Spinorowy model Bosego-Hubbarda na dwuwymiarowej sieci

Uniwersytet Jagielloński
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej
Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego
Spinorowy model Bosego-Hubbarda na
dwuwymiarowej sieci optycznej
z nieporządkiem
Autor:
Mateusz Łącki
Praca magisterska wykonana pod kierunkiem
prof. dr. hab. Jakuba Zakrzewskiego
Kraków, 2010
Spis treści
1 Wstęp
1.1 Oddziałujące zimne gazy kwantowe, rozpraszanie . . . . . . . . .
1.1.1 Potencjał oddziaływania a długość rozpraszania . . . . . .
1.1.2 Część nadciekła [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Część skondensowana [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Ściśliwość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Sieci optyczne [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Model Bosego-Hubbarda jako ”model ciasnego wiązania” [1], [2] .
1.3.1 Działanie operatorów ai w bazie |S, m, ni . . . . . . . . .
1.3.2 Część nadciekła w modelu Bosego-Hubbarda . . . . . . .
1.3.3 Część skondensowana w modelu Bosego-Hubbarda . . . .
1.4 Diagram fazowy spinorowego modelu Bosego-Hubbarda w zerowej temperaturze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Izolator Motta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Faza nadciekła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Szkło Bosego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Diagram fazowy dla J = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Metoda Gutzwillera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
2
2
3
3
4
5
6
6
7
8
9
9
9
10
2 Różne rodzaje nieporządku w spinorowym modelu Bosego-Hubbarda 11
2.1 O nieporządku słów kilka... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Przypadek J = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Nieporządek w µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Nieporządek w U2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Podsumowanie i wnioski
14
A Elementy macierzowe operatorów ai w bazie |S, m, ni
16
1
1.1
Wstęp
Oddziałujące zimne gazy kwantowe, rozpraszanie
Teoria rozpraszania dostarcza metod analizy równania Schrödongera w sytuacji,
gdy oddziałują ze sobą dwie cząstki o masie m powiązane potencjałem oddziaływania V̂ (r1 −r2 ). W układzie środka masy, poszukiwaną funkcję falową można
wyrazić w przybliżeniu jako:
e
~
ψ~k (~r) ∼ eik·~r + f (|~k|, ~n, ~n′ )
ikr
,
(1)
r
gdzie ~n jest kierunkiem padania cząstki, a ~n′ kierunkiem obserwacji.
Niech
2
~
b oznacza zasięg oddziaływania potencjału V . Dla niskich energii E ≪ 2m~r b2
rozpraszana fala jest sferyczna:
~
ψ~k (~r) ∼ eik·~r + f (|~k|)
1
eikr
.
r
(2)
~ jest sferycznie symetryczny, możemy wykorzystać rozwinięcie w fale
Gdy V
parcjalne funkcji falowej:
ψ~k (~r) ∼
∞
1 X
(2l + 1)Pl (cos θ)((−1)l+1 e−ikr + e2iδl eikr ).
2i|~k|r
(3)
l=0
Czynniki fazowe e2iδl wyrażają zmianę fazy fali wychodzącej z centrum rozpraszania.
Przekroje czynne na niskoenergetyczne rozpraszanie bozonów z poszczególnymi momentami pędu l dane są przez:
0
l>0
lim σl (k) =
(4)
8πa2 w.p.p.
k→0
gdzie a jest długością rozpraszania zdefiniowaną jako:
a = − lim
k→0
1.1.1
tg δ0 (k)
.
k
(5)
Potencjał oddziaływania a długość rozpraszania
W przypadku gazu rzadkiego (n|a|3 ≪ 1, tutaj n jest gęstością — liczbą cząstek na jednostkę objętości), można powiązać rozpraszanie z efektywnym oddziaływaniem. Okazuje się, że zmiana energii cząstki rozpraszanej na skutek
pojedynczego rozpraszania wynosi w przypadku bozonów:
8π~2 an
+ o(n).
(6)
M
Charakter oddziaływania zależy jedynie od znaku długości rozpraszania a. Siła
oddziaływania zależy od |a| — parametrem tym można sterować w eksperymencie przy pomocy rezonansu Feshbacha.
Warto rozpatrzyć szczególny przypadek potencjału kontaktowego:
U=
V̂ (~r) = gδ 3 (~r).
(7)
W tym przypadku mamy następujący związek długości rozpraszania i stałej g :
a=
1.1.2
gM
.
4π~2
(8)
Część nadciekła [6]
Nadciekłość to zjawisko występujące w płynach - lepkość płynu staje się równa zeru, a ciecz nie wykazuje oporu przed ścinaniem tnącym — odpowiednia
składowa tensora naprężenia jest równa zero. W przypadku gazów kwantowych,
mamy do czynienia z częściowym zjawiskiem nadciekłości - układ zachowuje się
tak jakby część cząstek była w stanie nadciekłym, a część była płynem klasycznym.
Nadciekłość rozumiana jest jako odpowiedź na ruch granic ośrodka w którym
znajduje się strumień płynu, który badamy pod kątem nadciekłości. Jeśli te
granice poruszają się z prędkością ~v , to możemy opisać taki układ przy pomocy
hamiltonianu:
2
H′ =
X (P̂i − mv)2
2m
i
+ Hint ,
(9)
gdzie Hint opisuje wszelkie oddziaływania niekinetyczne cząstek. Zmiana pędu
płynu w wyniku ruchu granic ośrodka jest równa:
fN hn̂im~v = hP~ iv =
Tr[P ρv ]
,
Tr[ρv ]
(10)
gdzie fN ∈ [0, 1] to część płynu, który stanowi płyn klasyczny, n̂ jest operatorem liczby cząstek. Część nadciekłą definiujemy jako: fs = 1 − fN . Za [6]
otrzymujemy, że:
1
∆Fv
= mv 2 fs .
hn̂i
2
(11)
2(Ev − E0 )
.
hn̂imv 2
(12)
Ponieważ pracujemy w T = 0, wobec definicji energii swobodnej Helmholtza
F = U − T S, otrzymujemy, że:
fs =
1.1.3
Część skondensowana [7]
Kondensat Bosego-Einsteina opisany jest poprzez prawa fizyki statystycznej dla
bozonowych układów kwantowych. Kondensacja polega na występowaniu makroskopowego obsadzenia stanu o minimalnej energii — jeśli przez n0 oznaczymy
n0
powinno być odpowiednio duże.
obsadzenie stanu podstawowego układu, to hn̂i
Możemy więc zdefiniować część skondensowaną jako relatywne obsadzenie
stanu makroskopowego:
n0
.
hn̂i
fc =
1.1.4
(13)
Ściśliwość
Podstawową definicją ściśliwości izotermicznej jest:
1 ∂V
.
κ=−
V
∂p T,N
Ponieważ V ρ = N, mamy, że:
−ρ
κ=
N
∂ Nρ
∂p
!
T,N
= −ρ
∂ρ
∂p
T,N
= −ρ
∂ρ ∂µ
∂µ ∂p
Ostatnia równość pochodzi z relacji Gibbsa-Duhema:
0 = SdT + V dp − N dµ,
0=
S
dT + dp − ρdµ,
N
3
=
T,N
∂ρ
∂µ
T
.
(14)
skąd (fakt ustalonego N nie jest istotny w tym kroku):
1
∂µ
=− .
∂p
ρ
Sciśliwość posłuży od odróżnienia fazy szkła Bosego od fazy nadciekłej.
1.2
Sieci optyczne [4]
P
p)2
Atom o masie m ma hamiltonian postaci HA = (~
i ωi |ei ihei |, gdzie |ei i są
2m +
wewnętrznymi stanami atomu. Umieścimy atom w zewnętrznym polu elektrycz~ x, t) = E(~x, t)~ǫ exp(−iωt), którego amplituda słabo zależy od położenia
nym, E(~
w porównaniu do rozmiarów atomu, a także zależność od czasu jest mała w porównaniu do ω1 . Przy tych założeniach oddziaływanie z polem elektrycznym
jest dobrze opisane przy pomocy przybliżenia dipolowego, którego hamiltonian
~ ~
oddziaływania wyraża się przez: Ĥdip = −dˆ · Ê. Związany z nim jest efekt
Starka (rozdział 3.5.3, [3]), który powoduje, że efektywnym hamiltonianem jest
hamiltonian cząstki o masie m w potencjale optycznym V (x) ∼ h|E(x, t)|2 it .
Stałą proporcjonalności można oszacować rozpatrując układ dwupoziomowy —
stan metastabilny |ai, najbardziej adekwatny do opisu stan wzbudzony |ei (o
częstotliwości przejścia z |ai najbliższej częstotliwości lasera). Niech δ oznacza
rozstrojenie lasera od częstotliwości przejścia, wtedy okazuje się, że:
|E(x, t)|2
~
(15)
|ha |dˆ · ~ǫ|ei|2 .
δ
W zależności od znaku rozstrojenia, minima potencjału V przypadną w obszarze
maksymalnego lub minimalnego |E|2 .
Trzy pary przeciwbieżnych wiązek umieszczone wzdłuż trzech prostopadłych
prostych wytwarzają w punkcie przecięcia się wiązek efektywny potencjał dany
wzorem:
V (x) =
V (x) = V0x cos2 (kx) + V0x cos2 (ky) + V0x cos2 (kz).
Taka postać potencjału odpowiada sieci kubicznej o stałej sieci równej
1.3
(16)
2π
k .
Model Bosego-Hubbarda jako ”model ciasnego wiązania” [1], [2]
Hamiltonianem gazu bozonów w formalizmie drugiej kwantyzacji jest:
2 2
XZ
−~ ∇
H=
ψα† (~r)
+ V̂ (~r) ψα (~r)+
2M
α
Z
X
+
ψα† (~r2 )ψβ† (~r1 )V̂αβγδ (~r1 − ~r2 )ψγ (~r1 )ψδ (~r2 )d3~r1 d3~r2 .
(17)
α,β,γ,δ
Jeśli gaz ten znajduje się w niskiej temperaturze, a każdy atom ma spin 1, to para oddziałujących atomów ma przy uwzględnieniu symetrii funkcji falowej spin
całkowity 0 lub 2. Zakładamy potencjał kontaktowy, jednak o różnych stałych
g dla poszczególnych całkowitych spinów. Ogólna postać potencjału oddziaływania wynosi więc:
4
V̂ (~r1 − ~r2 ) = δ 3 (~r1 − ~r2 ) (g0 P0 + g2 P2 ) .
(18)
gdzie Pl jest operatorem rzutowania na przestrzeń funkcji o całkowitym spinie l.
Można pokazać, że:



1
1
~1 · F~2  ,
V̂ (~r1 − ~r2 ) = δ 3 (~r1 − ~r2 ) 
+
(g
+
2g
)
(g
−
g
)
F
0
2
2
0

3
|
{z
} |3 {z }
c0
(19)
c2
gdzie F~i jest wektorem (Fix , Fiy , Fiz ) złożonym z operatorów spinu dla cząstek o spinie 1.
Hamiltonianem gazu bozonów o spinie 1 w formalizmie drugiej kwantyzacji
jest więc:
H=
XZ
ψα† (~r)
α
Z
−~2 ∇2
c0 X
+ V̂0 (~r) − µ ψα (~r)+
ψα† (~r)ψβ† (~r)ψβ (~r)ψα (~r)+
2M
2
α,β
+
c2
2
XZ
α,β
ψα† (~r)ψβ† (~r)Fαβ · Fαβ ψβ (~r)ψα (~r).
(20)
W przypadku, gdy zakładamy, że sieć optyczna jest translacyjnie niezmiennicza,
oczekujemy, że funkcje własne hamiltonianu będą funkcjami Blocha, a spektrum
hamiltonianiu będzie sumą pasm [10]. Ograniczamy się do analizy najniższego
pasma energetycznego. Przybliżenie działa to tym lepiej im głębsze są studnie
potencjału.
Mając zestaw funkcji Blocha φ~k (~r) dla najniższego pasma energetycznego,
możemy zdefiniować układ funkcji związanych z poszczególnymi minimami potencjału optycznego (16) — funkcje Wannier:
X ~
(21)
eik·~rr w(~r − ~ri ).
φk (~r) =
i
Funkcje wi (~r) = w(~r − ~ri ) tworzą układ ortonormalny. Funkcja wi jest skupione
wokół i-tego oczka sieci. Dzięki nim możemy uzyskać w przybliżeniu ciasnego
wiązania hamiltonian Bosego-Hubbarda — wystarczy rozwinąć operatory pola
w sposób następujący:
X
aiα w(~r − ~ri ).
(22)
ψα (~r) =
i
Indeks α oznacza tutaj składową pola odpowiadającą cząstkom o spinie 1, o składowej z spinu o wartości α.
Narzucając na aiα kanoniczne reguły komutacji operatora anihilacji, otrzymujemy [2]:
XX †
XX
H = −t
(aiα ajα + a†jα aiα ) −
(µ − ǫi )a†iα aiα +
1
+ U0
2
hi,ji α
XX
i
α,β
1
a†iα a†iβ aiβ aiα + U2
2
i
X X
i
5
α,β,γ,δ
α
a†iα a†iγ F~αβ F~γδ aiδ aiβ .
(23)
1.3.1
Działanie operatorów ai w bazie |S, m, ni
Operatory spinu Ŝi i liczby cząstek n̂ można wyrazić poprzez operatory ai :
n̂ = a†1 a1 + a†0 a0 + a†−1 a−1 ,
1 Ŝx = √ a†1 a0 + a†0 a1 + a†0 a−1 + a†−1 a0 ,
2
i Ŝy = √ −a†1 a0 + a†0 a1 − a†0 a−1 + a†−1 a0 ,
2
(24)
(25)
(26)
Ŝz = a†1 a1 − a†−1 a−1 .
(27)
Θ† = (a†0 )2 − 2a†1 a†−1 .
(28)
Dodatkowo definiujemy operator Θ :
Hamiltonian Bosego-Hubbarda (23) przyjmuje następującą równoważną postać [2]:
H = −J
XX †
X
1
1
~
−µn̂i + U0 n̂i (n̂i − 1) + U2 (Ŝi2 − 2n̂i )
(aiα ajα +a†jα aiα )+
2
2
α
i
hi,ji
(29)
Wspólne stany własne operatorów Ŝ 2 , Ŝz , n̂ notowane jako |S, m, ni można
skonstruować działając na próżnię operatorami a†i w odpowiedni sposób. Za [2]
definiujemy stany |S, S, ni jako:
s
n−S
(2S + 1)!!
(30)
(a†1 )S (Θ† ) 2 |0i.
|S, S, ni =
n−S
n−S
S!( 2 )!2 2 (n + S + 1)!!
W dodatku A znajduje się wyprowadzenie przepisu opisującego działanie
operatorów ai na stany |S, m, ni.
Tożsamości te są niezbędne w obliczeniach numerycznych.
1.3.2
Część nadciekła w modelu Bosego-Hubbarda
Część nadciekłą w modelu Bosego-Hubbarda definiujemy jako [5]:
Eθ − E0
(31)
JN θ2
gdzie N = hn̂i, a J jest parametrem z hamiltonianu. Równanie to jest analogicz2
ne do równania (12) jedynie energia kinetyczna cząstki mv
2 została zamieniona
na wielkość Jθ2 .
Równanie (31) można wyprowadzić, wprowadzając jednorodną zmianę fazy
w układzie. Ponieważ
przemnożenie funkcji falowej w reprezentacji położeń przez
funkcję exp hi px odpowiada translacji w przestrzeni pędów o p, więc translacja
do układu poruszającego się z prędkością v odpowiadała
będzie domnożeniu
każdej z funkcji ψi (x) przez czynnik exp hi mvx . Zakładamy, że v jest małe,
a skoro funkcje ψj są zlokalizowane wokół oczek sieci oznaczonych przez indeksy
dolne, więc dobrym przybliżeniem opisanego domnażania przez czynnik fazowy
lim
θ→0
6
jest domnażanie przez czynnik exp hi mvxj , gdzie xj jest pozycją j-tego oczka
sieci. Zatem otrzymujemy operację unitarną:
i
U (ψj )(x) = ψj (x) exp
mvxj
h
którą należy rozszerzyć w naturalny sposób na całą przestrzeń Focka. Łatwo
widać, że:
i
† †
hψj |Û aj ai Jji Û|ψi i = hψj | exp
mv(xi − xj ) Jji a†j ai |ψi i
~
Zmiana układu współrzędnych na poruszający się jest równoważna zmianie
współczynnika J o czynnik fazowy exp(iθ). Istotnie, pozostałe wyrazy hamiltonianiu Bosego-Hubbarda są lokalne — działają tylko na jedno oczko sieci,
a wyrazy nielokalne dotyczą tylko najbliższych sąsiadów. Ponadto warto nadmienić, że z powyższej dyskusji wynika, że stałe J zmieniamy jedynie dla par
oczek sąsiadujących ze sobą wzdłuż ustalonego kierunku (kierunku prędkości ~v ).
Czynnik θ w równaniu (31) odpowiada zatem wielkości m
~ vI, gdzie I jest odległością między sąsiednimi wierzchołkami sieci optycznej. Wystarczy skorzystać
z wyrażenia na stałą J w zależności od parametrów mikroskopowych [9]:
J=
1.3.3
~2
.
2mI 2
Część skondensowana w modelu Bosego-Hubbarda
Część skondensowaną definiujemy jako maksymalną wartość własną macierzy:
M(ii′ )(jj ′ ) = hψ|a†iα ajβ |ψi,
W powyższym zapisie aiα oznacza:
α, β ∈ {−1, 0, 1}, i, j ∈ [1, L] ∩ Z.
(32)
aiα = id ⊗ . . . ⊗ id ⊗aα ⊗id ⊗ . . . ⊗ id,
|
{z
}
{z
}
|
i−1
L−i
zaś L jest ilością oczek w sieci optycznej.
1.4
Diagram fazowy spinorowego modelu Bosego-Hubbarda
w zerowej temperaturze
W zerowej temperaturze układ znajduje się w stanie podstawowym, który jest
stanem o najniższej energii.
Diagram fazowy modelu Bosego-Hubbarda z nieporządkiem składa się z 3
faz:
• izolatora Motta (MI),
• fazy nadciekłej (SF),
• szkła Bosego (BG). Faza ta występuje jedynie w obecności nieporządku.
7
3.5
m
MI, n=4
3.0
2.5
MI, n=3
SF
2.0
1.5
MI, n=2
1.0
0.5
MI, n=1
0.0
0.00
0.02
0.04
0.06
J 0.08
Rysunek 1: Szkic diagramu fazowego dla spinorowego modelu Bosego-Hubbarda,
opracowany na podstawie obliczeń numerycznych, parametry: U2 = 0.1, ∆U2 =
0, U0 = 1.
Izolator Motta i szkło Bosego różnią się przede wszystkim własnościami spektralnymi hamiltonianu wokół energii stanu podstawowego E0 . W przypadku izolatora Motta E0 jest punktem izolowanym spec(E). W przypadku szkła Bosego,
istnieje ciąg En → E0 taki, że spec(E) ∋ En 6= 0. Objawia się to niezerową ściśliwością szkła Bosego, oraz zerową w przypadku izolatora Motta. Ani szkło
Bosego, ani izolator Motta nie mają własności nadciekłych (frakcja nadciekła
jest zerowa). Fazę nadciekłą poznajemy po niezerowej frakcji nadciekłej.
Diagramy modelu Bosego-Hubbarda przedstawione są na rysunkach. 1, 5, 6,
4 i 7.
1.4.1
Izolator Motta
W spinorowym modelu Bosego-Hubbarda faza izolatora Motta jest stanem produktowym postaci:
ψMI =
X
m1
t1m1 |S, m2 , ni ⊗
X
m2
t2m2 |S, m2 , ni ⊗ . . . ⊗
X
mL
tL
mL |S, mL , ni.
(33)
Z postaci hamiltonianiu (29) oraz równań: (39) - (44) widać, że dla funkcji falowej powyższej postaci człon odpowiadający za oddziaływanie między oczkami
8
m
3
MI, n=4
2
SF
MI, n=3
MI, n=2
1
MI, n=1
0
0.00
0.02
0.04
0.06
J 0.08
Rysunek 2: Szkic diagramu fazowego dla spinorowego modelu BosegoHubbarda, opracowany na podstawie obliczeń numerycznych, parametry: U2 =
−0.2, ∆U2 = 0, U0 = 1.
sieci daje zerowy wkład do energii — wartość stałych timi jest bez znaczenia
przy założeniu, że obsadzenie w każdym oczku jest takie samo. Energia będzie
najmniejsza, gdy S dobierzemy odopowiednio do n. By opisać stan izolatora
Motta, wystarczy użyć zatem dwóch liczb: obsadzenia n i całkowitego spinu
bozonów w jednym oczku sieci — S. Widać, że po uwzględnieniu dodatkowego więzu S + n ≡ 0 (mod 2) otrzymamy następujący warunek na minimalność
energii wśród stanów postaci (33): S = n mod 2.
1.4.2
Faza nadciekła
Uznajemy, że z fazą nadciekłą mamy do czynienia wówczas, gdy niezerowa
część cząstek w układzie przejawia zachowania nadciekłe, czyli frakcja nadciekła
fs 6= 0.
1.4.3
Szkło Bosego
Szkło Bosego to faza, która jest ściśliwa, na skutek zerowej przerwy energetycznej między stanem podstawowym a stanami wzbudzonymi. Przerwa ta jest
zerowa gdyż obecność nieporządku powoduje, że korzystniejsze energetycznie
może być inne obsadzenie oczka sieci niż średnie. Dotyczy to nie tylko potencjału chemicznego, ale i innych parametrów układu - zmiana większości z nich
może powodować, że optymalna liczba obsadzeń n może zmieniać się od oczka
do oczka.
9
1.4.4
Diagram fazowy dla J = 0
1.0
U2
0.8
n=2
n=4
n=6
0.6
n=2
0.4
0.2
0.0
n=5
n=3
n=1
-0.2
-0.4
-0.6
n=1
...
-0.8
-1.0
0
1
3
2
4
mu
5
Rysunek 3: Diagram fazowy spinorowego modelu Bosego-Hubbarda, dla J = 0
W przypadku J = 0 można znaleźć dokładną postać stanu podstawowego
hamiltonianu Bosego-Hubbarda. Wystarczy w tym celu znaleźć minimum wyrażenia:
1
1
E(µ, U0 , U2 , n, S) = −µn + U0 n(n − 1) + U2 (S(S + 1) − 2n) .
2
2
Minimum zostanie przyjęte dla pewnego całkowitego obsadzenia, gdy U2 > 0
dla minimalnego możliwego S 2 , równego 2 dla n nieparzystego i 0 dla n parzystego. Przyjmując U0 = 1, otrzymujemy funkcję n̄(µ, U2 ). Rozważając następujące
równanie:
E(µ, U0 , U2 , n, n
mod 2) = E(µ, U0 , U2 , n + 1, n + 1
mod 2),
(34)
otrzymujemy równania na granice obszarów odpowiadających obsadzeniom różnym o 1.
U0 n,
n nieparzyste
µ=
(35)
U0 n − 2U2 , n parzyste
10
Rozważając następujące równanie:
E(µ, U0 , U2 , n, n mod 2) = E(µ, U0 , U2 , n + 2, n mod 2),
(36)
otrzymujemy granice obszarów odpowiadających obsadzeniom różnym o 2:
1
U0 (4n + 2) − U2 .
4
Analogiczną analizę można przeprowadzić dla przypadku antyferromagnetycznego U2 < 0, wtedy w stanie podstawowym izolatora Motta hS 2 i = n(n+1).
W tym przypadku postać równania na granicę między fazami nie zależy od parzystości n :
U2
U0
+
µ = 2n
2
2
µ=
Wszystkie te warunki pozwalają stworzyć diagram dla J = 0 — rysunek 3.
1.5
Metoda Gutzwillera
Problem znajdowania stanów własnych kwantowego układu wielu ciał jest problemem bardzo trudnym analitycznie i numerycznie. Trudności matematyczne
biorą się stąd, że operatory anihilacji i kreacji nie są ciągłe. Trudności numeryczne mają swoje źródło w zazwyczaj ogromnym wymiarze rozpatrywanej przestrzeni Hilberta. Przykładowo, jeśli H oznacza d-wymiarową przestrzeń Hilberta odpowiadającą podukładowi (wierzchołek sieci optycznej), to jeśli cały układ
n
N
H. Wymiar tejże przestrzeni wynosi
opisywany jest przestrzenią Hilberta:
i=1
dn , co dla typowych zastosowań (n ≈ 100 − 106 , d ≈ 5 − 100) jest zbyt wielką
liczbą parametrów do dokładnego rozpatrywania na komputerze.
Metoda Gutzwillera to przybliżona metoda rozwiązywania problemów własnych w kwantowych układach wielu ciał. Zakładamy w niej, że poszukiwany stan jest stanem produktowym. W najprostszym przypadku szukania stanu
podstawowego układu wystarczy znaleźć globalne minimum ze względu na produktowy stan ψ następującego iloczynu skalarnego:
EGW =
inf
06=ψ∈H
hψ|H|ψi
hψ|ψi
(37)
Infimum to, w przypadku obliczeń numerycznych, jest globalnym minimum,
gdyż w przypadku skończenie wymiarowym zbiór wszystkich wektorów ψ takich,
że hψ|ψi = 1 jest zwartą przestrzenią topologiczną.
2
2.1
Różne rodzaje nieporządku w spinorowym modelu Bosego-Hubbarda
O nieporządku słów kilka...
Nieporządek w modelu Bosego-Hubbarda wprowadzamy zamieniając stałe występujące w hamiltonianie (29) na stałe zależne od numeru oczka sieci. Będziemy
zmieniać jedynie stałe U2 i µ na odpowiednio U2,i i µi , gdzie i jest numerem
11
oczka, a rozkład prawdopodobieństwa U2,i i µi , jest rozkładem jednostajnym
o postaci:
ρµ =
ρU2 =
2.1.1
1
χ[µ̄−∆µ,µ̄+∆µ]
2∆µ
1
χ
2∆U2 [Ū2 −∆U2 ,Ū2 +∆U2 ]
Przypadek J = 0
Gdy w hamiltonianie opisywanym przez P
równanie (29) przyjmiemy J = 0, wtedy hamiltonian ten jest w postaci H = i Hi , gdzie Hi jest operatorem lokalnym — poza i-tym oczkiem sieci działa jako identyczność. Minimalizacja energii
w metodzie Gutzwillera sprowadza się z szukania minimum hψ|H|ψi do szukania
minimum funkcji postaci hψi |Hi |ψi i, f dla każdego z oczek sieci osobno.
W przypadku J = 0 wartość lokalnych obserwabli takich jak Ŝi , n̂ (oznaczmy je roboczo przez Â) i pochodnych możemy obliczyć w stanie |ψGW i szukając
najpierw lokalnych minimalizatorów energii |ψGW i i, w zależności od parametrów, w których wprowadzamy nieporządek (np µ, U2 . . . oznaczonych roboczo
przez ξ), a następnie całkując po rozkładzie ξ :
Z
hψGW (ξ)|Â|ψG W (ξ)i
(38)
hψGW |Â|ψGW i =
[ξ̄−∆ξ,ξ̄+∆ξ]
Oczywiście powyższe równanie jest spełnione tylko w granicy rozmiaru sieci
L → ∞. w naszych obliczeniach przyjmujemy L ≈ 50, czyli 2500 oczek sieci.
z powyższego równania wynika, że, by poznać wpływ nieporządku w µ i w U2
na układ przy J = 0, wystarczy przeanalizować przypadek bez nieporządku,
a następnie uśrednić po rozkładzie parametru w którym wprowadzamy nieporządek.
Równanie (38) umożliwia przykładowo wyznaczenie obszaru występowania
faz izolatora Motta (MI) i szkła Bosego (BG) dla J = 0.
Jest to ścisły rezultat. Z faktu, że dla J = 0 stany minimalizujące energię
są stanami Focka (w n i S), wynika, że frakcja nadciekła będzie wynosić zero
(gdyż Eθ = E0 ). Zatem MI i BG są jedynymi możliwymi fazami przy J = 0.
Rozróżnienie między MI a BG sprowadza, się do sprawdzenia czy ∂n
∂µ 6= 0, —
jeśli jest to prawda, to mamy do czynienia z BG, w przeciwnym przypadku z MI.
2.2
Nieporządek w µ
Można pójść krok dalej i stwierdzić, że gdy jedynym nieporządkiem w układzie
jest nieporządek w µ, faza BG, będzie występować dla µ takich, że istnieje µ′ ,
takie, że |µ − µ′ | < ∆µ oraz µ′ jest granicą między obszarami o różnym obsadzeniu przy braku nieporządku. Ponadto z tego argumentu wynika, że obszary
izolatora Motta znikają dla nieporządku w µ o ∆µ równym połowie szerokości
konkretnego obszaru MI. Przykładowo dla U2 ­ 0.5, obszary izolatora Motta znikną dopiero dla ∆µ ­ 1. Wprowadzając nieporządek w µ otrzymujemy
układ, którego diagram fazowy jest modyfikacją diagramu fazowego układu bez
nieporządku: między obszarami izolatora Motta, występują obszary szkła Bosego o szerokości 2∆µ .
12
3.0
m
2.5
BG
MI, n=3
2.0
SF
1.5
1.0
0.5
MI, n=2
BG
MI, n=1
0.0
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
J 0.10
Rysunek 4: Szkic diagramu fazowego dla spinorowego modelu Bosego-Hubbarda,
opracowany na podstawie obliczeń numerycznych, parametry: U2 = 0.04, ∆µ =
0.2, U0 = 1.
2.3
Nieporządek w U2
Wprowadzając nieporządek w U2 , obserwujemy szereg ciekawych zachowań układu. Gdy 0.5 > U2 > 0 wtedy obserwujemy wraz ze zwiększaniem się nieporządku, występowanie obszarów szkła Bosego na diagramie fazowym — rysunki (1),
(5) i (6). Warto nadmienić, że szkło Bosego obserwujemy tylko w co drugim obszarze między obszarami izolatora Motta — można to wytłumaczyć korzystając
z równania (38) i z rysunku 3 — brak co drugiego szkła Bosego odpowiada pionowym granicom między obszarami o różnym m z rysunku 3. W przypadku, gdy
U2 < 0, obserwujemy, że choć faza szkła Bosego, wraz ze wzrostem nieporządku, wypełnia obszar między każdymi izolatorami Motta, to dodatkowo jest tym
szersza, im większe jest µ, a tym samym obsadzenie sąsiadujących faz izolatora
Motta. Zachowanie to można znów wytłumaczyć korzystając z równania (38)
i z rysunku 3 — im większe jest µ, tym większe nachylenie linii rozdzielających
obszary o różnych n, a tym samym większy jest zbiór takich µ, że zmieniając
U2 o co najwyżej ∆U2 , przejdziemy do obszaru o różnym n. Wszystkie rozważania korzystające z równania (38) i z rysunku 3 prowadzimy dla J = 0, dla
J > 0 podpieramy się na obliczeniach numerycznych (nietrywialnym jest fakt,
czy obszar szkła Bosego będzie mieć niezerową objętość).
13
3.5
m
MI, n=4
3.0
BG
2.5
MI, n=3
SF
2.0
1.5
MI, n=2
1.0
BG
0.5
MI, n=1
0.0
0.00
0.02
0.04
0.06
J 0.08
Rysunek 5: Szkic diagramu fazowego dla spinorowego modelu Bosego-Hubbarda,
opracowany na podstawie obliczeń numerycznych, parametry: U2 = 0.1, ∆U2 =
0.03, U0 = 1.
3
Podsumowanie i wnioski
W pracy tej badaliśmy diagramy fazowe spinorowego modelu Bosego-Hubbarda
w obecności nieporządku w µ i w U2 . Diagram fazowy w sytuacji braku nieporządku i braku tunelowania (J = 0) okazał się pomocny do przewidywania
diagramu fazowego w sytuacji ogólnej — pozwolił na ścisłe określenie stanu
podstawowego układu w sytuacji z nieporządkiem. Obliczenia numeryczne pozwoliły rozpatrzyć przypadek ogólny. Najważniejsze było tutaj, czy wnioski dla
J = 0 propagują się na obszar o dodatniej mierze w diagramie fazowym —
czy jeśli dla danego µ w J = 0 układ znajduje się w stanie szkła Bosego, to czy
oznacza to, że szkło Bosego jest stanem podstawowym dla J ¬ J0 . Numerycznie
uzyskano odpowiedź twierdzącą, uzyskując zaprezentowane diagramy fazowe.
Wprowadzenie nieporządku w układzie ma konsekwencje silnie zależące od
tego, czy wprowadzimy nieporządek w potencjale chemicznym — µ czy w parametrze U2 . Nieporządek w µ spowodował powstanie obszarów szkła Bosego
między kolejnymi obszarami izolatora Motta o szerokości równej dwukrotnej
szerokości amplitudy nieporządku. Nieporządek w U2 spowodował w sytuacji
antyferromagnetycznej powstanie takich obszarów jedynie w co drugim przypadku - między kolejno fazami izolatora Motta o n nieparzystym i parzystym.
14
3.5
MI, n=4
m
3.0
BG
2.5
MI, n=3
SF
2.0
1.5
MI, n=2
1.0
BG
0.5
MI, n=1
0.0
0.00
0.02
0.04
0.06
J 0.08
Rysunek 6: Szkic diagramu fazowego dla spinorowego modelu Bosego-Hubbarda,
opracowany na podstawie obliczeń numerycznych, parametry: U2 = 0.1, ∆U2 =
0.06, U0 = 1.
W przypadku ferromagnetycznym, wprowadzenie nieporządku w U2 objawiło
się powstaniem obszarów szkła Bosego między wszystkimi obszarami izolatora
Motta, jednak o rosnącej szerokości. Wprowadzenie dowolnie małego nieporządku w U2 w sytuacji ferromagnetycznej powoduje, że tylko skończenie wiele faz
izolatora Motta istnieje w obecności nieporządku.
Zastosowane przybliżenie Gutzwillera posiada ograniczenia wynikające, że
stosowane są stany produktowe. Z definicji wyklucza to możliwość istnienia jakiegokolwiek splątania między podukładami, co sprawia, że nie wszystkie fazy
przewidziane teoretycznie znajdują odzwierciedlenie w naszych obliczeniach numerycznych. Przykładem mogą tu być dwa rodzaje fazy izolatora Motta: nematyk i singlet spinowy [11].
Rozważany hamiltonian (29) można analizować metodami średniego pola.
Analiza taka jest przeprowadzona w przypadku bez nieporządku w [2]. Wyniki
otrzymane już bez wprowadzenia nieporządku są różne od tych otrzymanych z
rachunków numerycznych otrzymanych metodą Gutzwillera [2].
Rozważany układ jest trudny do dokładnej analizy numerycznej (bez stosowania ansatzu typu Gutzwillera), gdyż jest dwuwymiarowy (nie można stosować
typowo jednowymiarowych algorytmów typu algorytmu Vidala) oraz obecny jest
spin. W przypadku, gdy rozważamy układ bez spinu, przeprowadzone ścisłe ob-
15
3
m
MI, n=4
BG
2
SF
MI, n=3
BG
MI, n=2
1
BG
MI, n=1
0
0.00
0.02
0.04
0.06
J 0.08
Rysunek 7: Szkic diagramu fazowego dla spinorowego modelu BosegoHubbarda, opracowany na podstawie obliczeń numerycznych, parametry: U2 =
−0.2, ∆U2 = 0.06, U0 = 1.
liczenia pokazują, że nie ma bezpośredniego przejścia z izolatora Motta do fazy
nadciekłej. Wszystkie zamieszczone w tej pracy diagramy, na których występuje
szkło Bosego ukazują takie przejście. Biorąc pod uwagę fakt, że zastosowane zostało dość mocno restrykcyjne założenie, że poszukiwane minimum jest stanem
produktowym, co w ogólności nie jest prawdą, oraz, że omawiany obszar leży z
daleko od obszaru, dla którego istnieją ścisłe wyniki, należy traktować otrzymane wyniki w kwestii odpowiedzi na pytanie, czy istnieje bezpośrednie przejście
MI-SF z dużą ostrożnością. Można szukać ścisłej, numerycznej odpowiedzi na to
pytanie w jednym wymiarze przy zastosowaniu macierzowych stanów produktowych [12] oraz algorytmu Vidala.
Można próbować wyjść poza ograniczenia narzucone wyborem stosowanego
przybliżenia. Przybliżenie Gutzwillera zakłada stosowanie stanów postaci:
ψ = ψ1 ⊗ ψ2 ⊗ ψ3 ⊗ . . . ⊗ ψL .
Gdyby zastosować następujące przybliżenie (na przykładzie jednego wymiaru,
oczka sieci jednowymiarowej numerowane są „po kolei”):
ψ = ψ12 ⊗ ψ34 ⊗ . . . ⊗ ψL−1,L ,
które polega na wzięcie produktu stanów
kładnie (bez jakiegokolwiek przybliżenia),
oba rodzaje izolatora Motta. W sytuacji
tensorowe kwadratów 2x2 składające się z
16
dwuoczkowych, które liczone są dobyć może udałoby się zaobserwować
dwuwymiarowej byłyby to iloczyny
4 oczek położonych blisko siebie.
A
Elementy macierzowe operatorów ai w bazie
|S, m, ni
Prawdziwy jest następujący przepis opisujący działanie operatorów ai na stany
|S, m, ni :
a1 |S, m, ni =
−
a0 |S, m, ni =
+
a−1 |S, m, ni =
−
a†1 |S, m, ni =
−
a†0 |S, m, ni =
+
a†−1 |S, m, ni
=
−
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
(S + m)(S + m − 1)(S + n + 1)
|S − 1, m − 1, n − 1i
2(2S − 1)(2S + 1)
(S − m + 2)(S − m + 1)(n − S)
|S + 1, m − 1, n − 1i
2(2S + 1)(2S + 3)
(39)
(S + n + 1)(S + m)(S − m)
|S − 1, m, n − 1i
(2S + 1)(2S − 1)
(n − S)(S − m + 1)(S + m + 1)
|S + 1, m, n − 1i
(2S + 3)(2S + 1)
(40)
(S + n + 1)(S − m)(S − m − 1)
|S − 1, m + 1, n − 1i
2(2S + 1)(2S − 1)
(n − S)(S + m + 2)(S + m + 1)
|S + 1, m + 1, n − 1i
2(2S + 1)(2S + 3)
(41)
(S + n + 3)(S + m + 2)(S + m + 1)
|S + 1, m + 1, n + 1i
2(2S + 3)(2S + 1)
(n − S + 2)(S − m − 1)(S − m)
|S − 1, m + 1, n + 1i
2(2S + 1)(2S − 1)
(42)
(n + S + 3)(S − m + 1)(m + S + 1)
|S + 1, m, n + 1i
(2S + 1)(2S + 3)
(m + S)(n − S + 2)(S − m)
|S − 1, m, n + 1i
(2S − 1)(2S + 1)
(43)
(S − m + 2)(S − m + 1)(n + S + 3)
|S + 1, m − 1, n + 1i
2(2S + 3)(2S + 1)
(2 + n − S)(m + S)(m + S − 1)
|S − 1, m − 1, n + 1i
2(2S + 1)(2S − 1)
(44)
Zachodzą następujące relacje komutacji [2]:
[Ŝ + , a1 ] =
[Ŝ + , a0 ] =
[Ŝ + , a−1 ] =
√
−√2a0
− 2a−1
0
[Ŝ − , a1 ] = 0 √
[Ŝ − , a0 ] = −√2a1
[Ŝ − , a−1 ] = − 2a0
[Ŝz , a1 ] =
[Ŝz , a0 ] =
[Ŝz , a−1 ] =
−a1
0
a−1
(45)
Używając prostej indukcji matematycznej, można udowodnić następujące
tożsamości pomocnicze:
17
[aj , (a†j )n ] = (naj † )n−1
† n
[a±1 , (Θ ) ] =
− k
(46)
−(2n)a†∓1 (Θ† )n−1
[a1 , (Ŝ ) ] = 0
√
[a0 , (Ŝ − )k ] = k 2a1 (S − )k−1
√
[a−1 , (Ŝ − )k ] = k 2(S − )k−1 a0 + k(k − 1)(Ŝ − )k−2 a−1
√
[a†1 , (Ŝ − )k ] = −k 2(Ŝ − )k−1 a†0 + k(k − 1)(Ŝ − )k−2 a†−1
√
[a†0 , (Ŝ − )k ] = −k 2(Ŝ − )k−1 a†−1
[a†−1 , (Ŝ − )k ]
[Θ, (a†1 )n ]
†
=0
† n−1
= −2na−1(a1 )
[Θ , n̂] = −2Θ†
[Θ, (Θ† )k ] = 4
k−1
X
(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
(52)
(53)
(54)
(55)
(Θ† )i n̂(Θ† )k−1−i + 6k(Θ† )k−1 =
i=0
= (−2k(2k − 5) + 4kn̂)(Θ† )k−1
[n̂, (a†1 )k ] = k(a†1 )k
s
(2S)!k!
− k
|S, S − k, ni
(S ) |S, S, ni =
(2S − k)!
(56)
(57)
(58)
Z równania (58) wynika, że
(S − )l |S, S − k, ni =
s
(2S − k)!(k + l)!
|S, S − k − l, ni
k!(2S − k − l)!
(59)
Z kolei dzięki równań (48)-(53) wraz z równaniem (58) widać, że wystarczy poznać działanie operatorów ai oraz a†i na wektorach postaci |S, S, ni by otrzymać
ich działanie na wszystkich wektorach bazowych |S, m, ni.
Wyprowadzimy następujące tożsamości:
r
(S + 1)(n + S + 3)
†
|S + 1, S + 1, n + 1i
(60)
a1 |S, S, ni =
2S + 3
r
n+S+3
a†0 |S, S, ni =
|S + 1, S, n + 1i
(61)
2S + 3
s
n+S+3
†
|S + 1, S − 1, n + 1i
(62)
a−1 |S, S, n > =
(2S + 3)(2S + 1)
r
S(n − S + 2)
−
|S − 1, S − 1, n + 1i
(63)
2S + 1
s
n−S
a1 |S, S, ni = −
|S + 1, S − 1, n − 1i
(64)
(2S + 3)(2S + 1)
s
S(n + S + 1)
|S − 1, S − 1, n − 1i
(65)
+
(2S + 1)
18
r
n−S
|S + 1, S, n − 1i
2S + 3
r
(n − S)(S + 1)
|S + 1, S + 1, n − 1i
a−1 |S, S, ni = −
2S + 3
p
Θ† |S, S, ni = (n − S + 2)(n + S + 3)|S, S, n + 2i
p
Θ|S, S, ni = (n − S)(n + S + 1)|S, S, n − 2i
a0 |S, S, ni =
(66)
(67)
(68)
(69)
Wobec definicji:
|S, S, ni =
s
(2S + 1)!!
(a† )S (Θ† )Q |)|0, 0, 0i
+ 2S + 1)!! 1
S!Q!2Q ((2Q
(70)
Widoczna jest równość (60). Ponadto, przez użycie równania (48), otrzymujemy
działanie a−1 na |S, S, ni — wyraża się ono przez działanie a†1 .
s
n−S
(2S + 1)!!
a−1 |S, S, ni =
a−1 (a†1 )S (Θ† ) 2 |0, 0, 0i =
n−S
n−S
(n+S+1)!!
S!( 2 )!2 2
s
n−S
(2S + 1)!!
=
(S − n)(a†1 )S+1 (Θ) 2 −1 |0, 0, 0i =
n−S
n−S
S!( 2 )!2 2 (n + S + 1)!!
r
(n − S)(S + 1)
|S + 1, S + 1, n − 1i.
=−
2S + 3
Równanie (68) wynika natychmiast z definicji stanu |S, S, ni oraz faktu, że
[Θ† , a†i ] = 0. Tak naprawdę równanie to stało się genezą przyjęcia takiej, a nie
innej definicji stanu |S, S, ni.
Przydatne będą następujące tożsamości wynikające z kanonicznych reguł
komutacji dla operatorów momentu pędu:
J + J − = J 2 − Jz (Jz − 1)
− +
J J
(71)
2
= J − Jz (Jz + 1).
(72)
Wykorzystując komutator [S + , a†j ] z równań (45), otrzymujemy, że:
√
S + a†0 |S, S, ni = − 2a†1 |S, S, ni.
√
√
= − 2S − a†1 |S, S, n, i = − 2
r
S + a†0 |S, S, ni
a†0 |S, S, ni
=
r
(S + 1)(n + S + 3)
2S + 3
r
2S + 2
|S+1, S, n+1i
2S + 1
(73)
S − S + jest diagonalny w |S, m, ni, zatem można wydzielić przez S − S + . Otrzymamy w wyniku:
S
−
X
n+S+3
|S + 1, S, n + 1i +
α(S ′ , n′ )|S ′ , S ′ , n′ i,
2S + 3
′
′
S ,n
gdzie drugi składnik jest pewnym wektorem z jądra operatora S − S + . Analogicznie:
19
S
−
S + a†−1 |S, S, ni
=
√
2S − a†0 |S, S, n, i
Zatem (o ile α(S ′ , n′ ) = 0):
a†−1 |S, S, ni =
s
p
√
= 2(2S + 1) 2
r
n+S+3
|S+1, S−1, n+1i
2S + 3
(74)
X
n+S+3
|S + 1, S − 1, n + 1i +
β(S ′ , n′ )|S ′ , S ′ , n′ i
(2S + 3)(2S + 1)
′
′
S ,n
Pokażemy teraz, że ∀S ′ ­ n′ : α(S ′ , n′ ) = 0. Istotnie:
1
a†0 |0, 0, n − Si = √ S − a†1 |0, 0, n − Si ∼ |1, 0, n − S + 1i
2
(75)
Operując po obu stronach równania (75) operatorem (a†1 )S , dostajemy (gdyż
[a†1 , a†0 ] = 0), że:
a†0 |S, S, ni ∼ |S + 1, S, n + 1i ⇒ ∀S ′ ­ S, n′ ­ S : α(S ′ , n′ ) = 0
By udowodnić, że ∀S ′ < S, n′ : α(S ′ , n′ ) = 0, wystarczy pokazać, że:
hS ′ , S ′ , n′ |a†0 |S, S, ni = 0
Istotnie :
(76)
[a†0 , Sz ] = 0 ⇒ (S ′ = S ∨ hS ′ , S ′ , n′ |a†0 |S, S, ni = 0)
Ponieważ S ′ < S, dostajemy równanie (76).
Analogicznie do obliczania α(S ′ , n′ ) obliczamy β(S ′ , n′ ) :
β(S ′ , n′ ) = hS ′ , S ′ , n′ |a†−1 |S, S, ni = 0
(77)
Z relacji komutacji (45):
[n̂, a†−1 ] = a†1 ⇒ (n′ = n + 1 ∨ β(S ′ , n′ ) = 0)
[a†−1 , Sz ] = a†−1 ⇒ (S ′ = S − 1 ∨ β(S ′ , n′ ) = 0)
Aby poznać działanie a†−1 na wektorze postaci |S, S, ni, wystarczy policzyć
a†−1 |1, 1, 1i a następnie zaaplikować stronami (a†1 )S−1 . Dokładniej, interesuje
nas:
1
1
h0, 0, 2|a†−1 |1, 1, 1i = √ h0, 0, 0|Θa†−1|1, 1, 1i = √ h0, 0, 0|[Θ, a†−1]|1, 1, 1i =
20
20
−1
−1
= √ h0, 0, 0|a1 a†1 |0, 0, 0i = √
20
20
Daje to ostatni element konieczny do uzyskania równania (63).
Znajomość działania a†i na wektorach postaci |S, S, ni pozwala założyć, dzięki równaniom (51) - (53), że znamy działanie a†i na dowolne wektory bazowe
20
|S, m, ni. Otrzymanie dokładnej postaci równań (42)-(44) wymaga pewnej ilości przekształceń algebraicznych.
Tożsamości postaci (39)-(41) możemy otrzymać z tego, że:
hS ′ , m′ , n′ |a†i |S, m, ni = hS, m, n|ai |S ′ , m′ , n′ i
Ustaliwszy S ′ , m′ , n′ , mamy wyrażenia na składową (S, m, n) wektora ai |S ′ , m′ , n′ i.
Alternatywną metodą wyprowadzenia równań (39)-(44) jest skorzystanie
z twierdzenia Eckarta-Wignera [8].
Literatura
[1] Tin-Lun Ho, Spinor Bose Condensates in Optical Traps, Phys. Rev Lett.,
81, 4 (1994)
[2] S. Tsuchiya, S. Kurihara, T. Kimura, Superfluid–Mott insulator transition
of spin-1 bosons in an optical lattice, Phys Rev A 70, 043628 (2004)
[3] H. Friedrich, Theoretical Atomic Physics, Springer 1991
[4] D. Jaksch, P. Zoller, The cold atom Hubbard toolbox, arXiv:condmat/0410614
[5] Buonsante, Massel, Penna, Vezzani, Gutzwiller approach to the BoseHubbard model with random local impurities, arXiv:0807.4142
[6] E. L. Pollock, D. M. Ceperley, Path-integral computation of superfluid densities, Phys Rev B 36, 16 (1987)
[7] K. Sacha, Kondensat Bosego-Einsteina, Kraków 2004
[8] Uchino, Shun and Otsuka, Takaharu and Ueda, Masahito Dynamical symmetry in spinor Bose-Einstein condensates, Phys. Rev. A, 78, 2, 023609,
11 Aug 2008,
[9] V.I. Yukalov. Cold Bosons in Optical Lattices, arXiv:0901.0636v1
[10] Immanuel Bloch, Jean Dalibard, Wilhelm Zwerger Many-body physics with
ultracold gases, Rev. Mod. Phys. 80, 885–964 (2008)
[11] A. Imambekov, M. Lukin, E. Demler, Spin Exchange Interactions of SpinOne Bosons in Optical Lattices: Singlet, Nematic and Dimerized Phases,
Phys. Rev. A 68:63602 (2003)
[12] D. Perez-Garcia, F. Verstraete, M.M. Wolf, J.I. Cirac Matrix Product State
Representations quant-ph/0608197
[13] Guifrè Vidal, Efficient Classical Simulation of Slightly Entangled Quantum
Computations Phys. Rev. Lett, 91, 14,147902
21