz liczbę wyrazów tego ciągu. Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Suma tych liczb równa się 18, a suma kwadratów liczb skrajnych wynosi 104. Co to za liczby? Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego wiedząc, że tworzą one ciąg arytmetyczny o różnicy 2. Miary trzech kolejnych kątów czworokąta wpisanego w koło tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 470 . Oblicz miary kątów tego czworokąta. Dla jakich wartości 1 liczby: 31 1, 21 4, 51 3 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny? Oblicz sumę: a) Wszystkich liczb całkowitych od 0 do 150 włącznie; b) Wszystkich liczb parzystych od 0 do 150 włącznie; c) Wszystkich liczb nieparzystych od 0 do 150; d) Wszystkich liczb dodatnich trzycyfrowych Oblicz podaną sumę: a) 3 7 11 15 19 2 103 c) 7 4 1 2 5 2 227 b) 2 8 14 20 2 176 d) 29 22 15 8 2 272 Wyznacz liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego, mając dane: a) 3 407, 62, 12; d) 3 1016,5; 22, 85; b) 3 420, 7, + 3; e) 3 204, + 6, 49; c) 3 578, 58, + 3; f) 3 456, + 12, 15; Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego mając dane: a) 3 518, 50, 14; c) 3 728, 16, 63; b) 3 1675, 25, 1; d) 3 2241, 27, 148; Rowerzysta w ciągu pierwszej godziny przejechał 20 km, a w ciągu każdej następnej godziny odcinek o 0,75 km krótszy od poprzedniego. Jaką drogę pokonał rowerzysta, jeśli w ciągu ostatniej godziny przejechał 17 km? Wykopanie pierwszego metra studni kosztuje 8 zł., a każdego następnego o 3 zł. drożej. Ile kosztuje wykopanie studni o głębokości 25 m? Z pełnej baryłki zaczęła wylewać się woda. W pierwszej sekundzie wypłynęło 3,4 l wody, a każdej następnej o 0,3 l mniej niż w poprzedniej. W ostatniej sekundzie wypłynęło tylko 0,1 l wody. Ile czasu wypływała woda z baryłki? Jaką pojemność miała baryłka? a) b) 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 5, 61, + 7 27, 15, + 3,5 Ciąg geometryczny 27. Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego wiedzą, że: a) 4 5, % 125; c) 4 6, 151,2; b) 4 , # % ; d) 4 , 5' ; e) f) 2 Opracowanie: mgr Mirosława Gałdyś 4 3, 5 10935; 4 0,2; 0,192; Powtórka przed klasówką z matematyki w klasie III – zadania 28. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego wiedząc, że: e) 0,5; # 512; a) 6, ; c) , % ; % # f) 5, 8,64; b) 100, 65,61; d) 1, ) 512; 29. Oblicz liczbę wyrazów ciągu geometrycznego wiedząc, że: a) 9, 4 2, 1152; d) 25, 4 3, 2025; 5 b) 54, 4 , ; e) 1, 4 , ; % c) 0,025, 4 20, 4000; f) 0,5; 4 0,5; ; )'# 30. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego wiedząc, że: a) 1680 560; c) % 120 % 96; b) # 432 108; d) 1285 · 6400; 31. Wykaż, że trzy dane liczby w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny: 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. √ √ √ a) , , ; ; √5 2, , √ Dla jakiego x, trzy dane liczby w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny? Znając wartość x, wyznacz ciąg: a) 4, 1, 25; b) 1 7, 5, 15; c) 21, 30, 181; d) 1 15, 8, 1 15; Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 21, a ich iloczyn wynosi 216. Wyznacz ten ciąg. Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 57, a iloczyn 5832. Wyznacz te liczby. Trzy liczby 1, 7, których suma wynosi 24, tworzą ciąg arytmetyczny. Liczby 1 1, 7 2, 2 tworzą ciąg geometryczny. Oblicz liczby 1, 7, . Trzy liczby, które tworzą ciąg arytmetyczny, dają w sumie 39. Jeśli od pierwszej i od trzeciej liczby odejmiemy 3, a od drugiej 5, to otrzymane różnice utworzą ciąg geometryczny. Wyznacz liczby tworzące ciąg arytmetyczny. Trzy liczby, które tworzą ciąg geometryczny dają w sumie 35. Jeśli do pierwszej liczby dodamy 4, do drugiej 5, a do trzeciej 3, to otrzymane sumy utworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz liczby tworzące ciąg geometryczny. Oblicz sumę liczb, które tworzą ciąg geometryczny: a) 1 2 4 2 64 c) 1 3 9 27 81 243 729 b) 32 16 8 4 2 1 0,5 0,25 d) 1 1 2 Trzeci wyraz ciągu geometrycznego równa się 45, a szósty wynosi 1215. Oblicz sumę ośmiu pierwszych wyrazów tego ciągu. Drugi wyraz malejącego ciągu geometrycznego jest równy 20, a czwarty wynosi 5. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu. a) 41. W skończonym ciągu geometrycznym dwa ostatnie wyrazy są równe odpowiednio ' oraz #. Wiedząc, że suma wszystkich wyrazów tego ciągu wynosi 199 #, wyznacz: a) Wyraz pierwszy tego ciągu; b) Liczbę wyrazów tego ciągu; 42. Przyznano kilka nagród, których wartość wynosiła 14760 zł. Pierwsza nagroda wyniosła 5000 zł, każda następna była pewnym stałym ułamkiem poprzedniej. Oblicz ile było nagród i jaką wartość miała każda nagroda, jeśli najmniejsza wyniosła 2560 zł. 43. Pchła Szachrajka w pierwszym skoku pokonała odległość 1 m, w drugim skoku ½ m i w każdym następnym skoku połowę długości skoku poprzedniego. Czy pokona odległość 2 m w dziesięciu skokach? Wykonaj odpowiednie obliczenia. 44. Miary kątów trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Obwód tego trójkąta wynosi 69√3 1:;<. Oblicz długości boków tego trójkąta. 3 Opracowanie: mgr Mirosława Gałdyś Powtórka przed klasówką z matematyki w klasie III – zadania 45. Dany jest malejący ciąg geometryczny, w którym 27, 12. a) Wyznacz iloraz tego ciągu; b) Zapisz wzór na ogólny wyraz tego ciągu, gdzie = 1; c) Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu. > 46. Wykaż, że trzy wyrażenia ? , >? ? , >? ! ?? ! tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny dla dowol- nego 1 @, 7 @ A B0, 1C. Lokaty pieniężne 47. W banku założono lokatę w wysokości 10 000 zł. Roczna stopa procentowa jest równa 6 %, oprocentowanie jest proste. Oprocentowanie naliczane jest po każdym roku trwania lokaty i przez cały okres jej trwania nie zmienia się. Ile pieniędzy wypłaci bank po wygaśnięciu lokaty, jeśli została ona założona na: a) Jeden rok; b) Dwa lata; c) Pięć lat. Wykonaj obliczenia w dwóch wersjach: I – bez 18 % podatku; II – z 18 % podatkiem; 48. W banku założono lokatę w wysokości 10 000 zł. Roczna stopa procentowa jest równa 6 %, oprocentowanie jest złożone. Kapitalizacja odsetek następuje po każdym roku. Oprocentowanie przez cały okres trwania lokaty nie zmienia się. Ile pieniędzy wypłaci bank po wygaśnięciu lokaty, jeśli została ona założona na: a) Jeden rok; b) Dwa lata; c) Pięć lat. 49. W banku założono lokatę w wysokości 10 000 zł. Roczna stopa procentowa jest równa 6 %, oprocentowanie jest złożone. Kapitalizacja odsetek następuje co miesiąc. Ile pieniędzy wypłaci bank po wygaśnięciu lokaty, jeśli została ona założona na dwa lata? 50. Bank oferuje lokatę terminową z kwartalną kapitalizacją odsetek i roczną, stałą stopą procentową równą 5,2 %. Jaki kapitał należy zainwestować, aby po trzech latach otrzymać 5000 zł? 51. Z okazji dziesiątych urodzin Kasi dziadkowie założyli lokatę w banku, wpłacając 5000 zł. Bank stosuje półroczną kapitalizację odsetek przy rocznej stopie procentowej 4 %. Jaką kwotę otrzyma Kasia z chwilą osiągnięcia wieku 18 lat? 52. Pan Maciej założył trzyletnią lokatę wpłacając do banku 10 000 zł. Bank stosuje kwartalną kapitalizację odsetek przy rocznej stopie procentowej 8 %. Jaką kwotę otrzyma pan Maciej po trzech latach? 53. Pani Marta wpłaciła pewną kwotę na trzyletnią lokatę, której roczne oprocentowanie wynosiło 5 %. Kapitalizacja odsetek następowała po każdym roku oszczędzania. Wiedząc, że po trzech latach pani Marta miała na koncie 23 152,50 zł oblicz, jaką kwotę wpłaciła pani Marta na tę lokatę. 54. Kiedy otrzymamy większą kwotę: lokując pieniądze n 4 % przez 10 lat, czy lokując je na 10 % przez 4 lata? Zakładamy, że w każdym przypadku kapitalizacja następuje co rok. 55. Pan Nowak złożył do banku 25 000 zł na 4 lata (procent składany). Jaką kwotę będzie miał na koncie po tym okresie, jeśli oprocentowanie w banku wynosi 10 % w skali roku, a odsetki kapitalizuje się: a) Co rok; b) Co 6 miesięcy; c) Co trzy miesiące; W każdym przypadku obliczenia wykonaj uwzględniając 18 – procentowy podatek od dochodów kapitałowych, jak i pomijając ten podatek. 56. Pewna firma wzięła w banku kredyt w wysokości 100 000 zł. Oprocentowanie kredytu wynosi 20 % w skali roku. Oblicz wysokość raty i łączną wartość zapłaconych odsetek, jeśli: a) Kredyt ma być spłacony w czterech równych ratach po I, II, III i IV kwartale; b) Kredyt ma być spłacony w czterech malejących ratach po I, II, III i IV kwartale. 4 Opracowanie: mgr Mirosława Gałdyś