Zadania przygotowawcze do Olimpiady Matematycznej, 1

Zadania przygotowawcze do Olimpiady Matematycznej, 1
Zad. 1. Rozwiązać w liczbach całkowitych układ równań
a3 + 3ab2 + 3ac2 − 6abc = 1
b3 + 3ba2 + 3bc2 − 6abc = 1
c3 + 3ca2 + 3cb2 − 6abc = 1.
Zad. 2. Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Wykazać, że równanie
x+y+
1 1
+ = 3n,
x y
nie posiada rozwiązań w dodatnich liczbach wymiernych.
Zad. 3. Niech x, y, z będą liczbami dodatnimi takimi, że xyz = 1. Wykazać, że
r
r r
y
z
x
(1 + x)(1 + y)(1 + z) > 2 1 + 3 + 3 + 3
.
x
y
z
Zad. 4. Dana jest kwadratowa tablica o parzystej liczbe wierszy. W pewnej komórce wpisana jest liczba (−1), w pozostałych komórkach liczby (+1). Wykonując ruch możemy
zmienić zawartość komórki zawierającej (−1) na 0 i jednocześnie pomonożyć zawartość
wszystkich sąsiednich komórek przez (−1) (sąsiednimi są komórki mające wspólny bok).
Wykazać, że wykonując opisane ruchy nie można uzyskać tabeli zawierającej same zera.
Zad. 5. Znajdź wszystkie zbiory X składające się z co najmniej dwóch liczb całkowitych dodatnich, takie, że jeśli m, n ∈ X, to istnieje k ∈ X takie, że n = mk 2 .
Zad. 6. Rozstrzygnij, czy istnieje nieskończony ciąg liczb pierwszych p1 , p2 , p3 , ... taki,
że |pn+1 − 2pn | = 1 dla wszystkich n ∈ N.
Zad. 7. Znajdź trzy różne wielomiany P (x) o współczynnikach całkowitych takie, że
P (x2 + 1) = P 2 (x) + 1 dla każdego x ∈ R.
Zad. 8. Dane są liczby rzeczywiste a1 , a2 , ..., a59 należące do przedziału h−2, 17i takie,
że a1 + a2 + ... + a59 = 0. Pokazać, że
a21 + a22 + ... + a259 6 2006.
Zad. 9. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie n takie, że 3n + 1 jest podzielne
przez n2 .
Zad. 10. Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią równą sumie swoich dzielników właściwych i liczby tych dzielników. Wykazać, że połowa liczby n jest kwadratem liczby całkowitej.
(mr)