Zapisz jako PDF

Ciągi rekurencyjne
Zadanie 1
Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
w dwóch przypadkach:
1. dla
i
,
2. oraz dla
i
.
Wskazówka
Należy poszukiwać rozwiązania w postaci
, gdzie
i
są stałymi.
Rozwiązanie
Do równania rekurencyjnego (1) podstawmy
w postaci
do wyznaczenia. Otrzymamy w ten sposób równanie:
Po uproszczeniu przez
, gdzie
jest pewną, różną od zera, stałą
, uzyskamy równanie kwadratowe na :
Równanie to ma dwa rozwiązania:
i
.
Związek rekurencyjny (1) jest liniowy i jednorodny. Oznacza to, że jeśli pewien ciąg
jest jego
rozwiązaniem, to jest nim także
, gdzie jest stałą. Z kolei jeśli znaleźlibyśmy dwa rozwiązania
oraz , to rozwiązaniem będzie także ich suma:
, a nawet kombinacja
dowolnymi stałymi oraz . Takie dwa rozwiązania otrzymaliśmy już powyżej:
oraz
stąd, że ogólne rozwiązanie równania (1) ma postać:
Aby znaleźć stałe
i
wykorzystamy warunki początkowe.
,z
. Wynika
1. Musi zachodzić:
Rozwiązując ten układ równań ze względu na i
wyraz ogólny ciągu ma w tym przypadku postać:
otrzymujemy:
Ze względu na drugi człon, ciąg ten jest rozbieżny przy
2. Teraz muszą być spełnione warunki:
Po rozwiązaniu tego układu widzimy, że
postać:
,
,
i wzór na
.
. Wzór na wyraz ogólny ciągu ma teraz
Jasne jest, że w tym przypadku zachodzi:
Zadanie 2
Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
dla
i
.
Wskazówka
Należy poszukiwać rozwiązania w postaci
, gdzie
oraz
są stałymi.
Rozwiązanie
Podobnie jak w poprzednim zadaniu, podstawimy do równania rekurencyjnego (10)
gdzie jest pewną niezerową stałą. Otrzymamy w ten sposób równanie:
w postaci
,
Po skróceniu obu stron przez
, dochodzimy do równania kwadratowego na niewiadomą :
Jedynym (ale za to podwójnym) jego rozwiązaniem jest
.
Z poprzedniego zadania wiemy, że jeśli związek rekurencyjny jest liniowy i jednorodny (a tak jest w
istocie w (10), to rozwiąznie ogólne jest kombinacją liniową rozwiązań szczególnych (
,
,
,...):
, z dowolnymi stałymi , , ,.... W naszym przypadku mamy dwa
niezależne rozwiązania, gdyż rekurencja (10) jest rekurencją "o dwa". Jednym z tych rozwiązań jest,
naturalnie, , a drugie ma postać
, o czym łatwo jest się przekonać wstawiając je do (10).
Widzimy zatem, że ogólne rozwiązanie równania (10) ma postać:
Stałe
i
wyznaczymy z warunków początkowych:
Układ ten spełniony jest przez liczby
oraz
i, w konsekwencji:
Oczywiste jest, że ciąg ten jest rozbieżny.
Zadanie 3
Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie:
gdzie
.
Wskazówka
Należy wykazać ograniczoność i monotoniczność ciągu.
Rozwiązanie
Ciąg w treści zadania zdefiowany jest nieliniową rekurencją, którą można opisać wzorem:
W tego typu problemach w ogólności nie potrafimy znaleźć jawnego wzoru na
i musimy się
ograniczyć do zbadania samej granicy. Wygodnie jest rozpocząć rozwiązywanie zadania od
wykonania szkicu przebiegu funkcji podobnego do tego z rysunku 1. Przedstawiony jest na nim przy użyciu czerwonych strzałek - sposób obliczania kolejnych wyrazów ciągu, przy czym punktem
startowym jest . W treści zadania
, ale rysunek wygląda bardzo podobnie dla wszystkich
i został wykonany dla takiej jego wartości, dla której wygląda najbardziej przejrzyście. Punkt
jest rozwiązaniem równania
, a zatem jest punktem stałym odwzorowania .
Rys 1. Rekurencja opisana wzorem
(16) dla
.
Rysunek ten sugeruje, że nasz ciąg po pierwsze jest ograniczony z góry przez liczbę , a po drugie rosnący. Te dwie jego własności poniżej udowodnimy.
1. Ograniczoność.
Ograniczoność ciągu wykażemy, korzystając z metody indukcji matematycznej.
1. Dla
mamy
.
2. Teraz dowodzimy następującej implikacji:
Znajdźmy znak wyrażenia
:
przy czym ostatnia nierównosć wynika z założenia indukcyjnego.
Ciąg jest więc w istocie ograniczony:
2. Monotoniczność.
Obliczymy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu:
Końcowa nierówność wynika z wykazanej wyżej własności (20) i oznacza, że nasz ciąg jest
rosnący.
Jak wiadomo w zbiorze liczb rzeczywistych ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę. Oznaczmy
ją literą . Skoro granica ta istnieje to możemy po obu stronach równania (16) przejść z do
nieskończoności, otrzymując równanie:
które ma dwa rozwiązania:
lub
. Tylko jedna z tych dwóch liczb może być granicą ciągu
. Jednakże rosnący ciąg liczb dodatnich nie może być zbieżny do zera. Stąd:
Zadanie 4
Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie:
gdzie
.
Wskazówka
Należy wykazać ograniczoność i monotoniczność ciągu.
Rozwiązanie
Ponownie mamy do czynienia z nieliniową rekurencją opisaną wzorem:
Przebieg funkcji przedstawiony jest na rysunku 2. Punktem startowym jest w tym zadaniu
,
ale rysunek - podobnie jak w poprzednim zadaniu - został wykonany dla innej wartości, dla której
wygląda bardziej przejrzyście, a zasadnicze własności ciągu (którymi zajmiemy się poniżej) przy tym
się nie zmieniają. Punkt
odwzorowania .
jest rozwiązaniem równania
, a zatem jest punktem stałym
Rys 2. Rekurencja opisana wzorem
(24) dla
).
Z rysunku możemy się zorientować, że ciąg
malejący, co poniżej ściśle wykażemy.
jest ograniczony z dołu przez liczbę
oraz że jest
1. Ograniczoność.
Tak jak poprzednio ograniczoność ciągu udowodnimy metodą indukcji matematycznej.
1. Dla
mamy
.
2. Teraz dowodzimy implikacji:
Znajdziemy znak wyrażenia
:
Otrzymana nierówność wynika z założenia indukcyjnego.
Ciąg
jest więc faktycznie ograniczony z dołu:
2. Monotoniczność.
Obliczymy teraz różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu:
Wyrażenie to jest ujemne, co jest konsekwencją własności (28) i oznacza, że ciąg jest malejący.
Ciąg monotoniczny i ograniczony ma na pewno granicę, którą oznaczymy literą . Skoro granica ta
istnieje, to możemy po obu stronach równania (24) przejść z do nieskończoności, otrzymując:
Równanie to ma dwa rozwiązania:
lub
i tylko jedna z tych liczb może być granicą
ciągu
że:
. Ciąg ograniczony z dołu przez liczbę
nie może być jednak zbieżny do
. Stąd wynika,
Zadanie 5
Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie:
gdzie
.
Wskazówka
Należy rozłożyć ciąg na dwa podciągi ograniczone i monotoniczne.
Rozwiązanie 1
Rekurencja tym razem opisana jest wzorem:
Przebieg funkcji przedstawiony jest na rysunku 3. Jest ona w interesującym nas przedziale
malejąca, a ciąg wydaje się oscylować wokół punktu
, który jest rozwiązaniem równania
i jednocześnie kandydatem na granicę ciągu . Rysunek ten mówi nam, że musimy
zmienić nasz sposób postępowania w stosunku do poprzednich zadań, gdyż w tym przykładzie nie
mamy do czynienia z ciągiem monotonicznym. Jednakże można mieć nadzieję, że monotoniczne (i
ograniczone) okażą się jego podciągi: ten o indeksach parzystych, czyli
oraz ten o indeksach
nieparzystych, czyli
, gdzie
.
Rys 3. Rekurencja opisana wzorem
(32) dla
.
Musimy więc zacząć od przekształcenia rekurencji (32) w rekurencję "o dwa":
i rozpatrzenia kolejno podciągów "parzystego" i "nieparzystego".
1. Ciąg o indeksach parzystych.
Mamy następującą rekurencję ("o jeden") w zmiennej :
Z rysunku możemy wnosić, że ciąg ten jest malejący i ograniczony z dołu przez liczbę
jest punktem stałym funkcji , ale także ). Wykażemy poniżej, że tak jest w istocie.
(
1. Ograniczoność.
Ograniczoność ciągu udowodnimy --- jak zwykle --- metodą indukcji matematycznej.
1. Dla
mamy
.
2. Teraz dowiedziemy prawdziwości implikacji:
Znajdziemy znak wyrażenia
:
gdzie ostatnia nierówność wynika z założenia indukcyjnego.
Ciąg
jest więc rzeczywiście ograniczony z dołu:
2. Monotoniczność.
Obliczymy teraz różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu:
co wynika z (38) i oznacza, że ciąg jest malejący.
Ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę, którą oznaczymy literą . Skoro granica ta
istnieje to możemy po obu stronach równania (35) przejść z do nieskończoności, otrzymując:
Równanie to ma dwa rozwiązania:
oraz , ale granicą musi być ta druga liczba, gdyż
jest ograniczony z dołu przez dwójkę. Mamy zatem:
2. Ciąg o indeksach nieparzystych.
Mamy teraz rekurencję w zmiennej :
Na podstawie rysunku wydaje się, że ciąg ten powinien być rosnący i ograniczony z góry przez
liczbę .
1. Ograniczoność.
Ograniczoność ciągu wykażemy ponownie metodą indukcji matematycznej.
1. Dla
mamy
.
2. Teraz dowiedziemy, że:
Następnie rozpatrzymy wyrażenie
Jak widzimy, ciąg
:
jest ograniczony z góry:
2. Monotoniczność.
Różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu wyraża się wzorem analogicznym do (39) :
i jest dodatnia, co jest konsekwencją (45).
Mamy do czynienia z ciągiem ograniczonym i monotonicznym, a zatem ma on granicę (
Przechodąc z do nieskończoności po obu stronach równania (42) otrzymujemy:
).
Jest to równanie identyczne do (40) i oczywiście ma takie same rozwiązania. Mamy więc:
Ponieważ
, więc oba podciągi zbieżne są do tej samej granicy. Jest to też granica
samego ciągu , gdyż do podciągu "parzystego" i "nieparzystego" należą wszystkie wyrazy
ciągu (wystarczyłoby nawet, gdyby należały tylko prawie wszystkie).
Rozwiązanie 2
Udowadniamy najpierw, że
na granicę jest 2. Zapiszmy różnicę
(prosty dowód indukcyjny). Jak już wiemy kandydatem
następująco
W liczniku odtworzyła nam się różnica
dla wyrazu wcześniejszego! Mamy dla dowolnego
skąd otrzymujemy
. Wyrażenie po prawej stronie nierówności zbiega do zera wobec tego z
twierdzenia o trzech ciągach mamy
Zadanie 6
Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie:
gdzie
.
Wskazówka
Należy rozłożyć ciąg na dwa podciągi ograniczone i monotoniczne.
Rozwiązanie
Rekurencja dana jest wzorem:
Wykres funkcji
przedstawiony jest na rysunku 4 i, jak widać, dla dodatnich wartości
malejąca. W konsekwencji ciąg
oscyluje wokół punktu
jest ona
, który jest rozwiązaniem równania
i może ewentualnie stanowić jego granicę. Postąpimy więc podobnie jak poprzednio rozłożymy ciąg na dwa podciągi:
oraz
, gdzie
.
Rys. 4. Rekurencja opisana wzorem
(49) dla
.
Przekształcimy teraz rekurencję (49) na rekurencję "o dwa":
i badać będziemy osobno podciągi "parzysty" i "nieparzysty".
1. Ciąg o indeksach parzystych.
Mamy następującą rekurencję ("o jeden") w zmiennej :
Z rysunku wynika, że ciąg ten powinien być rosnący i ograniczony z góry przez liczbę
stały dla funkcji oraz ). Wykażemy te własności poniżej.
1. Ograniczoność.
Znów stosujemy indukcję matematyczną.
1. Dla
mamy:
2. Teraz wykazujemy, że:
, gdyż
.
(punkt
Zbadamy znak wyrażenia
Ciąg
:
jest więc ograniczony z góry:
2. Monotoniczność.
Obliczymy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu:
co wynika z (55). Oznacza to, że badany podciąg jest rosnący.
Podciąg "parzysty" jest monotoniczny i ograniczony, a zatem ma granicę (
równanie:
które ma dwa rozwiązania:
:
). Liczba ta spełnia
oraz , przy czym ta druga liczba jest szukaną granicą podciągu
2. Ciąg o indeksach nieparzystych.
Mamy teraz następującą rekurencję w zmiennej :
Na podstawie rysunku podejrzewamy, że podciąg ten jest malejący i ograniczony z dołu przez
liczbę .
1. Ograniczoność.
1. Dla
mamy
.
2. Teraz musimy dowieść, że:
Rozpatrzymy wyrażenie
Podciąg
:
jest więc ograniczony z dołu:
2. Monotoniczność.
Różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu wyraża się wzorem podobnym do (56):
Mamy więc do czynienia z podciągiem ograniczonym i monotonicznym, a zatem ma on granicę
( ) spełniającą równanie:
Jest to równanie identyczne do (57) i oczywiście ma takie same rozwiązania. Otrzymujemy
więc:
Jak widzimy
, więc oba podciągi mają tę samą granicę. Podobnie jak w
poprzednim przykładzie wnosimy stąd, że jest ona też granicą samego ciągu .
Zadanie 7
Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie:
dla przypadków:
1.
2.
.
.
Wskazówka
Należy zbadać, czy ciąg jest ograniczony i monotoniczny.
Rozwiązanie
Rekurencja w tym przypadku dana jest wzorem:
Zbadamy, czy uda się wykazać, że ciąg jest monotoniczny i ograniczony.
1.
.
Przebieg funkcji przedstawiony jest na rysunku 5a, gdzie zaznaczone zostały także kolejne
wyrazy ciągu. Szkic ten podpowiada nam, że ciąg
jest rosnący i ograniczony z góry przez
dwójkę (która jest jedynym punktem stałym odwzorowania ), co postaramy się poniżej
udwowodnić.
Rys 5a. Rekurencja opisana wzorem
(66), gdy
.
1. Ograniczoność.
Ograniczoność ciągu wykażemy korzystając, jak zwykle, z indukcji matematycznej.
1. Dla
mamy
.
2. Teraz dowodzimy następującej implikacji:
Znajdziemy znak wyrażenia
co wynika z założenia indukcyjnego.
Ciąg jest więc rzeczywiście ograniczony:
:
2. Monotoniczność.
Obliczymy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu:
Ciąg jest więc rosnący. Zauważmy, że w przeciwieństwie do poprzednich przykładów,
ostatnia nierówność jest prawdziwa niezależnie od tego, czy
, czy
, więc
słuszna będzie ona także w podpunkcie b.
Rys 5b. Rekurencja opisana wzorem
(66) dla
.
Wynika stąd, że ciąg ma granicę i spełnia ona równanie:
którego jedynym rozwiazaniem jest
2.
. Liczba ta musi więc być szukaną granicą ciągu:
.
Sytuacja, z jaką mamy teraz do czynienia, przedstawiona jest na rysunku 5b. Kolejne wyrazy
ciągu "uciekają" od punktu stałego, a kolejnego punktu stałego odwzorowanie nie ma. To że
ciąg jest rzeczywiście rosnący, wykazaliśmy już zresztą w ścisły sposób w punkcie a. Wiedza ta
wystarcza nam do wyciagnięcia wniosku, że ciąg jest rozbieżny. Granicą może być bowiem
tylko punkt stały, a innego takiego punktu poza dwójką nie ma. Rosnący ciąg liczb
, dla którego
nie może być jednak zbieżny do .