Mirosław ZAJDEL, Bogusław FILIPOWICZ Wielowymiarowy problem

Mirosław ZAJDEL*, Bogusław FILIPOWICZ**
WIELOWYMIAROWY PROBLEM PRZYDZIAŁU
JAKO NARZĘDZIE WSPOMAGANIA PROCESÓW
DECYZYJNYCH W PRZEDSIĘBIORSTWIE
Streszczenie
Problem przydziału (ang. AP - Assignment Problem) jest dobrze znanym tematem, występującym w licznych zagadnieniach natury technicznej i ekonomicznej.
Jego cechą szczególną jest wysoka złoŜoność, która juŜ dla dziedziny obejmującej trzy wymiary predestynuje go do przynaleŜności do problemów NP-trudnych.
Niniejsza praca obejmuje kwestię rozszerzenia problemu AP do przestrzeni
o dowolnej liczbie wymiarów oraz przedstawia skuteczny algorytm mrówkowy
dla rozwiązywania tego zagadnienia w ogólnym przypadku. Wyniki badań porównane zostały z opublikowanymi dotychczas rozwiązaniami.
1. Problem przydziału
Zagadnienie przydziału naleŜy do fundamentalnych problemów optymalizacji kombinatorycznej, a jego temat często poruszany jest w sferze badań operacyjnych oraz produkcji czy zarządzania. RóŜnorodne jego formy adaptowane są
do wielu kwestii, w których kluczowym elementem jest czynnik ekonomiczny.
Począwszy od prostego zarządzania personelem obsługiwanego przez problem
przydziału przy liniowym wskaźniku jakości, poprzez transport towarów
i obróbkę kamieni szlachetnych, aŜ po wielokryterialne zagadnienia natury technicznej, związane z ponoszeniem kosztów zaleŜnych od doboru określonej liczby czynników.
*
mgr inŜ., Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki, 30-059 Kraków, al. Mickiewicza 30, pawilon B1, III p., pokój 312,
[email protected]
**
prof. zw. dr hab. inŜ., Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki, 30-059 Kraków, al. Mickiewicza 30, pawilon B1,
III p., pokój 312, [email protected]
Wielowymiarowy problem przydziału …
289
1.1. Zagadnienie liniowe
W swojej najprostszej, a zarazem najbardziej szablonowej i najczęściej spotykanej postaci, zagadnienie przydziału jest problemem opisanym w przestrzeni
dwuwymiarowej przy liniowym wskaźniku jakości. Oznacza to, iŜ moŜna je
sprowadzić do poszukiwania maksymalnego skojarzenia w waŜonym grafie
dwudzielnym.
W praktyce oznacza to zazwyczaj analizę dwóch zbiorów o mocy n (w literaturze moŜna znaleźć metody rozwiązań dla zbiorów róŜnolicznych [7], jednak
nie jest to przedmiotem bieŜącego zainteresowania), dla których poszukuje się
minimum funkcji kosztu.
Algorytmy rozwiązujące tak postawiony problem to między innymi techniki
immunologiczne, które dają bardzo dobre rezultaty dla problemów o małych
rozmiarach oraz niesymetrycznej liczności obu zbiorów. Natomiast zdecydowanie najpopularniejsza oraz najchętniej stosowana jest tak zwana metoda węgierska, która ze względu na swoją dokładność oraz stałą, sześcienną złoŜoność
obliczeniową jest takŜe techniką lepszą w ogólnym przypadku [10].
Dla zagadnienia wielowymiarowego problemu przydziału nie istnieje jednakŜe podobnie uniwersalna metoda, co nastręcza znacznie więcej trudności, ale
teŜ stwarza przy tym pole do badań, ulepszeń i analiz dla technik niedeterministycznych oraz inspirowanych biologicznie metod populacyjnych.
1.2. Uogólnienie wielowymiarowe
Chcąc rozszerzyć problem przydziału przy liniowym wskaźniku jakości na
dowolną, skończoną liczbę wymiarów, opisujemy go na m rozłącznych zbiorach
X1,…, Xm w następujący sposób.
Funkcja celu przyjmuje postać:
f =
∑ ... ∑ c
i1 ∈ X 1
im ∈X m
i1 ...i m
xi1 ...im ,
(1)
gdzie:
ci1 ...im
- dana tablica kosztów o elementach rzeczywistych,
xi1 ...im
- poszukiwana, binarna tablica przydziału,
przy ograniczeniach:
∀k ∈ {1,..., m}:
∑ ... ∑
i1 ∈ X 1
∑
i k −1 ∈ X k −1 i k +1 ∈ X k +1
...
∑x
im ∈X m
i1 ...i m
∀{i1 ,..., im }∈ X 1 × ... × X m : xi1 ...im ∈ {0,1},
X 1 = ... = X m = n , X 1 ∩ ... ∩ X m = φ .
= 1,
(2)
290
Mirosław Zajdel, Bogusław Filipowicz
Tak postawiony problem polega na znalezieniu maksymalnego skojarzenia
w grafie m-dzielnym. Łatwo zauwaŜyć, iŜ istniejących rozwiązań dla m zbiorów
o mocy n kaŜdy jest (n!)m jako Ŝe dla kaŜdego zbioru moŜna wskazać n! permutacji jego elementów.
Karp pokazał, Ŝe juŜ dla m=3 zagadnienie przydziału naleŜy do zbioru problemów NP-trudnych [9]. Z tego teŜ względu nie istnieje (zakładając P ≠ NP)
deterministyczny algorytm rozwiązujący je w czasie wielomianowym i naleŜy
raczej poszukiwać algorytmów dla wielowymiarowego, osiowego problemu
przydziału wśród technik niedeterministycznych.
Jak do tej pory zaproponowano kilka algorytmów rozwiązujących wielowymiarowy problem przydziału. Skupiają się one przede wszystkim na zagadnieniu
w jego formie trójwymiarowej, zapewne ze względu na fakt, iŜ ma ona bardziej
uniwersalny charakter i łatwiej jest znaleźć w naturalnej dla człowieka przestrzeni kwestie, do których moŜna je adaptować. Przykładem moŜe być tutaj
wszelkiego rodzaju obróbka ze skrawaniem, dla której rozwiązując problem
przydziału AP3 moŜna zminimalizować ilość odpadów.
Propozycje rozwiązań algorytmicznych dla tego problemu znaleźć moŜna
w wielu pracach. Przedstawili je między innymi Balas i Saltzman [2], Crama
i Spieksma [5], Burkard, Rudolf i Woeginger [3][4], Aiex, Resende, Pardalos
i Toraldo [1] a takŜe Huang i Lim [8], których hybrydowy algorytm genetyczny
LSGA okazał się najbardziej wydajny wśród opracowanych i opublikowanych
do tej pory.
Wielowymiarowy problem przydziału dla liczby wymiarów wynoszącej 4
i więcej jest raczej pomijany w literaturze, mimo Ŝe znajduje on juŜ zastosowanie w zaawansowanych mechanizmach, jak wieloczujnikowe systemy obserwacji i równoległego śledzenia wielu obiektów [6]. Z pewnością moŜe on być takŜe
atrakcyjnym rozwiązaniem dla przedsiębiorstw, które gotowe są zainwestować
w zebranie odpowiednio dokładnych danych statystycznych, aby w konsekwencji zastosowania modelu wielowymiarowego problemu przydziału uzyskać optymalizację choćby procesu produkcyjnego względem wielu czynników.
Liczba owych kryteriów, która w konsekwencji pokrywa się z liczbą wymiarów
dla problemu przydziału, musi być jednak logiczną konsekwencją rozsądnego
kompromisu między rozmiarem wydatków na badania statystyczne, a udziałem
poszczególnych czynników w funkcji celu.
2. Algorytm mrówkowy
Proponowany sposób rozwiązania bazuje na sprowadzeniu zagadnienia
w postaci grafu m-dzielnego do formy sieci widocznej na rysunku 1, w której
dodano wierzchołek źródłowy („Mrowisko”), połączony z wagą 0 z kaŜdym z n
Wielowymiarowy problem przydziału …
291
wierzchołków zbioru X1 oraz wierzchołek ujścia („PoŜywienie”), połączony
równieŜ z wagą 0 z kaŜdym z n wierzchołków zbioru Xm.
Rys. 1. Model m-wymiarowego problemu przydziału, wykorzystywany
w prezentowanym algorytmie mrówkowym
Idea działania algorytmów mrówkowych opiera się na analogii do komunikacji w koloniach owadów, które wyruszają z gniazda („Mrowiska”) w duŜej liczbie na poszukiwanie poŜywienia. W przypadku gdy owad znajdzie takowe, zabiera je do gniazda, a całą drogę powrotną znaczy odpowiednim zapachem (tzw.
feromonem), aby inne owady, które natkną się na tę ścieŜkę, wiedziały w jaki
sposób szybko dotrzeć do poŜywienia. KaŜdorazowo kiedy jakiś owad przechodzi ową ścieŜką, stęŜenie feromonu rośnie i więcej owadów tę ścieŜkę wybiera.
Z analogicznej zasady korzysta prezentowany algorytm. Pamiętając
o załoŜeniach problemu przydziału, które w takim modelu oznaczają, Ŝe kaŜdy
element zbiorów X1,…, Xm ma znaleźć się na ścieŜce „mrówek” dokładnie raz,
naleŜy wykorzystać n „mrówek” w taki sposób, Ŝe wierzchołek sieci leŜący na
ścieŜce uŜytej przez daną mrówkę nie moŜe juŜ zostać wykorzystany przez następne „mrówki”, aŜ do wyczerpania populacji, po czym procedura jest powtarzana dla kolejnej populacji juŜ z nowymi oznaczeniami feromonu na ścieŜkach.
Po pewnym czasie działania algorytmu dostajemy n ścieŜek m-elementowych
(źródło i ujście pomijamy), spełniających ograniczenia problemu przydziału, dla
których stęŜenie feromonu jest sumarycznie największe, zaś funkcja celu ma
wartość minimalną.
292
Mirosław Zajdel, Bogusław Filipowicz
3. Wyniki badań
Do testów algorytmu wybrane zostały dwa standardowe zbiory danych
o róŜnej charakterystyce złoŜoności, Balas-Saltzman oraz Crama-Spieksma,
opracowane w początkowych publikacjach na temat wielowymiarowego problemu przydziału i z powodzeniem stosowane przez badaczy tego zagadnienia
do tej pory. Zestawienie porównawcze obejmuje obok algorytmu mrówkowego
opisanego w niniejszej pracy takŜe najlepsze opublikowane do tej pory algorytmy rozwiązujące trójwymiarowy problem przydziału. Są to metaheurystyka
GRASP [1] oraz hybrydowy algorytm genetyczny LSGA [8].
Rys. 2. Porównanie wydajności proponowanego algorytmu mrówkowego z innymi rozwiązaniami opracowanymi dla problemu AP3
Pierwsza część testów oparta została na zbiorze 60 testów opracowanych
przez duet Balas-Saltzman, po 5 instancji dla kaŜdego z rozmiarów problemu
n=4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26. Algorytm mrówkowy okazuje się być dalece lepszym od metaheurystyki GRASP i wykazuje tendencję do dobrej asymptotycznej zbieŜności, mimo Ŝe przegrywa jeszcze dla małych rozmiarów problemu
z hybrydowym algorytmem genetycznym LSGA.
W drugiej części testów wykorzystany został zbiór 18 testów dla duŜych
rozmiarów problemu, rzędu n=33,66, opublikowany przez zespół CramaSpieksma. W tym przypadku algorytm mrówkowy potwierdza swoją efektywność dla duŜych n oraz o wiele lepsze w porównaniu z innymi algorytmami górne ograniczenie złoŜoności.
Podsumowując, prezentowany algorytm mrówkowy dla małych rozmiarów
problemu mieści się w średniej klasie wydajności dotychczas opracowanych
rozwiązań. JednakŜe dla rozmiarów problemu n≥30 okazuje się mieć wyjątkowo
małe asymptotyczne tempo wzrostu, co predestynuje go do bycia wydajnym
narzędziem dla problemów przydziału o wysokim rzędzie wymiaru, będących
modelami najbardziej złoŜonych problemów optymalizacyjnych, w których
funkcja celu minimalizowana jest względem wielu kryteriów.
Wielowymiarowy problem przydziału …
293
Abstract
Assignment Problem is well known problem, which has been studied extensively
in many operational and technical researches. It has been shown to be NP-hard
for three or more dimensions and a few non-deterministic methods has been
proposed to solve it. This paper is introducing a new heuristic search method for
the n-dimensional assignment problem, based on swarm intelligence and comparing results with those obtained by other scientists.
Bibliografia:
[1] Aiex R.M., Resende M.G.C., Pardalos P.M., Toraldo G., GRASP with path
relinking for the three-index assignment problem w INFORMS Journal on
Computing 17/2, 2005.
[2] Balas E., Saltzman M.J., An algorithm for the three-index assignment problem w Operations Research 39, 1991.
[3] Burkard R.E., Rudolf R., Woeginger G.J., Three dimensional axial assignment problems with decomposable cost coefficients w Discrete Applied Mathematics 65, 1996.
[4] Crama Y., Spieksma F.C.R., Approximation algorithms for threedimensional assignment problems with triangle inequalities w European
Journal of Operational Research 60, 1992.
[5] Escamilla-Ambrosio P.J., Lieven N., A Multiple-Sensor Multiple-Target
Tracking Approach for the Autotaxi System w IEEE Intelligent Vehicles
Symposium, Parma 2004.
[6] Filipowicz B., Matematyczne modelowanie zagadnień decyzyjnych – Część
I, Wydawnictwa AGH, Kraków 1998.
[7] Huang G., Lim A., A hybrid genetic algorithm for the Three-Index Assignment Problem w European Journal of Operational Research 172, 2006
[8] Karp R.M., Reducibility among combinatorial problems w Complexity of
Computer Computations, Plenum Press, New York 1972.
[9] Kuhn H.W., The Hungarian method for the assignment problem, Naval Research Logistics Quarterly, 1955.
[10] Merkle D., Middendorf M., Swarm intelligence w Search Methodologies –
Introductory Tutorials in Optimization and Decision Support Techniques,
Springer Science+Business Media, Inc., 2005.
Recenzent: prof. Konrad Wala