3. Dwie poziome tarcze wirują wokół pionowej osi przechodzącej

3. Dwie poziome tarcze wirują wokół pionowej osi przechodzącej przez ich środek. Momenty
bezwładności tarcz wynoszą I1 i I2 , a ich prędkości kątowe ω1 i ω2 . Po upadku tarczy górnej
na dolną obie tarcze (w wyniku działania sił tarcia) obracają się dalej jak jedno ciało.
Wyznaczyć:
a) prędkość kątową tarcz po złączeniu,
b) pracę W wykonaną przez siły tarcia.
I
II
ω1
ω
ω2
Rozwiązanie:
a) Korzystamy z prawa zachowania momentu pędu
Suma momentów pędu obu tarcz (przypadek I) jest równa momentowi pędu
obracającej się bryły po złączeniu tarcz II).
Przypomnienie: moment pędu w ruchu obrotowym
= Prawo zachowania momentu pedu
ଵ ଵ + ଶ ଶ = ଷ ଷ
Z równania (1) wyliczamy ଷ otrzymując
ଷ =
ଵ
ଵ + ଶ ଶ
ଷ
Dwie obrotowe bryły sztywne o momentach bezwładności względem tej samej osi obrotu po
połączniu są równe sumie składowych momentów bezwładności
ଷ = ଵ + ଶ
Ostatecznie:
ଷ =
ଵ
ଵ + ଶ ଶ
ଵ + ଶ
b) Dwie oddzielnie obracające się tarcze posiadają większą energię kinetyczną niż
złączone. Różnica ta została spożytkowana na wykonanie pracy przez siły tarcia
utrzymujące tarcze w bezruchu względem siebie – dzięki sile tarcia brak jest poślizgu.
Pracę sił tarcia możemy obliczyć odejmując od energii kinetycznej w I przypadku energię
kinetyczna w układzie złączonych tarcz – II przypadek:
= ௞ூ − ௞ூூ
௞ூ =
ଵ ଵଶ ଶ ଶଶ ଵ ଵଶ + ଶ ଶଶ
+
=
2
2
2
Natomiast:
௞ூூ
ଷ ଷଶ
=
2
Korzystając z wyniku poprzedniego podpunktu (obliczonej prędkości kontowej ଷ oraz ଷ )
otrzymujemy:
௞ூூ = I1 +I2 ଵ ଵ + ଶ ଶ ଶ ଵ ଵ + ଶ ଶ ଶ ଵଶ ଵଶ + 2ଵ ଶ ଵ ଶ + ଶଶ ଶଶ
=
=
2ଵ + ଶ ଶ
2ଵ + ଶ 2ଵ + ଶ Ponieważ od ௞ூ odejmujemy௞ூூ , więc musimy sprowadzić wyrażenia do wspólnego
mianownika. (mnożąc i dzieląc ௞ூ przez ଵ + ଶ ).
௞ூ = (ଵ ଵଶ + ଶ ଶଶ )(ଵ + ଶ ) ଵଶ ଵଶ + ଵ ଶ ଶଶ + ଵ ଶ ଵଶ + ଶଶ ଶଶ
=
2(ଵ + ଶ )
2(ଵ + ଶ )
Odejmując od tego wyrażenia – wyrażenie na ௞ூூ (zauważ, że w obu wyrażeniach człony
kwadratowe powtarzają się).
Otrzymujemy
௞ூ
−
௞ூூ
ଵ ଶ ଵଶ + ଶଶ − 2ଵ ଶ ଵ ଶ ଵ ଶ ଵଶ − 2ଵ ଶ + ଶଶ =
=
2ଵ + ଶ 2ଵ + ଶ Wyrażenie w liczniku to kwadrat różnicy − ଶ = ଶ − 2 + ଶ
Ostatecznie
= ௞ூ − ௞ூூ =
ଵ ଶ ଵ − ଶ ଶ
2ଵ + ଶ