Półgrupy kontrakcji w przestrzeniach Banacha Procesy

Półgrupy kontrakcji w przestrzeniach Banacha
Procesy Stochastyczne, wykład 9, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka
MAP1136
16 kwiecień, 2012
Półgrupy kontrakcji
Generator półgrupy
Definicja. (Tt )t≥0 - mocno ciągła półgrupa kontrakcji na X,
X - rzeczywista p. Banacha, gdy Tt ∈ L(X), T0 = I oraz
||Tt || ≤ 1 dla każdego t ≥ 0;
Tt Ts = Tt+s dla wszystkich t, s > 0;
limt→0+ ||Tt x − x|| = 0, dla wszystkich x ∈ X.
Definicja. Ux = limt→0+
Tt x−x
,
t
x ∈ DU , U - generator (Tt ),
DU - dziedzina. x ∈ DU ⇔ granica definiująca U istn. (w normie).
U jest liniowy na DU , które jest podprzestrzenią liniową X. U odpowiednik macierzy G (przyp. skończenie wym.)
Tw. 1. x ∈ DU ⇒ Tt x ∈ DU , t > 0 oraz zachodzi
d
(Tt x) = U(Tt x) = Tt (Ux), t > 0
dt
Półgrupy kontrakcji
Generator półgrupy c. d.
Dowód Tw. 1.
Pochodna w sensie zbieżności w normie. Dla h > 0
Tt+h x − Tt x
Th − I
Th x − x
= Tt ·
=
· Tt x;
h
h
h
granica drugiego wyrażenia istnieje i równa się Tt (Ux). Granica
trzeciego - też istnieje i zachodzi wzór, dla prawostr. pochodnej.
Podobnie lewostr. pochodna w t > 0: gdy h < 0, ale t + h > 0, to
||
T(−h) x − x
Tt+h x − Tt x
− Tt Ux|| = ||Tt+h [
− T(−h) Ux]|
h
(−h)
≤ ||
T(−h) x − x
T(−h) x − x
− T(−h) Ux|| ≤ ||
− Ux||
(−h)
(−h)
h→0
+||Ux − T(−h) Ux|| → 0 .
Półgrupy kontrakcji
Generator półgrupy c. d.
Lemat 1. DU - dziedzina U - gęsta w X, U - domknięty na DU .
Dowód. Dla t > 0 i x ∈ X zachodzi: y =
Rt
0
Tu xdu ∈ DU :
Z
Z t
1 t
[
Tu+h xdu −
Tu xdu] =
h 0
0
Z
Z t
Z
Z t+h Z h Z t
1 t
1 t+h
[
Tu xdu −
Tu xdu] = [
... +
−
−
].
h h
h h
0
t
0
h
1
[Th y − y ] =
h
Po uproszczeniu zewnętrznych całek otrzymujemy zbieżność do
Tt x − x, gdy h → 0. Z ciągłości Tt : Tu x → x dla u → 0 czyli
1
t y → x, gdy t → 0, więc DU - gęsta w X. Z Tw. 1, gdy x ∈ DU ,
d
to Tt x ∈ DU oraz dt
Tt x = Tt Ux więc, dla 0 ≤ s < t < ∞
zachodzi
Z t
[Tt − Ts ]x =
Tu Uxdu .
s
Półgrupy kontrakcji
Generator półgrupy, rezolwenta
Niech xn ∈ DU , lim xn = x0 i lim Uxn = y0 . Wtedy
Z t
Z t
Tt x0 − x0 = lim(Tt xn − xn ) = lim
Tu Uxn du =
Tu y0 du ,
0
0
na mocy zbieżności jednostajnej Tu Uxn do Tu y0 , na odcinku [0, t].
Stad
1
lim+ [Tt x0 − x0 ] = y0 = Ux0 ,
t→0 t
więc generator U ma wykres domknięty.
Wniosek.
Jeśli DU = X to U ciągły więc ograniczony.
Dowód. Dowód wynika z twierdzenia o wykresie domkniętym.
R∞
Definicja. Rλ x = 0 e −λt Tt xdt -rezolwenta półgrupy (Tt ).
R∞
Rλ - operator ograniczony: ||Rλ x|| ≤ 0 e −λt dt||x|| = ||x||
λ .
Półgrupy kontrakcji
Rezolwenta półgrupy (Tt )
Uwaga. Gdy Tt = exp(tU) i U - ograniczony, to dla dużych λ
Z ∞
−1
Rλ =
exp(t(U−λI ))dt = exp(t(U−λI ))(U−λI )−1 |∞
0 = (λI −U) .
0
Istotnie, λI − U = λ(I − U/λ) więc ||I − (I − U/λ)|| = ||U||/λ < 1,
gdy λ - odp. duże, więc λI − U - odwracalny, dla odp. dużego
λ > 0. Wzór Rλ = (U − λI )−1 zachodzi w ogólnym przypadku.
Tw. 2. U - gener. półgrupy (Tt ). Odwz. (λI − U) : DU −→ X
na
jest 1 − 1 i na, dla λ > 0; Rλ = (λI − U)−1 : X −→ DU .
Dowód Tw. 2. Zachodzi
Z ∞
Z ∞
Th Rλ y = Th
e −λt Tt y dt =
e −λt Tt+h y dt =
0
0
Z ∞
Z h
λh −λt
λh
λh
e e
Tt y dt = e Rλ y − e
e −λt Tt y dt .
0
h
Półgrupy kontrakcji
Rezolwenta półgrupy (Tt ) c. d.
Stąd
1
e λh − 1
e λh
[Th − I ]Rλ y =
Rλ y −
h
h
h
Z
h
e −λu Tu y du .
0
Gdy h → 0+ , otrzymujemy Rλ y ∈ DU oraz URλ y = λRλ y − y .
Stąd, x = Rλ y jest rozwiązaniem równania λx − Ux = y , dla dow.
y ∈ X więc λI − U odwzorowuje (obraz Rλ ) = Rλ X na całe X.
Dla λ > 0 i y ∈ X rozwiązanie λx − Ux = y jest jedyne:
Niech x1 , x2 ∈ DU będą rozw. λx − Ux = y . z = x1 − x2 spełnia
d
Tt z = Tt Uz
równanie λz = Uz. Z Tw. 1 mamy Tt z ∈ DU i dt
d
−λt
−λt
= λTt z, czyli dt (e
Tt z) = 0 więc e
Tt z jest stałe dla t ≥ 0.
Jednak limt→∞ e −λt Tt z = 0, limt→0+ e −λt Tt z = z, więc z = 0 =
x1 − x2 . Stąd λI − U jest 1 − 1 na DU i Rλ X ⊆ DU oraz λI − U
odwzorowuje Rλ X na całe X, więc Rλ X = DU . Oznacza to, że
Rλ = (λI − U)−1 odwzorowuje X na DU .
Półgrupy kontrakcji
Rezolwenta półgrupy (Tt ) c. d.
Wniosek. Dla każdego x ∈ X zachodzi limλ→∞ λRλ x = x .
Stąd też wynika, że DU jest gęste w X.
Dowód. Zachodzi
Z ∞
||x − λRλ x|| = ||x − λ
e −λt Tt xdt|| =
0
Z ∞
Z ∞
||
e −u (x − Tu/λ x)du|| ≤
e −u ||x − Tu/λ x||du −→ 0,
0
0
gdy λ → ∞, bo ||x = Tu/λ x|| → 0 a f-cja podcałkowa ogr. przez
2e −u ||x||. Z Tw. 2: Rλ X = DU więc udowodniony wzór daje, że
DU jest gęste w X.
Tw. 3. Generator wyznacza jednoznacznie półgrupę (Tt )
Półgrupy kontrakcji
Generator półgrupy (Tt ) c. d.
Dowód Tw. 3.
Niech U będzie generatorem półgrup (Tt ) i (St ). Z Tw. 2
Rλ = (λI − U)−1 więc obydwie półgrupy mają tę samą rezolwentę,
czyli
Z
∞
e −λt (Tt − St )xdt = 0 .
0
Nakładając dowolny funkcjonał liniowy x ∗ otrzymujemy
Z ∞
Z ∞
∗
−λt
x (
e
(Tt − St )xdt) =
e −λt x ∗ (Tt − St )xdt =
0
0
Z
=
∞
e −λt u(t)dt = 0 ,
0
x ∗ (Tt
gdzie u(t) =
− St )x jest funkcją ciągłą o transf. Laplace’a
równej 0. Z jednoznaczności transformaty Laplace’a u(t) ≡ 0. Z
dowolności x ∗ : Tt = St .
Półgrupy kontrakcji
Generator półgrupy (Tt ) c. d.
Tw. 4. (Tt ) - półgrupa o generatorze U, x ∈ DU . Wtedy
u(t) = Tt x - jedyne rozwiązanie r.r.
du
= Uu
dt
spełniające warunki:
(a) u(t) - różniczkowalne w sposób ciągły dla t > 0;
(b) ||u(t)|| ≤ C e mt , dla pewnych C , m;
(c) u(t) → x, gdy t → 0.
Dowód. Z Tw. 1, u(t) = Tt x spełnia pow. r.r. oraz warunek (a).
Jednocześnie ||u(t)|| = ||Tt x|| ≤ ||x||, więc zachodzi (b). Warunek
(c) wynika z mocnej ciągłości półgrupy (Tt ). Wystarczy więc
pokazać jedyność.
Półgrupy kontrakcji
Generator półgrupy (Tt ) c. d.
Jedyność rozwiązania. Niech u1 , u2 będą rozwiązaniami
spełniającymi (a) - (c). Połóżmy v (t) = u1 (t) − u2 (t). v spełnia
(a) i (b) oraz dąży do 0 gdy t → 0+ . Niech w (t) = e −λt v (t), dla
λ > m = max(m1 , m2 ). Otrzymujemy
d
w (t) = −λw (t) + e −λt Uv (t) = −e −λt (λI − U)v (t)
dt
d
więc w (t) = −Rλ dt
w (t). Całkując obydwie strony od 0 do s
otrzymujemy
Z s
Z s
d
w (t)dt = −Rλ
w (t)dt = −Rλ w (s)
0
0 dt
bo w (0) = 0 oraz Rλ komutuje z całką. Gdy s → ∞, lewa strona
dąży do transf. Laplace’a v , zaś prawa, na mocy (b) i wyboru λ,
dąży do 0. Tak więc, transf. Laplace’a znika dla λ > m, a zatem
v (t) ≡ 0.
Półgrupy kontrakcji
Generator półgrupy (Tt ) c. d.
Wniosek. Gdy generator U - ograniczony, to Tt = exp(tU).
Dowód. Gdy U jest ograniczony, to u(t) = exp(tU) spełnia r.r. z
Tw. 4 oraz (a) i (c). Także || exp(tU)|| ≤ exp(t||U||)||x||, co daje
(b). Z Tw. 4 otrzymujemy Tt x = exp(tU)x, dla każdego
x ∈ DU = X.
Tw. Hille-Yosida. U : DU −→ X - generator półgrupy (Tt )
gdzie (Tt ) - pewna półgrupa kontrakcji na X ⇔ U spełnia
następujące warunki:
DU jest gęsta w X;
dla dow. λ > 0 i dow. y ∈ X równanie λx − Ux = y posiada
jedyne rozwiązanie x ∈ DU ;
rozwiązanie x spełnia ||x|| ≤ ||y ||/λ.
Półgrupy kontrakcji