Ruch okresowy - Instytut Fizyki

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I
10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)
 Siły oporu (tarcia) są zwykle proporcjonalne do prędkości ciała*:


dx

Foporu  rv  r
dt
 Oscylator mechaniczny w obecności sił tarcia (tłumienie):
ma  rv  kx
 Obwód RLC (opór R odpowiada za tłumienie):
dI
q
L  RI   0
dt
C
* A przedtem było (patrz wykład 3.), że do kwadratu prędkości! Nieoduczeni ci
wykładowcy, albo kłamią na wykładach…
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)
 Ogólne równanie drgań tłumionych (straty energii na oporze ośrodka,
proporcjonalne do pierwszej pochodnej zmiany położenia, czyli prędkości):
x  2x   x  0
2
0
Dla oscylatora mechanicznego:
r

2m
k
0 
m
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)
 Ogólne rozwiązanie
szczególnych:
w
postaci
kombinacji
liniowej
rozwiązań
xt   N1 x1 t   N 2 x2 t 
gdzie:


x1,2 t   A1,2 exp        t
2
2
0
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)


x1,2 t   A1,2 exp        t
2
2
0
Rodzaje rozwiązań:
1) dla   0 oba pierwiastki są
rzeczywiste i ujemne, więc rozwiązaniem
jest aperiodyczne, wykładnicze malenie
x od A do zera;
2
2
2) dla   0 występuje tzw. tłumienie krytyczne – jest to minimalna
wartość tłumienia, przy której ruch jest aperiodyczny;
2
2
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)


x1,2 t   A1,2 exp     2  02  t
Rodzaje rozwiązań:
3) dla   0 mamy drgania gasnące – oscylacje o zanikającej
amplitudzie:
2
2
x1, 2  A0 exp t  exp it 
  02   2
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)
 Ograniczając się do jednego rozwiązania (znak „plus” przy fazie) i pisząc
rozwiązanie w postaci funkcji harmonicznej:
xt   A0 exp t sin t  0 
At   A0 exp t 
nazywamy amplitudą drgań gasnących;
r

2m
to współczynnik tłumienia;
  02   2
to częstość własna drgań układu tłumionego;
0 
k
m
to częstość drgań swobodnych układu;
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)
xt   A0 exp t sin t  0 
 Drgania gasnące są drganiami nieokreślonymi – nigdy nie powtarzają się
największe wartości wychylenia, prędkości, przyspieszenia. Dlatego tylko umownie
można nazwać  częstością kątową – w tym sensie, że wskazuje ona, ile razy w
ciągu  sekund drgający układ przechodzi przez położenie równowagi!
 Podobnie:
T
2


2
02   2
nazwiemy umownym okresem drgań gasnących.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)
 Współczynnik tłumienia  mówi nam o stosunku kolejnych amplitud
drgań gasnących:
An
 expT 
An1
 Logarytm naturalny stosunku amplitud dwóch kolejnych wychyleń,
następujących po sobie w odstępie czasu T (umownego okresu) nazywamy
logarytmicznym dekrementem tłumienia :
An
  ln
 T
An1
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DRGANIA TŁUMIONE (GASNĄCE)
 Oznaczmy przez  odstęp czasu, w ciągu którego amplituda drgań
zmniejszy się e-krotnie. Wtedy:
  1
albo:
 1 
czyli: współczynnik tłumienia  jest wielkością fizyczną równą
odwrotności odstępu czasu , w ciągu którego amplituda zmniejsza się
e-razy. Czas  nazywamy czasem relaksacji.
 Podobnie: gdy przez N oznaczymy liczbę drgań, po wykonaniu których
amplituda zmaleje e-razy, okaże się, że:
1

N
czyli: dekrement logarytmiczny tłumienia  jest wielkością równą
odwrotności liczby drgań, po upływie których amplituda zmniejszy się
e-razy.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DRGANIA WYMUSZONE
 Oprócz siły sprężystej i siły oporu, działamy na układ dodatkową siłą –
okresową siłą wymuszającą F:
F t   F0 cost 
 Ogólne równanie ruchu oscylatora mechanicznego przybiera wtedy
postać:
2
d x
dx
m 2  r  kx  F0 cost 
dt
dt
Jest to równanie różniczkowe niejednorodne.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DRGANIA WYMUSZONE
d 2x
dx
m 2  r  kx  F0 cost 
dt
dt
 Spodziewamy się rozwiązania powyższego równania różniczkowego w
postaci drgania harmonicznego z częstością , równą częstości siły
wymuszającej F, ale amplituda tych drgań powinna „zawierać informacje” o
masie m, tłumieniu  i wielkości siły wymuszającej F0 a także częstości
własnej układu 0:
xt   A sin t  0 
m

F0
0
?
0 ?
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DRGANIA WYMUSZONE
 Można pokazać, że:
A
F0
m   
2
0

2 2
 4 2 2
Amplituda A ustalonych drgań wymuszonych jest wprost proporcjonalna do
amplitudy siły wymuszającej F0 i odwrotnie proporcjonalna do masy m
układu oraz zmniejsza się wraz ze wzrostem współczynnika tłumienia .
 „Faza początkowa” ma teraz sens różnicy faz między amplitudą drgań
wymuszonych A i amplitudą siły wymuszającej F0 – ściślej: ponieważ
użyliśmy funkcji „cosinus” do opisu siły wymuszającej i funkcji „sinus” do
opisu drgania x(t), to szukaną różnicą faz będzie:
  0   2
2
tan    2
0   2
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DRGANIA WYMUSZONE
 Analizując wyrażenie na amplitudę drgań wymuszonych:
A
F0
m   
2
0

2 2
 4 2 2
możemy zauważyć, że w przypadku braku tłumienia (=0), gdy
częstość  siły wymuszającej F równa jest częstości drgań własnych
układu 0, amplituda ta rośnie do nieskończoności!
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DRGANIA WYMUSZONE
 Natomiast w obecności tłumienia 0, maksimum wyrażenia na
amplitudę A uzyskamy dla:
  02  2 2
Zjawisko to nazywamy
rezonansem.
Ale co to jest rezonans?
Niedobry wykładowca nie podał
definicji, żeby ją na ściądze
zapisać…
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DRGANIA WYMUSZONE
 Przykład obwodu elektrycznego: siła elektromotoryczna, wymuszająca
drgania, jest równa:
E t   0 expit 
Wtedy: równanie opisujące ruch ładunku elektrycznego w obwodzie (=
prąd elektryczny!):
2
L
d q
dq q

R
  0 expit 
2
dt
dt C
Rozwiązanie ogólne w postaci:
q  q0 expit   
gdzie:
q0 
0
L 02  

2 2
R

  
 L
2
R / L
tg   2
0   2