Ćwiczenia 5. Relacje dwuczłonowe. 1 Wprowadzenie

Ćwiczenia 5.
Relacje dwuczłonowe.
mgr Zofia Makara
19 listopada 2003
1
Wprowadzenie
Definicja 1 Dla dowolnie zadanych elementów a, b można z nich utworzyć
parę uporządkowaną o porzedniku a i następniku b.
Uwaga 1 Parę uporządkowną oznacza się symbolem (a, b).
Własność 1 Para uporządkowna (a, b) jest równa parze uporządkowanej
(c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy jej następniki i poprzedniki są równe:
((a, b) = (c, d)) ⇔ (a = c ∧ b = d).
Pojęcie pary uporządkownej można wprowadzać na różne sposoby, tak, aby
była uwzględniona własność 1, na przykład:
Definicja 2 (według Kuratowskiego) Dla dowolnie zadanych elementów
a, b można z nich utworzyć parę uporządkowaną (a, b), taką, że:
(a, b) = {{a}, {a, b}}.
Definicja 3 Iloczynem kartezjańskim lub produktem kartezjańskim zbiorów
A i B nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych (a, b), takich, że
a ∈ A oraz b ∈ B i oznaczamy A × B.
Twierdzenie 1 Jeżeli A jest zbiorem n-elementowym i B jest zniorem melementowym, to A × B jest zbiorem złożonym z mn elementów (par uporządkowanych (a, b), gdzie a ∈ A oraz b ∈ B).
Definiuje się również relacje dłuczonowe w produkcie A × B. Ogólna defincja
przedstwaia się w sposób następujący:
Definicja 4 Dla dowolnych zbiorów A i B, relacją dwuczłonową w produkcie
A × B nazywa się dowolny podzbiór tego produktu.
1
Uwaga 2 Jeżeli relacja R jest podzbiorem produktu A×A, to zamiast mówić
R relacją dwuczłonową w produkcie A × A mówi się, że R relacją dwuczłonową w A.
Fakt, że a pozostaje w relacji R z b zapisuje się w sposób następujący:
(a, b) ∈ R lub aRy.
Definicja 5 Zbiór poprzedników par uporządkowanych (a, b) należących do
relacji R nazywa się dziedziną relacji i oznacza DR :
DR = {a ∈ A : ∃b∈B (aRb)}
Definicja 6 Zbiór następników par uporządkowanych (a, b) należących do
∗:
relacji R nazywa się dziedziną relacji i oznacza DR
∗
DR
= {b ∈ B : ∃a∈A (aRb)}
Definicja 7
∗
DR ∪ DR
nazywa się polem relacji.
2
2.1
Rodzaje relacji
Relacja zwrotna
Relację dwuczłonową R ⊂ A × A, nazywa się zwrotną, jeśli dla każdego
a ∈ A spełniony jest warunek:
aRa.
2.2
Relacja przeciwzwrotna
Relację dwuczłonową R ⊂ A × A, nazywa się przeciwzwrotną, jeśli dla żadnego a ∈ A spełniony nie zachodzi aRa, a więc jest spełniony warunek:
¬aRa.
2.3
Relacja symetryczna
Relację dwuczłonową R ⊂ A × A, nazywa się symetryczną, jeśli dla wszystkich a, b ∈ A jeśli spełniony jest warunek aRb, to jest spełniony także warunek bRa a więc:
aRb ⇒ bRa.
2
2.4
Relacja przeciwsymetryczna
Relację dwuczłonową R ⊂ A × A, nazywa się przeciwsymetryczną, jeśli dla
wszystkich a, b ∈ A jeśli spełniony jest warunek aRb, to pociąga, że nie jest
spełniony także warunek bRa a więc:
aRb ⇒ ¬bRa.
2.5
Relacja antysymetryczna
Relację dwuczłonową R ⊂ A × A, nazywa się antysymetryczną, jeśli dla
wszystkich a, b ∈ A jeśli spełniony jest warunek aRb i bRa to pociąga za
sobą, że a = b a więc:
aRb ∧ bRa ⇒ a = b.
2.6
Relacja przeciwsymetryczna
Relację dwuczłonową R ⊂ A × A, nazywa się przeciwsymetryczną, jeśli dla
wszystkich a, b ∈ A jeśli spełniony jest warunek aRb, to pociąga, że nie jest
spełniony także warunek bRa a więc:
aRb ⇒ ¬bRa.
2.7
Relacja przechodnia
Relację dwuczłonową R ⊂ A × A, nazywa się przechodnią, jeśli dla wszystkich a, b, c ∈ A jeśli spełniony jest warunek aRb i bRc to pociąga za sobą,
że aRc a więc:
aRb ∧ bRc ⇒ aRc.
Definicja 8 Relacją rówoważności nazwywa się relację R ⊂ A × A, która
jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
Definicja 9 Relacją częściowo porządkującą (A jest zbiorem częściowo uporządkowanym ze względu na relację R) nazwywa się relację R ⊂ A×A, która
jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia.
Definicja 10 Relacją liniowo porządkującą (porządkującą; A jest zbiorem
(liniowo) uporządkowanym ze względu na relację R) nazwywa się relację
R ⊂ A × A, która jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia oraz zachodzi
dla wszystkich a, b ∈ A:
(aRb) ∨ (bRa)
3
3
Zadania
1. Zilustruj graficznie A × B jeśli:
• A = (3, 6), B = [2, 4);
• A = [3, 6), B = [2, 4);
• A = [3, 6], B = [2, 4);
• A = (3, 6], B = [2, 4];
• A = (3, 6), B = [2, 4].
2. Sprawdzić, które własności posiada relacja R:
• xRy ⇔ x|y, R ⊂ N × N ;
• xRy ⇔ (x = 2 ∨ y = 5), R ⊂ N × N ;
• xRy ⇔ (x = 5 ∨ y = 5), R ⊂ N × N ;
• xRy ⇔ 2|(x + y), R ⊂ N × N ;
• xρy ⇔ xy < 12, ρ ⊂ R × R;
• xρy ⇔ |x| < |y|, ρ ⊂ R × R;
• xρy ⇔ x < y + 12, ρ ⊂ R × R;
• xρy ⇔ x = y, ρ ⊂ R × R;
• xρy ⇔ x = y + 4, ρ ⊂ R × R;
• xρy ⇔ x2 = y 2 , ρ ⊂ R × R;
• xρy ⇔ 2|x + y − 1| = 12, ρ ⊂ R × R;
• xρy ⇔ |x| + |y| = 12, ρ ⊂ R × R;
4
Sprawozdanie z ćwiczeń
1. Zilustruj graficznie A × B jeśli:
• A = [2, 3), B = [3, 4);
• A = [1, 2), B = [2, 3);
2. Sprawdzić, które własności posiada relacja R:
• xρy ⇔ |x| − |y| = 0, ρ ⊂ R × R;
• xρy ⇔ x2 6= y 2 , ρ ⊂ R × R;
• xρy ⇔ xy = 24, ρ ⊂ R × R;
• xρy ⇔ 5x = 3 · 4x , ρ ⊂ R × R;
4