zbiory mocy alef zero

Uniwersytet Rzeszowski
Wydział Matematyczno-Przyrodniczy
Monika Łokaj
Zbiory mocy alef zero
Praca licencjacka
wykonana w Instytucie Matematyki
pod kierunkiem dra Michała Lorensa
Praca została przyjęta przez promotora
Rzeszów 2006
Podziękowania
Składam serdeczne podziękowania
Panu doktorowi Michałowi Lorensowi
za pomoc w powstawaniu niniejszej pracy.
-2-
Spis treści:
Wstęp..........................................................................................................................4
Rozdział 1. Zbiory równoliczne.................................................................................6
Rozdział 2. Liczby kardynalne zbiorów, moce zbiorów...........................................10
Rozdział 3. Zbiory przeliczalne................................................................................14
Rozdział 4. Arytmetyka liczb kardynalnych.............................................................16
Literatura...................................................................................................................19
-3-
Wstęp
Teoria mocy, zajmująca się kwestią liczebności zbiorów i porównywaniem ich
liczebności, jest jednym z głównych działów teorii mnogości. Stanowiła ona teŜ jeden
z najwaŜniejszych tematów rozwaŜań Georga Cantora (1845-1918), który jest twórcą teorii
mnogości. Wprowadził on pojęcie mocy zbioru i liczby kardynalnej oraz udowodnił ich
podstawowe własności. Szczególne znaczenie miały jego rozwaŜania dotyczące zbiorów
nieskończonych oraz badania dotyczące mocy konkretnych zbiorów znanych z praktyki
badawczej
matematyków,
zwłaszcza
zbiorów
liczb
naturalnych,
wymiernych
i rzeczywistych. Zagadnienia te wiąŜą się z pojęciem nieskończoności, którą w piątym lub
szóstym wieku przed naszą erą odkryli Grecy. „Było to dla nich pojęcie tak dziwne
i sprzeczne z ludzką intuicją, Ŝe skonfundowało filozofów i matematyków, którzy je
wprowadzili. Przysposobiło im mnóstwa cierpień i wielu doprowadziło do obłędu.”1 Przez
długie wieki pojęcie to sprawiało matematykom wiele kłopotów i było przez nich
traktowane jako pojęcie niejasne. Dopiero rozwaŜania Cantora nad nieskończonymi
liczbami kardynalnymi utorowały drogę do pełnej akceptacji pojęcia nieskończoności.
Celem Cantora było zdefiniowanie liczby kardynalnej zbioru nieskończonego. Początkowo
na oznaczenie liczby kardynalnej odpowiadającej zbiorom przeliczalnym uŜywał litery ϖ .
Posługiwał się takŜe znanym symbolem ∞ , którym zwykle oznaczamy nieskończoność.
Wkrótce jednak uznał, Ŝe liczby kardynalne wymagają nowego symbolu. Postanowił więc
uŜyć w tym celu pierwszej litery alfabetu hebrajskiego alef, ‫א‬. „Cantor świadomie wybrał
‫א‬, wiedząc o roli alefu jako symbolu Boga i nieskończoności. Poza tym z dumą powtarzał
swoim kolegom, Ŝe specjalnie wybrał właśnie alef na oznaczenie liczb kardynalnych, gdyŜ
uwaŜał je za nowy początek w matematyce, początek nowej nieskończoności...”2
1
Aczel A. D., Tajemnica Alefów matematyka , kabała i poszukiwania nieskończoności, Dom wydawniczy
REBIS, Poznań 2002, str. 15.
2
TamŜe, str. 19.
-4-
„MoŜna zadać jeszcze pytanie, czy matematyka nieskończona jest potrzebna
i konieczna w matematyce stosowanej. (...) Teoria mnogości jest fundamentalną teorią
matematyczną, stanowiącą podstawę dla całej matematyki. (...) W matematyce
współczesnej jest wiele działów, które w istotny sposób opierają się na pozaskończonej
teorii mnogości.” 3
W tej pracy postaram się przybliŜyć czytelnikowi podstawowe definicje
i twierdzenia teorii mnogości. Udowodnię, Ŝe zbiory liczb naturalnych, całkowitych
i wymiernych są równoliczne a co z tego wynika są zbiorami mocy alef zero. Przedstawię
zbiory przeliczalne i co najwyŜej przeliczalne. W ostatnim rozdziale omówię arytmetykę
liczb kardynalnych, zwracając szczególną uwagę na liczbę alef zero.
Uwaga. W pracy przyjęłam następujące oznaczenia:
N - zbiór liczb naturalnych;
2N - zbiór liczb naturalnych parzystych;
2N + 1 - zbiór liczb naturalnych nieparzystych;
Z - zbiór liczb całkowitych;
Q - zbiór liczb wymiernych.
3
Murawski R., Filozofia Matematyki Zarys Dziejów, Wyd. naukowe PWN, Warszawa 2001, str. 202.
-5-
Rozdział 1. Zbiory równoliczne
Zastanówmy się, jak stwierdzić, czy dane zbiory skończone A, B mają tę samą
liczbę elementów. MoŜna po prostu policzyć elementy obu zbiorów i uzyskane liczby
porównać. Metoda ta nie jest jednak zbyt praktyczna, jeśli zbiory są bardzo liczne lub gdy
nie umiemy rachować. MoŜna więc zrobić inaczej: wybrać jeden z elementów zbioru
A i połączyć go w parę z jednym z elementów zbioru B, później zestawić następną parę
i kontynuować to postępowanie do czasu, aŜ wyczerpią się elementy któregoś ze zbiorów.
Jeśli na przykład szybciej wyczerpią się elementy zbioru A, to zbiór B ma więcej
elementów
niŜ
zbiór A,
jeśli
natomiast
kaŜdemu
elementowi
ze
zbioru
A
przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru B to zbiory te będą miały tyle samo
elementów.
Ta metoda stanowi podstawę określenia pojęcia równoliczności zbiorów.
Definicja 1.1. Zbiorami równolicznymi (lub równej mocy) nazywamy dwa zbiory
X i Y, gdy istnieje przekształcenie róŜnowartościowe zbioru X na Y ([3], str. 52).
JeŜeli zbiory X i Y są równoliczne to piszemy wtedy X ~ Y.
1−1
Y ].
Zatem mamy: X ~ Y ⇔ ∃ f [ f : X →
na
Przykład 1.1.
Rysunek 1.1. Funkcja ustalająca równoliczność zbioru prostokątów i kół.
-6-
Rysunek 1.1. przedstawia prosty przykład zbiorów równolicznych. Zbiory prostokątów
i kół mają tyle samo elementów, co łatwo sprawdzić, bo są skończone. Funkcja zaznaczona
na rysunku strzałkami jest jednym z moŜliwych odwzorowań wzajemnie jednoznacznych
jednego zbioru na drugi.
Jeśli zbiór X jest zbiorem skończonym: X={a1, a2, ..., an}, gdzie n∈ N, to zbiór
Y jest równoliczny ze zbiorem X wtedy i tylko wtedy, gdy ma tę samą liczbę n elementów.
Pojęcie równoliczności zbiorów skończonych pokrywa się więc z elementarnym pojęciem
równej liczby elementów tych zbiorów ([3] , str. 52).
Przykład 1.2.
a)
Zbiory liczb naturalnych i liczb parzystych są równoliczne.
Liczby naturalne
1
2
3
4
5
...
Liczby parzyste
2
4
6
8
10
...
Zbiory liczb naturalnych i liczb parzystych są nieskończone. Oczywiście zbiór liczb
parzystych jest właściwym podzbiorem zbioru liczb naturalnych N. Mimo to, funkcja
f (n) = 2n , dla kaŜdej liczby naturalnej n, jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem
zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb parzystych, co teraz udowodnię.
Dowód.
I. RóŜnowartościowość.
Weźmy dowolne liczby naturalne x i y oraz załóŜmy, Ŝe f ( x) = f ( y ) . Wówczas
f ( x) = 2 x i f ( y ) = 2 y . Skoro załoŜyliśmy, Ŝe f ( x) = f ( y ) , to 2 x = 2 y , a stąd x = y , co
dowodzi tego, Ŝe funkcja f jest róŜnowartościowa.
-7-
II. „Na” .
Weźmy dowolną liczbę naturalną parzystą y . Szukamy liczby naturalnej x takiej, Ŝeby
f ( x) = y . Mamy zatem, Ŝe 2 x = y , x =
y
∈ N . Zatem pokazaliśmy, Ŝe dla kaŜdej liczby
2
naturalnej parzystej istnieje liczna naturalna x , taka, Ŝe y = f ( x)
Na podstawie I i II funkcja f jest bijekcją więc ustala równoliczność tych zbiorów.
b)
Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb nieparzystych są równoliczne.
Funkcja f (n) = 2n + 1 , dla n ∈ N ∪ {0}, jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem
zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb nieparzystych. Funkcja ta ustala więc
równoliczność tych zbiorów.
Przykład 1.3. Zbiory liczb naturalnych i liczb całkowitych są równoliczne.
Liczby naturalne
1
2
3
4
5
6
7
...
Liczby całkowite
0
1
-1
2
-2
3
-3
...
−
Funkcja:
f ( x) =
1
1
x+
2
2
1
x
2
dla
x ∈ 2N + 1
dla
x ∈ 2N
jest bijekcją odwzorowującą zbiór liczb całkowitych na zbiór liczb naturalnych.
Dowód.
I. RóŜnowartościowość.
Niech x1, x2 ∈N. ZałóŜmy, Ŝe x1 ≠ x2 i przypuśćmy, Ŝe f ( x1 ) = f ( x2 ) . RozwaŜmy trzy
przypadki:
-8-
(i)
x1=2n+1, x2=2m+1, dla n, m∈N ∪ {0}. Z załoŜenia mamy, Ŝe x1 ≠ x2, stąd
2n+1 ≠ 2m+1, czyli 2n ≠ 2m, a zatem n ≠ m. Z określenia funkcji mamy,
1
1
Ŝe f ( x1 ) =- (2n+1)+
2
2
f ( x1 ) = f ( x2 ) ,
zatem
oraz
f ( x2 ) =-
1
1
(2m+1)+ . Z załoŜenia mamy
2
2
1
1 1
1
- (2n+1)+ =- (2m+1)+ ,
2
2 2
2
czyli
2n+1=2m+1,
a z tego, Ŝe n=m a to jest sprzeczne z załoŜeniem.
(ii)
x1=2n+1, x2=2m, dla n∈N ∪ {0}, m∈N. Z określenia funkcji mamy, Ŝe
f ( x1 ) =-
1
1
1
(2n+1)+
oraz f ( x2 ) = ⋅ 2m . Z załoŜenia f ( x1 ) = f ( x2 ) , czyli
2
2
2
1
1 1
- (2n+1)+ = ⋅ 2m . Z tego –2n-1+1=2m, stąd –2n=2m, a zatem n= -m a to
2
2 2
oznacza, Ŝe n i m nie są jednocześnie liczbami naturalnymi więc dochodzimy
do sprzeczności.
(iii)
x1=2n, x2=2m, dla n, m∈ N. Z załoŜenia mamy, Ŝe x1 ≠ x2, stąd 2n ≠ 2m, a z tego
1
1
n ≠ m. Z określenia funkcji mamy, Ŝe f ( x1 ) = ⋅ 2n oraz f ( x2 ) = ⋅ 2m .
2
2
Z załoŜenia mamy f ( x1 ) = f ( x2 ) , czyli
1
1
⋅ 2n = ⋅ 2m . a z tego, Ŝe n=m a to
2
2
jest sprzeczne z załoŜeniem.
Na podstawie (i)-(iii) funkcja f jest róŜnowartościowa.
II. „Na”.
(i)
0 ∈ Z . Szukam x∈ N, takiego, Ŝeby f (x) =0. Niech f (x) =1
1
- x+ =0, a stąd x=1. Wskazałam x=1∈ N taki, Ŝe f (x) =0.
2
2
-9-
1
1
x+ , wtedy
2
2
(ii)
Niech b ∈ Z , b>0. Szukam x∈ N takiego, Ŝeby f (x) =b. Niech x=2n, n∈ N.
1
1
f (x) = x, wtedy x=b, a stąd x=2b∈ N.
2
2
1
f (2b) = ⋅ 2b =b.
2
(iii)
Niech b ∈ Z , b<0. Szukam x∈ N takiego, Ŝeby f (x) =b. Niech x=2n+1, n∈ N.
f (2n + 1) =-
1
1
1
1 1
(2n+1)+ =- ⋅ 2n - + =-n, wtedy -n=b, a stąd n=-b. Zatem
2
2
2
2 2
x=-2b+1 jest szukanym x∈ N.
f (−2b + 1) = -
1
1
1 1
(-2b+1)+ =b- + =b.
2
2
2 2
Na mocy (i)-(iii) funkcja f jest „na”.
Na podstawie I i II funkcja f jest bijeckją zbioru Z na zbiór N, a to dowodzi tego, Ŝe te
zbiory są równoliczne.
- 10 -
Rozdział 2. Liczby kardynalne zbiorów, moce zbiorów
Twierdzenie 2.1. Relacja równoliczności jest relacją równowaŜności.
„Twierdzenie to pozwala rozklasyfikować zbiory ze względu na ich „moc”.
Prowadzi to do przeniesienia na zbiory nieskończone elementarnego pojęcia liczebności
zbioru.”4 Mianowicie mamy następującą definicję:
Definicja 2.1. KaŜdemu zbiorowi X jest przyporządkowana liczba kardynalna,
czyli jego moc, którą oznaczamy symbolem X , w taki sposób, Ŝe ta sama liczba
kardynalna przyporządkowana jest dwóm róŜnym zbiorom wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory
te są równoliczne ([3], str. 52).
Czyli A = B wtedy i tylko wtedy, gdy A ~ B.
Mocą zbioru pustego jest liczba zero, mocą niepustego zbioru n - elementowego
jest liczba naturalna n większa od zera ([2], str. 237).
Symbol X został wprowadzony przez Cantora. Podwójna kreska nad symbolem
zbioru miała w intencji Cantora oznaczać, Ŝe do pojęcia mocy zbioru dochodzi się
dokonując abstrakcji od jakości elementów zbioru i od ich uporządkowania. Moc zbioru
jest tą własnością, która nie ulegnie zmianie, jeśli elementy zbioru X zastąpi się wzajemnie
jednoznacznie przez elementy innego zbioru, a takŜe, gdy zmieni się uporządkowanie
elementów zbioru X ([2], str. 236).
Oprócz oznaczenia X w literaturze znajdziemy równieŜ card(X). Symbol ten
pochodzi od angielskiego słowa cardinality- liczba kardynalna, moc ([6], str. 121).
4
Moszner Z., Elementy teorii mnogości i topologii, Wyd. Naukowe WyŜszej Szkoły Pedagogicznej
w Krakowie, Kraków 1968, str.52.
- 11 -
Definicja 2.2.1. Moc zbioru liczb naturalnych to ‫א‬0, co zapisujemy symbolicznie:
N = ‫א‬0.
Na podstawie definicji 2.1. definicję tę moŜna sformułować następująco:
Definicja 2.2.2. Niech A będzie dowolnym zbiorem. A = ‫א‬0 wtedy i tylko wtedy,
gdy A ~ N ([2], str. 238).
Symbol ‫א‬0 oznacza więc moc kaŜdego zbioru, który jest równoliczny ze zborem liczb
naturalnych.
Z definicji 1.1. i definicji 2.1. wynika:
Twierdzenie 2.2.1. A = ‫א‬0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg nieskończony
o wyrazach nie powtarzających się, którego zbiór wyrazów równa się A ([2], str. 238).
Twierdzenie 2.2.1. formułuje się nieraz następująco:
Twierdzenie 2.2.2. A = ‫א‬0 wtedy i tylko wtedy, gdy elementy zbioru A „moŜna
ustawić” w ciąg nieskończony o wyrazach nie powtarzających się.
Przykład 2.1. Zbiory liczb parzystych, nieparzystych i całkowitych są mocy ‫א‬0.
Fakt ten wynika z twierdzenia 2.2 i przykładów podanych w rozdziale 1 (Przykład 1.2a,
1.2b, 1.3).
Przykład 2.2. Zbiór Q liczb wymiernych jest mocy ‫א‬0.
Przypomnijmy, Ŝe liczba w jest wymierna, jeśli w=
m
dla pewnej liczby całkowitej m i dla
n
pewnej liczby naturalnej n. Najpierw udowodnię, Ŝe zbiór wszystkich liczb wymiernych
- 12 -
dodatnich jest mocy ‫א‬0. Zapiszmy wszystkie liczby wymierne dodatnie w tablicy według
zasady: w pierwszym wierszu umieszczamy w porządku malejącym liczby wymierne
o liczniku 1, w drugim- kolejne liczby wymierne o liczniku 2 itd. (Tablica 2.1.).
Tablica 2.1.
Wyliczanie liczb wymiernych dodatnich rozpoczynamy od
1
i posuwamy się zgodnie
1
z kierunkiem strzałek opuszczając wyliczone juŜ wcześniej liczby (zaznaczone
w przekreślonych kółkach). Mamy więc:
1 1 2 3 1 1 2 3 4 5 1
, , , , , , , , , , ,...
1 2 1 1 3 4 3 2 1 1 5
W ten sposób uwzględnimy wszystkie liczby wymierne dodatnie, a kaŜdą z nich
policzymy dokładnie raz. MoŜna więc wszystkie liczby wymierne dodatnie ustawić
w nieskończony ciąg o wyrazach nie powtarzających się. Oznaczamy przez w1, w2, w3, ...
wszystkie liczby wymierne dodatnie. Aby teraz otrzymać ciąg składający się z wszystkich
liczb wymiernych, wystarczy wziąć ciąg następujący:
0
w1
-w1
w2
-w2
w3
-w3, ...
W ten sposób pokazaliśmy, Ŝe wszystkie liczby wymierne moŜna ustawić w ciąg
nieskończony o wyrazach nie powtarzających się więc na podstawie twierdzenia 2.2. zbiór
liczb wymiernych jest mocy ‫א‬0.
- 13 -
Rozdział 3. Zbiory przeliczalne
Definicja 3.1. Zbiory mocy ‫א‬0 nazywamy przeliczalnymi.
Zbiory przeliczalne lub skończone nazywamy co najwyŜej przeliczalnymi ([4], str. 65).
Uwaga 3.1. Zbiór co najwyŜej przeliczalny charakteryzuje się tym, Ŝe jest pusty lub
jego elementy moŜna ułoŜyć w ciąg (skończony lub nie), a zbiór przeliczalny tym, Ŝe jego
elementy moŜna ustawić w ciąg o nieskończenie wielu wyrazach róŜnych ([4], str. 65).
Wynika stąd następujące twierdzenie:
Twierdzenie 3.1. Suma A ∪ B zbiorów przeliczalnych A i B jest zbiorem
przeliczalnym ([2], str.239).
Dowód. Jeśli jeden ze zbiorów jest pusty, twierdzenie wynika ze wzoru A ∪ φ =A.
Jeśli zbiory A i B są niepustymi zbiorami przeliczalnymi to w myśl uwagi 3.1 elementy
zbioru A moŜna ustawić w ciąg nieskończony a1, a2, ..., an, .... ,elementy zbioru B- w ciąg
b1, b2, ..., bn, .... Tworzymy ciąg a1, b1, a2, b2, ..., an , bn, ...., który jest przeliczalny a jego
wyrazy stanowią zbiór A ∪ B.
Twierdzenie 3.2. Iloczyn kartezjański dwóch (lub ogólniej: skończonej liczby)
zbiorów przeliczalnych jest przeliczalny ([3], str. 54).
Dowód. Udowodnię, Ŝe zbiór par <m, n>, gdzie n i m są to liczby naturalne, jest
przeliczalny. NaleŜy więc elementy tego zbioru ustawić w ciąg. W tym celu przyjmujemy
następująca regułę: z dwóch par <m, n> i <m’, n’> tę uwaŜamy za wcześniejszą, która ma
sumę elementów mniejszą; jeśli zaś m+n=m’+n’, to wcześniejsza jest para o mniejszym
poprzedniku. A zatem ciąg ten przedstawia się następująco:
- 14 -
<1,1>, <1,2>, <2,1>, <1,3>, <2,2>, <3,1>,<1,4>,...
Stąd juŜ moŜemy wywnioskować, Ŝe mając dwa dowolne ciągi nieskończone a1, a2, ..., am,
....
b1, b2, ..., bn, .... moŜna ustawić w ciąg nieskończony wszystkich par <am, bn>.
Twierdzenie to moŜemy udowodnić wykorzystując metodę przekątniową. KaŜdą z par
<m,n> moŜemy ustawić w tabeli traktując m jako licznik a n jako mianownik. Wtedy
pokazalibyśmy, Ŝe iloczyn kartezjański dwóch zbiorów jest mocy ‫א‬0, a na podstawie
definicji 3.3. będziemy mieli, Ŝe będzie on przeliczalny.
- 15 -
Rozdział 4. Arytmetyka licz kardynalnych
Zdefiniujemy dodawanie, mnoŜenie i potęgowanie liczb kardynalnych. Dla
oznaczenia tych działań zachowujemy oznaczenia i terminologię arytmetyki liczb
zwykłych.
Definicja 4.1. Dla dowolnych zbiorów X i Y
a) X ∩ Y = φ ⇒ ( X +Y = X ∪ Y ),
b) X ·Y = X × Y ,
c) Y
X
=( Y X ).
Sumą mocy zbiorów rozłącznych jest więc moc sumy tych zbiorów, iloczynem – moc
iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów. Potęga, której podstawą jest moc zbioru Y,
wykładnikiem moc zbioru X jest równa mocy zbioru wszystkich odwzorowań zbioru
X w zbiór Y ([7], str. 182).
Przykład 4.1. Zbiory {1,2,3} i {4,5,6,7} są oczywiście rozłączne. Sumą tych
zbiorów jest zbiór {1,2,3,4,5,6,7}.
Prawdziwe są wzory : {1,2,3} =3,
{4,5,6,7} =4, {1,2,3,4,5,6,7} =7.
W myśl definicji 4.1.a mamy, Ŝe 3+4=7
Przykład ten wskazuje, Ŝe dodawanie liczb naturalnych jest szczególnym
przypadkiem dodawania liczb kardynalnych. ZałoŜenie, Ŝe X ∩ Y= φ jest istotne, na co
wskazuje następujący przykład:
Przykład 4.2. Prawdziwy jest wzór {1,2,3} = {3,4,5} =3. Mocą sumy zbiorów
{1,2,3} i {3,4,5} jest jednak 5 a nie 6.
- 16 -
Przykład 4.3. Dane są zbiory {1,2} i {1,2,3}. Iloczynem kartezjańskim tych
zbiorów jest zbiór par uporządkowanych:
{<1,1>, <1,2>, <1,3>, <2,1>, <2,2>, <2,3>}.
Ponadto {1,2, } =2 oraz {1,2,3} =3.
W myśl definicji 4.1.b iloczynem mocy zbiorów {1,2} i {1,2,3} jest moc zbioru
{<1,1>, <1,2>, <1,3>, <2,1>, <2,2>, <2,3>}, czyli 2·3=6.
Widzimy, Ŝe równieŜ mnoŜenie liczb naturalnych jest szczególnym przypadkiem
mnoŜenia liczb kardynalnych.
Przykład 4.4. Niech X={1,2,3} i Y={1,2}. Jeśli funkcja f ⊂ Y X , to ciąg f (1) , f (2) ,
f (3) jest równy jednemu z następujących ośmiu ciągów:
1,1,1; 1,1,2; 1,2,1; 1,2,2; 2,1,1; 2,1,2; 2,2,1; 2,2,2.
W myśl definicji 4.1.c
Y
X
=2 3 =8.
Przykład ten wskazuje, Ŝe potęgowanie liczb naturalnych jest szczególnym
przypadkiem potęgowania liczb kardynalnych.
Z dotychczasowych rozwaŜań wynika, Ŝe arytmetyka liczb naturalnych jest częścią
arytmetyki liczb kardynalnych. Pojęcia arytmetyki liczb naturalnych mogą być
zdefiniowane za pomocą pojęć teorii mnogości. PoniewaŜ pojęcia arytmetyki liczb
całkowitych, naturalnych i rzeczywistych mogą być zdefiniowane za pomocą pojęć
arytmetyki liczb naturalnych, której twierdzenia mogą teŜ stanowić podstawę dowodów
twierdzeń arytmetyki kaŜdego z wymienionych rodzajów liczb, znaczenie teorii mnogości
dla całej matematyki jest wiodące ([7], str. 183).
- 17 -
Twierdzenia, które teraz podamy, nie mają swoich odpowiedników w arytmetyce
liczb naturalnych. Są to podstawowe twierdzenia dotyczące zbiorów mocy alef zero;
podajemy je bez dowodów.
Twierdzenie 4.1.
‫א‬0 + 1 = ‫א‬0.
Twierdzenie 4.2.
‫א‬0 + n = ‫א‬0, dla dowolnej liczby naturalnej n.
Twierdzenie 4.3.
‫א‬0 + ‫א‬0 = ‫א‬0.
Twierdzenie 4.3.
‫א‬0 · n= ‫א‬0, dla dowolnej liczby naturalnej n.
Twierdzenie 4.4.
‫א‬0 · ‫א‬0 = ‫א‬0.
- 18 -
Literatura
[1] Aczel A. D., Tajemnica Alefów. Matematyka, kabała i poszukiwania nieskończoności,
Dom wydawniczy REBIS, Poznań 2002.
[2] Borkowski L., Wprowadzenie do logiki i teorii mnogości, Towarzystwo Naukowe
Katolickiego Uniwersytetu Lubelskiego, Lublin 1991.
[3] Kuratowski K., Wstęp do teorii mnogości i topologii, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa
2004.
[4] Moszner Z., Elementy teorii mnogości i topologii, Wyd. Naukowe WyŜszej Szkoły
Pedagogicznej w Krakowie, Kraków 1968.
[5] Murawski R., Filozofia Matematyki. Zarys Dziejów, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa
2001.
[6] Murawski R, Świdrydowicz K., Wstęp do teorii mnogości, Wyd. Naukowe UAM,
Poznań 2005.
[7] Słupecki J., Hałkowska K., Piróg-Rzepecka K., Logika i teoria mnogości, Wyd.
Naukowe PWN, Warszawa 1978.
- 19 -